湍流邊界層激勵(lì)下平板振動(dòng)響應(yīng)相似性研究

趙國(guó)亮， 陳美霞

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 武漢 430074)

當(dāng)潛艇在水下航行時(shí)，在其外壁會(huì)產(chǎn)生湍流邊界層，因邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是隨機(jī)存在的，故在湍流邊界層內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生非定常的隨機(jī)脈動(dòng)壓力，這種隨機(jī)的湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)結(jié)構(gòu)會(huì)使外壁產(chǎn)生振動(dòng)并向外輻射噪聲，也被稱為“流激振動(dòng)”或“流激響應(yīng)”，它是水下結(jié)構(gòu)水動(dòng)力噪聲的重要組成部分。

對(duì)于水下結(jié)構(gòu)的流激噪聲問(wèn)題，因湍流脈動(dòng)壓力是隨機(jī)產(chǎn)生的，理論分析比較困難，縮比模型試驗(yàn)成為研究流激噪聲的重要技術(shù)途徑。因此，必然會(huì)遇到模型與原型之間振動(dòng)響應(yīng)的相似關(guān)系問(wèn)題。

若將湍流邊界層的脈動(dòng)壓力作為隨機(jī)信號(hào)，水下結(jié)構(gòu)流激振動(dòng)問(wèn)題便可歸于傳統(tǒng)的隨機(jī)聲學(xué)問(wèn)題。Hwang等[1]對(duì)1960年—2004年間的各種湍流邊界層壁面壓力譜模型的發(fā)展進(jìn)行了綜述，并使用這些模型與各種試驗(yàn)場(chǎng)景下測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，初步討論了壁面壓力譜的相似換算，其中Goody[2]提出的壓力譜半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍軌蛟谳^寬的頻帶內(nèi)提供較好的頻譜預(yù)測(cè)，但未明確歸一化方法在不同介質(zhì)的壁面壓力譜間的適用性。

壁面壓力譜也被應(yīng)用于流激結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)領(lǐng)域的研究， Rosa等[3]采用Corcos[4]模型作為輸入，采用模態(tài)疊加法計(jì)算了鋁板一側(cè)受湍流壁面脈動(dòng)壓力激勵(lì)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，與數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果吻合較好。 Franco等[5]則對(duì)湍流邊界層激勵(lì)下平板響應(yīng)的相似性定律進(jìn)行了研究，對(duì)不同尺寸、材料平板進(jìn)行了計(jì)算，并用理論、數(shù)值、試驗(yàn)的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，但并未考慮流體負(fù)載的情況。

由于水下結(jié)構(gòu)物的流體負(fù)載影響不可忽略，為了明確湍流邊界層激勵(lì)下平板在不同流體介質(zhì)中振動(dòng)響應(yīng)的相似性換算關(guān)系，以指導(dǎo)其在工程實(shí)際中的應(yīng)用，本文在上述研究的基礎(chǔ)上首先驗(yàn)證了脈動(dòng)壓力譜歸一化方法在不同介質(zhì)間的適用性，其次對(duì)考慮流固耦合的流激結(jié)構(gòu)響應(yīng)間的相似換算關(guān)系進(jìn)行了假設(shè)和驗(yàn)證，并給出了具體的公式以量化分析，為同種以及不同介質(zhì)流激結(jié)構(gòu)縮比模型的設(shè)計(jì)及響應(yīng)預(yù)報(bào)提供一定的參考。

1 理論分析

對(duì)于隨機(jī)聲學(xué)問(wèn)題，因湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)作用具有隨機(jī)性，各激勵(lì)力之間存在時(shí)空相關(guān)性，故隨機(jī)振動(dòng)的研究更復(fù)雜。

根據(jù)隨機(jī)理論[6]，湍流激勵(lì)下彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移響應(yīng)的互功率譜密度表達(dá)式如下

Sw(x,ξ,ω)=?Spp(ξ′,ω)Hw(x,x′,-ω)·

Hw(x+ξ,x′+ξ′,-ω)dx′dξ′

(1)

式中：x=[x,y]為觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)；ξ=[ξx,ξy]代表兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的空間距離向量；ω為圓頻率；Spp(ξ′,ω)為壁面脈動(dòng)壓力互功率譜密度；Hw(x,x′,-ω)為結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)。

位移單頻響應(yīng)函數(shù)的物理含義為：彈性結(jié)構(gòu)上的點(diǎn)x在位于x′處以圓頻率為ω的單位簡(jiǎn)諧力作用下的振動(dòng)位移響應(yīng)。

式(1)表明：求解振動(dòng)位移響應(yīng)的關(guān)鍵在于得到湍流脈動(dòng)壓力的互功率譜密度以及場(chǎng)點(diǎn)振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)。

1.1 平板湍流脈動(dòng)壓力互功率譜密度

Corcos建立了經(jīng)典的湍流脈動(dòng)壓力模型，湍流邊界層的脈動(dòng)壓力在空間域上的互功率譜密度如下所示

(2)

針對(duì)水中低馬赫數(shù)運(yùn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)物，Hwang等指出：Corcos模型往往高估湍流邊界層壁面脈動(dòng)壓力功率譜在低波數(shù)區(qū)的譜級(jí)，并提到一種改進(jìn)型Corocs模型彌補(bǔ)了原型的不足。因此下文采用改進(jìn)型Corcos模型

(3)

式中：Φ(ω)為平板湍流脈動(dòng)壓力自功率譜密度，其選擇見1.2節(jié)；ξ為激勵(lì)兩點(diǎn)空間距離的向量；ξx,ξy分別為兩點(diǎn)的流向和展向間距, 其中ξx=x2-x1,ξy=y2-y1，流向與展向相干函數(shù)衰減因子分別取αx=0.116,αy=0.7；i為虛數(shù)單位；U∞為遠(yuǎn)方來(lái)流速度；Uc為邊界層在來(lái)流方向的遷移速度，Uc=βcU∞，βc根據(jù)試驗(yàn)取0.6～0.8，本文取0.65。

1.2 脈動(dòng)壓力自功率譜密度

Hwang等將湍流邊界層研究以來(lái)發(fā)展的壁面壓力譜的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其中Goody模型描述的壁面湍流脈動(dòng)壓力自功率譜密度模型在風(fēng)洞、水洞等實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的預(yù)報(bào)結(jié)果在各頻段對(duì)比良好。

對(duì)于壁面上的二維、零壓力梯度流，Goody給出壁面脈動(dòng)壓力的自功率譜密度如下所示

(4)

式中：Ue為壁面邊界層外緣速度，對(duì)于平板模型可近似取Ue=U∞;τw為壁面剪切應(yīng)力；δ為邊界層厚度；RT=(δ/Ue)/(υ/uτ)；υ為流體運(yùn)動(dòng)黏度；uτ為壁面摩擦速度。

1.3 湍流激勵(lì)簡(jiǎn)支平板的單頻響應(yīng)函數(shù)

考慮一充分發(fā)展的湍流作用在長(zhǎng)寬分別為a、b的四邊簡(jiǎn)支薄板上，薄板浸沒(méi)在密度為ρ0，聲速為c0的流體中，平板z>0的表面受到來(lái)流速度為U∞的湍流脈動(dòng)壓力的激勵(lì)。如圖1所示，本文考慮遠(yuǎn)場(chǎng)流速U∞與聲速c0相比可以忽略不計(jì)，因此不考慮對(duì)流運(yùn)動(dòng)對(duì)聲速的影響，可以認(rèn)為聲速為一恒值。

圖1 無(wú)限大剛性擋板上四邊簡(jiǎn)支平板及坐標(biāo)參考系Fig.1 Four-sided simply supported flat plate and coordinate reference system on infinite rigid baffle

用Corcos模型描述的脈動(dòng)壓力功率譜作為輸入，將其視作一種外力激勵(lì)平板，流場(chǎng)-平板耦合振動(dòng)的控制方程可寫成

p(x,t)+pa(x,0+,t)-pa(x,0-,t)

(5)

式中：w(x,t)為簡(jiǎn)支板的振動(dòng)位移函數(shù)；D為平板的彎曲剛度，D=Eh3/12(1-υ2)；υ為泊松比；r為損耗因子；μ為平板的面密度；t為時(shí)間；p(x,t)為湍流邊界層的脈動(dòng)壓力；pa(x,0+,t)為平板z>0表面的聲壓；pa(x,0-,t)為平板z<0表面的聲壓。結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)與簡(jiǎn)支板的振動(dòng)位移函數(shù)之間滿足以下關(guān)系

Hw(x,x′,-ω)eiωt=w(x,t)

(6)

湍流邊界層脈動(dòng)壓力p(x,t)表達(dá)式如下

p(x,t)=δ(x-x′)eiωt

(7)

平板振動(dòng)引起的聲壓滿Helmholtz波動(dòng)方程

(8)

平板與流場(chǎng)耦合的連續(xù)性條件如下所示

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，流體負(fù)載平板的振動(dòng)位移函數(shù)w可表示如下

(10)

式中：Wmn(ω)為模態(tài)參與系數(shù)；αmn(x)為簡(jiǎn)支板在真空中歸一化的固有振型函數(shù)。在(0，0)≤x≤(a,b)的空間域中，其表達(dá)式為

(11)

固有振型函數(shù)αmn(x)對(duì)應(yīng)的本征頻率如下

(12)

定義傅里葉變換對(duì)

exp[i(k·x+ωt)]dkdω

(13)

exp[-i(k·x+ωt)]dxdt

(14)

式中：k=[kx,ky]，由式(6)及聲場(chǎng)輻射條件得

(15)

exp[-i(k·x+ωt)]dxdt

(16)

根據(jù)以上公式，由附錄A的推導(dǎo)，可得平板振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)Hw的表達(dá)式為

αmn(x)αqs(x′)

(17)

平板上某一點(diǎn)(x,y)的速度可以表示為v(x,t)=?w(x,t)/?t，結(jié)合式(1)、式(6)可得平板振動(dòng)位移與振動(dòng)速度互功率譜間的關(guān)系如下

Sv(x,ξ,ω)=ω2Sw(x,ξ,ω)

(18)

結(jié)合式(1)、式(3)和式(18)，可得平板振動(dòng)速度的互功率譜密度

?Spp(ξ′,ω)αkl(x′)·α(x′+ξ′)dx′dξ′

(19)

通過(guò)將式(19)中的ξ設(shè)為0，可以得到平板給定節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)速度自功率譜密度函數(shù)，如下所示

αkl(x)·α(x+ξ)dxdξ

(20)

平板振動(dòng)的平均速度響應(yīng)可用如下面積平均來(lái)表示，根據(jù)模態(tài)振型的正交性，積分可以簡(jiǎn)化如下

(21)

式中：Zmmnn(ω)為阻抗，其表達(dá)式如下

Zmmnn(ω)=μCmnmn(ω)

(22)

其中N和M為模態(tài)截?cái)鄶?shù)，式(21)中的受納函數(shù)Amnmn(ω)，其積分形式如下所示

αmn(x)αmn(x+ξ)dxdξ

(23)

式(23)中的積分，可采用文獻(xiàn)[8]中的方法并結(jié)合數(shù)值積分計(jì)算。得到流激平板結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的表達(dá)式，接下來(lái)考慮其存在的相似關(guān)系。

1.4 不同流場(chǎng)介質(zhì)平板響應(yīng)相似性準(zhǔn)則

(24)

對(duì)于本文所研究的流激響應(yīng)問(wèn)題，若原始模型與相似模型外流場(chǎng)的雷諾數(shù)Re較大的時(shí)候，流動(dòng)進(jìn)入紊流粗糙區(qū)，此時(shí)流動(dòng)的阻力大小與Re無(wú)關(guān)，只與相對(duì)粗糙度有關(guān)，這個(gè)流動(dòng)范圍稱為自模區(qū)。若原型與模型的兩個(gè)流動(dòng)都處于自模區(qū)，則只做到幾何相似，而不必Re相等，就自動(dòng)實(shí)現(xiàn)了動(dòng)力相似。本文研究的流動(dòng)均處于自模區(qū)。

忽略湍流邊界層時(shí)均壓力對(duì)平板變形量的影響。采用模態(tài)疊加法計(jì)算湍流邊界層激勵(lì)下平板響應(yīng)，真空中平板振動(dòng)平均速度的一種相似性準(zhǔn)則在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上出

(25)

其中，第一條假設(shè)約束了相似平板的長(zhǎng)寬幾何相似，第二條假設(shè)約束了相似平板的計(jì)算頻段的縮比因子需要與振型的本征頻率的縮比因子保持一致，第三條假設(shè)在前兩條假設(shè)的基礎(chǔ)上給出了遠(yuǎn)場(chǎng)流速如何設(shè)計(jì)，其中cs為一常數(shù)。

本文考慮流體負(fù)載的計(jì)算方法，同樣采用模態(tài)疊加法。為觀察這套相似性準(zhǔn)則是否依然適用，考慮累加項(xiàng)中的受納函數(shù)Amnmn(ω),將式(24)及式(25)代入式(23)，當(dāng)計(jì)算頻率較高時(shí)，可得受納函數(shù)的縮比因子如下所示

(26)

再考慮累加項(xiàng)中阻抗項(xiàng)Zmmnn(ω)，結(jié)合式(22)與式(25),得到阻抗縮比關(guān)系見附錄B。

兩個(gè)積分項(xiàng)的展開如附錄C所示：根據(jù)附加質(zhì)量項(xiàng)與附加慣性項(xiàng)顯示的被積函數(shù)和積分上下限的特征，引入第四條假設(shè)

(27)

第四條假設(shè)引入了湍流介質(zhì)的聲速，根據(jù)式(25)中的第三條假設(shè)，實(shí)際上約束了流場(chǎng)聲速與流速的縮比因子必須相等。將假設(shè)(27)代入到式(22)的積分項(xiàng)中，同時(shí)結(jié)合簡(jiǎn)化后阻抗的縮比關(guān)系的特征，引入第五條假設(shè)

(28)

第五條假設(shè)引入了湍流介質(zhì)的密度，表明湍流介質(zhì)與平板長(zhǎng)寬尺度的縮比因子之積必須與平板面密度縮比因子相等。將式(27)與式(28)的假設(shè)代入式(22)，阻抗縮比關(guān)系可簡(jiǎn)化為下式

(29)

(30)

式(30)實(shí)際上約束了在外流場(chǎng)給定情況下，平板材料必須滿足的條件。結(jié)合式(25)、(26)、(29)，可以得到用湍流脈動(dòng)壓力自功率譜密度函數(shù)歸一化的平板彎曲振動(dòng)位移平均速度響應(yīng)間的縮比關(guān)系

(31)

對(duì)式(31)，要得到平板彎曲振動(dòng)位移平均速度響應(yīng)的縮比關(guān)系，需要考慮脈動(dòng)壓力自功率譜的相似性。

將脈動(dòng)壓力自功率譜密度按Hwang所給方法歸一化處理之后得到平板彎曲振動(dòng)位移平均速度響應(yīng)間的縮比關(guān)系

(32)

需要注意的是，這些相似性準(zhǔn)則的推導(dǎo)是在假定Corcos模型中的系數(shù)αx,αy不隨頻率改變的前提下進(jìn)行的，在對(duì)相似平板通過(guò)相似性準(zhǔn)則得到縮比的湍流流速之后，平板的計(jì)算頻率和響應(yīng)需要依據(jù)公式進(jìn)行縮比。

本文推導(dǎo)相似換算方法，是在以下五條假設(shè)的基礎(chǔ)上建立的

(33)

對(duì)于各向同性的相似平板和原型平板，如果它們均為四邊簡(jiǎn)支邊界條件，相似換算的整個(gè)流程可總結(jié)如下：

(1) 若平板的長(zhǎng)寬幾何相似，則兩個(gè)平板間就具備了相似的前提。在選定外流場(chǎng)的前提下，根據(jù)式(30)可得相似平板的材料應(yīng)滿足的特征，確定好相似平板的材料后，根據(jù)假設(shè)5設(shè)計(jì)相似平板的長(zhǎng)寬與厚度。

(3) 最后計(jì)算縮比模型振動(dòng)速度響應(yīng)的縮放因子，對(duì)相似平板的計(jì)算頻率和響應(yīng)分別按照式(25)與(32)進(jìn)行縮放，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)原型平板響應(yīng)的預(yù)報(bào)。

綜上，考慮流體負(fù)載的情況下，可通過(guò)對(duì)尺寸、材料屬性、流速等的配合，可以實(shí)現(xiàn)不同流體介質(zhì)下模型響應(yīng)間的相似換算。

2 算例驗(yàn)證與分析

針對(duì)1.4節(jié)提出的不同流體介質(zhì)中壁面湍流脈動(dòng)壓力自功率譜密度歸一化與四邊簡(jiǎn)支板流激響應(yīng)的相似準(zhǔn)則問(wèn)題，用以下算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

2.1 流激響應(yīng)相似性準(zhǔn)則驗(yàn)證

為了驗(yàn)證并說(shuō)明1.4節(jié)提出的相似性換算關(guān)系的適用范圍，選取幾種具有典型縮比關(guān)系的平板，它們各自的尺寸和相應(yīng)的縮比因子如表1所示。其中平板P0被選作原型平板，其材料為鋼，鋼材參數(shù)如表2所示，外流場(chǎng)為水；P1為長(zhǎng)寬厚等比例縮放的鋼板，外流場(chǎng)為水；P2代表厚度與長(zhǎng)寬縮比因子不等的平板，外流場(chǎng)同樣為水，以上三種方案的湍流邊界層在流經(jīng)平板前緣之前經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為1 m，表面粗糙度為0.000 2的區(qū)域；P3代表厚度與長(zhǎng)寬縮比因子不等的平板，外流場(chǎng)為空氣，流場(chǎng)流經(jīng)平板前緣之前經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為1 m，表面粗糙度為0.002的區(qū)域。其中P2～P3模型的密度和彈性模量暫不考慮實(shí)際情況，以上四種方案均認(rèn)為湍流邊界層在平板上的脈動(dòng)壓力與湍流在平板前粗糙區(qū)域充分發(fā)展后的脈動(dòng)壓力保持一致。經(jīng)檢驗(yàn)以上流動(dòng)均已進(jìn)入自模區(qū)[16]。

表1 平板P0～P3的參數(shù)與相應(yīng)的縮比因子

理論分析部分假定平板均為四邊簡(jiǎn)支的邊界條件，對(duì)于原型平板，假定遠(yuǎn)方來(lái)流速度為10 m/s，計(jì)算中取橫、縱半波波數(shù)均為15，在計(jì)算頻段范圍，這個(gè)橫、縱半波波數(shù)經(jīng)過(guò)了模態(tài)收斂性驗(yàn)證，結(jié)構(gòu)響應(yīng)可計(jì)算到1 500 Hz，剩余平板采用了同樣的半波數(shù)組合，并假定泊松比和結(jié)構(gòu)阻尼不隨頻率改變。表2給出了P0～P3平板的參數(shù)與縮比因子。

表2 鋼材材料參數(shù)

平板區(qū)域內(nèi)以邊界層厚度以及壁面剪切應(yīng)力均以平板前緣為準(zhǔn)，可以驗(yàn)證以上流激響應(yīng)方案均已進(jìn)入紊流粗糙區(qū)。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，各方案紊流粗糙區(qū)邊界層時(shí)均參數(shù)如表3所示。

首先對(duì)脈動(dòng)壓力自功率譜密度的歸一化方法進(jìn)行驗(yàn)證，根據(jù)表2所給參數(shù)，以ω為橫坐標(biāo)，脈動(dòng)壓力自功率譜為縱坐標(biāo)，對(duì)比四種方案下的湍流脈動(dòng)壓力自功率譜特性，如圖2所示。

運(yùn)用1.4節(jié)描述的中、低頻段脈動(dòng)壓力歸一化處理方法，得到縮放后的脈動(dòng)壓力自功率譜密度對(duì)比如圖3所示。

表3 邊界層時(shí)均參數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖2 脈動(dòng)壓力自功率譜密度(未縮放)Fig.2 Pulsating pressure self-power spectral density (unscaled)

經(jīng)檢驗(yàn)，本文算例的脈動(dòng)壓力自功率譜密度函數(shù)在所屬頻段應(yīng)用該縮放尺度可以實(shí)現(xiàn)歸一化。

依據(jù)表1所給參數(shù)中的長(zhǎng)寬、厚度、材料屬性、流速等作為輸入，對(duì)尺寸、材料、外流場(chǎng)均變化的平板P0～P3的響應(yīng)分別進(jìn)行計(jì)算，橫坐標(biāo)的計(jì)算頻率保持0～1 500 Hz，所得振動(dòng)速度響應(yīng)對(duì)比如圖4所示。

原型平板的計(jì)算頻率和響應(yīng)保持不變，對(duì)相似平板的計(jì)算頻率和響應(yīng)分別按照式(33)與(32)進(jìn)行縮放。得到縮放后振動(dòng)速度響應(yīng)對(duì)比如圖5所示。

圖3 脈動(dòng)壓力自功率譜密度(用中、低頻的縮放尺度)

圖4 平板平均振動(dòng)速度(P0～P3未縮比)

圖5 平板平均振動(dòng)速度(P0～P3縮比換算后)

通過(guò)圖4、圖5的對(duì)比可知：尺寸不同、材料不同、外流場(chǎng)不同的平板速度響應(yīng)一般各不相同。但這些平板的響應(yīng)經(jīng)過(guò)尺寸設(shè)計(jì)和相似換算，可以得到與原型平板的響應(yīng)結(jié)果的重合。

3 結(jié) 論

本文結(jié)合改進(jìn)的Corcos模型描述的脈動(dòng)壓力激勵(lì)下平板振動(dòng)速度響應(yīng)的特點(diǎn)，將平板振動(dòng)響應(yīng)的互功率譜密度分解為湍流脈動(dòng)壓力互功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)。

對(duì)于壁面湍流脈動(dòng)壓力自功率譜密度，驗(yàn)證了脈動(dòng)壓力歸一化的方法在不同流體介質(zhì)間的適用性。對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)，考慮其相似性提出了五個(gè)假設(shè)，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了相似換算方法，給出了速度響應(yīng)換算的具體公式。最后對(duì)幾類平板彎曲振動(dòng)的平均速度響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算與換算，通過(guò)對(duì)比，得到了以下結(jié)論：

(1) 湍流壁面脈動(dòng)壓力自功率譜密度的歸一化方法，在不同流體介質(zhì)間有適用性。

(2) 同種介質(zhì)湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)下，材料相同，幾何等比例縮放的平板，可以通過(guò)流速和頻段的設(shè)計(jì)，依據(jù)本文的方法實(shí)現(xiàn)相似換算。

(3) 同種介質(zhì)湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)，幾何不全相似的平板，以及不同介質(zhì)湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)下的平板，其振動(dòng)響應(yīng)在理論上可以依據(jù)本文方法實(shí)現(xiàn)相似換算。但模型材料受外流場(chǎng)密度與平板面密度的限制，工程實(shí)現(xiàn)難度大。該理論在不同外流場(chǎng)介質(zhì)中的應(yīng)用可為之后的研究提供一定的參考。

本文中Corcos模型激勵(lì)下平板響應(yīng)的換算是在泊松比、結(jié)構(gòu)阻尼、Corcos模型參數(shù)等不隨頻率變化的前提下完成的，對(duì)于試驗(yàn) 的復(fù)雜情況，應(yīng)作專門的研究，對(duì)相似性準(zhǔn)則進(jìn)行修正。

附錄A 平板振動(dòng)位移的單頻響應(yīng)函數(shù)Hw推導(dǎo)

由式(9)、式(10)、式(13)、式(14)和式(15)可得聲壓的表達(dá)式為：

(A.1)

將式(10)、式(13)、式(15)代入到總控方程中，并對(duì)方程兩邊進(jìn)行傅立葉變換和正交變換，可得耦合振動(dòng)控制方程為：

(A.2)

定義：

(A.3)

附錄B 阻抗縮比因子

(B.1)

附錄C 附加質(zhì)量項(xiàng)與附加慣性項(xiàng)的積分展開

附加質(zhì)量項(xiàng)積分展開：

(C.1)

附加慣性項(xiàng)積分展開：

(C.2)