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    隨機地震作用下TMD等效附加阻尼比研究

    2022-01-27 14:14:54林松偉
    振動與沖擊 2022年1期
    關(guān)鍵詞:阻尼比共振峰值

    賀 輝, 譚 平, 林松偉, 向 越, 蘭 李

    (1. 湖南工學院 土木與建筑工程學院, 湖南 衡陽 421002;2. 廣州大學 土木工程學院, 廣州 510006; 3. 廣東省建筑設計研究院有限公司, 廣州 510405)

    調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, TMD)作為一種被動控制裝置,已被廣泛應用于高層高聳結(jié)構(gòu)[1]。一般情況下,TMD由質(zhì)量塊、彈簧以及阻尼元件組成[2]。高聳高層結(jié)構(gòu)安裝TMD,主要是為了增加結(jié)構(gòu)的阻尼,達到控制結(jié)構(gòu)振動的目的[3]。TMD控制效果越好,結(jié)構(gòu)增加的阻尼也就越大,結(jié)構(gòu)增加的這部分阻尼比被稱為TMD等效附加阻尼比[4]。1977年,McNamara 基于高斯白噪聲外激勵以結(jié)構(gòu)位移響應均方值相等為準則推導了TMD等效附加阻尼比理論公式[5]。Luft以TMD等效附加阻尼比最大作為優(yōu)化條件給出了TMD最優(yōu)設計參數(shù)[6]。王肇民以電視塔結(jié)構(gòu)作為工程背景,給出了風荷載作用下TMD給結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式[7]。

    目前,應用TMD來控制結(jié)構(gòu)的風振響應已經(jīng)得到了人們的廣泛認可[8],但是地震作用下TMD的有效性還沒有統(tǒng)一的定論[9-10]。已有研究表明,TMD的減震性能很大程度上取決于地震動特性[11-13]。Villaverde等人假定結(jié)構(gòu)-TMD體系前兩階模態(tài)阻尼比相等給出了地震作用下TMD等效附加阻尼比公式[14]。然而,文獻[14]給出的TMD等效附加阻尼比公式僅在TMD頻率比等于1且TMD阻尼比滿足一定條件的情況下成立[15]。更重要的是,它忽略了地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響,因此其計算精度有待驗證。鑒于此,有必要考慮地震動特性對TMD等效附加阻尼比進行更深入地研究。事實上,以往的TMD等效附加阻尼比研究多數(shù)是基于單自由度主結(jié)構(gòu)展開,僅能得到TMD提供給結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)的附加阻尼比,無法準確評估TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比。

    在此背景下,本文將基于考慮場地因素的過濾高斯白噪聲Kanai-Tajimi功率譜模型,推導出一個能準確評估隨機地震作用下TMD提供給結(jié)構(gòu)任意階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式。本文將從結(jié)構(gòu)-TMD理論模型、結(jié)構(gòu)隨機地震響應分析以及TMD等效附加阻尼比理論公式推導等方面逐一展開研究。

    1 結(jié)構(gòu)-TMD理論模型

    假定結(jié)構(gòu)有n個自由度,且TMD與第n個自由度相連,可將結(jié)構(gòu)-TMD體系表示為圖1所示的理論模型。圖1中:mn、kn和cn分別表示結(jié)構(gòu)第n個自由度的質(zhì)量、剛度與阻尼系數(shù);mt、kt和ct分別表示TMD質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù);xn表示結(jié)構(gòu)第n個自由度相對于地面的位移,xt為TMD相對于結(jié)構(gòu)第n個自由度的位移。

    圖1 結(jié)構(gòu)-TMD理論模型Fig.1 Theoretical models

    {FTMD}

    (1)

    式中

    (2)

    (3)

    結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用Caughey阻尼矩陣,TMD對結(jié)構(gòu)的作用力可表示為

    (4)

    TMD運動方程為

    (5)

    將TMD看作一個子結(jié)構(gòu),忽略TMD對主結(jié)構(gòu)自振特性的影響,此時將主結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分解,考慮結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)φj時,引入表1所示的系統(tǒng)參數(shù)。

    表1 系統(tǒng)參數(shù)定義

    進一步可將結(jié)構(gòu)-TMD體系的模態(tài)運動方程表示為

    (6)

    式中,uj表示結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)廣義坐標,此時

    (7)

    Hj(iλj)=

    (8)

    其中

    (9a)

    (9b)

    2 結(jié)構(gòu)隨機地震響應分析

    地震動功率譜模型采用Kanai和Tajimi等提出的過濾白噪聲模型,其加速度功率譜密度函數(shù)為[16-17]

    (10)

    式中:S0為基巖白噪聲強度;ωg和ζg分別表示場地特征頻率與特征阻尼比;ωg和ζg的取值可通過實際地震記錄擬合得到,也可由表2直接確定。

    表2 場地土參數(shù)設計值[18-19]

    Kanai-Tajimi功率譜模型將場地視為單自由度線性濾波器,由基巖白噪聲通過土層過濾得到,由此可將場地的過濾效應表示成傳遞函數(shù)形式

    (11)

    將ω=λjωj代入式(11),可得

    (12)

    式中,主結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)頻率與場地特征頻率比τj=ωj/ωg。進一步將土層看作一個與上部結(jié)構(gòu)串聯(lián)的系統(tǒng),由此可得結(jié)構(gòu)相對于基巖白噪聲的位移動力放大系數(shù)為

    Hg,j(iλj)=H(iλj)H′(λj)=

    (13)

    式中

    (14a)

    (14b)

    采用SRSS方法計算地震作用下結(jié)構(gòu)的位移響應均方值

    (15)

    其中

    (16)

    式中

    (17)

    3 TMD等效附加阻尼比

    將結(jié)構(gòu)-TMD體系等效為一個第j階模態(tài)阻尼比為ζe,j的等效結(jié)構(gòu),類似地,可將等效結(jié)構(gòu)相對于基巖白噪聲的位移動力放大系數(shù)表示為

    (18)

    式中

    (19)

    等效結(jié)構(gòu)位移響應均方值可表示為

    (20)

    其中

    (21)

    (22)

    整理得

    (23)

    其中

    (24)

    則TMD提供給結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式為

    (25)

    其中

    (26)

    為了對式(25)的有效性進行驗證,定義以下三種TMD等效附加阻尼比計算方法:

    方法一:使用本文所提理論公式計算TMD等效附加阻尼比;

    方法二:使用文獻[5]的TMD等效附加阻尼比公式

    (27)

    方法三:使用文獻[14]的TMD等效附加阻尼比公式

    (28)

    事實上,ζs2,j與ζs3,j均是基于單自由度主結(jié)構(gòu)推導而來,無法得到TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比,因此方法二與方法三僅考慮TMD對結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)阻尼比的影響。

    4 參數(shù)分析

    考慮結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)(j=1),令φ1,n=1和η1=1,假定TMD頻率比與阻尼比采用Den Hartog公式[20],對ζs1,1進行如圖2所示參數(shù)分析。由圖2可以觀察到以下現(xiàn)象:

    (1) 結(jié)構(gòu)與場地特征頻率比τ1小于等于1時,特征阻尼比ζg越小,TMD等效附加阻尼比ζs1,1越大。然而,當τ1>1時,隨著ζg增大,ζs1,1卻會變小;

    (2) 當τ1≤1時,τ1對ζs1,1的影響相對較小。但是,當τ1>1時,τ1的增大會使ζs1,1迅速變小;

    (3)ζs1,1與結(jié)構(gòu)阻尼比ζ1呈負相關(guān)關(guān)系;

    (4) TMD質(zhì)量比μ1存在一個臨界值|μ|,當μ1≤|μ|時,隨著μ1增大,ζs1,1會隨之增大。當μ1>|μ|時,隨著μ1增大,ζs1,1會迅速減小。值得一提的是,隨著μ1增大,ζs1,1可能會小于0。也就是說, TMD質(zhì)量比太大可能會放大結(jié)構(gòu)響應。

    為了進一步研究地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響規(guī)律,令ζ1=0以及ζg=0.80,將TMD等效附加阻尼比進行如圖3所示的對比分析。從圖3中可以看出:

    (1) TMD質(zhì)量比μ1小于1%時,三種方法計算出來的TMD等效附加阻尼比ζs,1基本一致;

    (2) 方法二得到的TMD等效附加阻尼比大于方法一與方法三,這是由于方法二的TMD等效附加阻尼比公式是基于外荷載激勵形式推導而來,無法適用于地震作用下TMD等效附加阻尼比的計算。這一現(xiàn)象也說明相對于結(jié)構(gòu)地震響應控制而言,TMD更有利于控制結(jié)構(gòu)的風振響應。

    (3) 方法二與方法三得到的TMD等效附加阻尼比與TMD質(zhì)量比μ1成正相關(guān)關(guān)系,不存在一個臨界值|μ|,因此隨著TMD質(zhì)量比μ1的增大,與方法一會存在很大的差異。

    (4) 當τ1較小時(如τ1=1),方法一與方法三的計算結(jié)果相近。但是,當τ1較大時(如τ1=10),隨著μ1的增大,方法一與方法三計算結(jié)果的差距也會越來越大,且方法三計算出來的TMD等效附加阻尼比偏大。這是因為方法三忽略了地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響,導致計算過程中夸大了TMD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比。

    (a) μ1=0.1,ζ1=0

    (b) τ1=10,ζg=0.80圖2 TMD等效附加阻尼比分析Fig.2 Analysis results of the equivalent additional damping ratio of TMD

    圖3 TMD等效附加阻尼比對比分析Fig.3 Comparison analysis results of the equivalent additional damping ratio of TMD

    為了對上述現(xiàn)象進行更深入地研究,對結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)進行分析。方法三假定結(jié)構(gòu)-TMD體系前兩階模態(tài)阻尼比一致,本質(zhì)上是直接從結(jié)構(gòu)相對于地面的位移放大系數(shù)H1(iλ1)出發(fā)求解TMD等效附加阻尼比。而本文則考慮場地土對地震動頻譜特性的影響,給出了結(jié)構(gòu)相對于基巖的位移放大系數(shù)Hg,1(iλ1)。對比圖4與圖5(a)可知,當τ1較小時(如τ1=1),H1(iλ1)與Hg,1(iλ1)的變化規(guī)律基本一致,TMD質(zhì)量比增大,二者的峰值均變小。

    圖4 主結(jié)構(gòu)相對于地面的位移動力放大系數(shù)Fig.4 Analysis results of the displacement dynamic amplification factor of structure to ground

    (a) τ1=1,ζg=0.80

    (b) τ1=10,ζg=0.80圖5 主結(jié)構(gòu)相對于基巖的位移動力放大系數(shù)Fig.5 Analysis results of the displacement dynamic amplification factor of structure to bedrock

    然而,當τ1較大時(如τ1=10),無控狀態(tài)下的Hg,1(iλ1)曲線存在兩個較為明顯的峰值。第一個峰值出現(xiàn)在場地特征頻率附近,主要是由于地震加速度功率譜在該處的值較大,這一個峰值與場地因素息息相關(guān),可將其定義為場地共振峰值。第二個峰值出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振頻率附近,主要由結(jié)構(gòu)參數(shù)決定,因此可將其定義為結(jié)構(gòu)共振峰值。由5(b)可知,TMD雖然能有效控制結(jié)構(gòu)共振峰值,卻會放大結(jié)構(gòu)的場地共振峰值,并且TMD質(zhì)量比越大,場地共振峰值放大效應越明顯。一般情況下,方法三會忽略場地共振峰值對TMD等效附加阻尼比的影響,因此會夸大TMD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比。而本文推導的TMD等效附加阻尼比公式考慮了結(jié)構(gòu)場地共振峰值的影響,理論上來說,更貼近工程實際。

    5 工程算例

    以某景觀塔作為工程算例,來展示TMD等效附加阻尼比的求解流程。景觀塔共32層,總高度168 m,采用筒體結(jié)構(gòu)形式,筒體直徑12 m,高寬比約為14。景觀塔頂部觀光層根據(jù)建筑功能和建筑體型采用鋼框架結(jié)構(gòu),通過鋼支撐和鋼梁與核心筒連接,景觀塔結(jié)構(gòu)模型如圖6所示。結(jié)構(gòu)各階模態(tài)阻尼比均取0.02。將結(jié)構(gòu)28層的258 t消防水箱作為TMD的附加質(zhì)量,用于控制結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)響應。

    圖6 肇慶景觀塔結(jié)構(gòu)模型Fig.6 Structural model of the view tower

    為了對本文所推導的TMD等效附加阻尼比理論公式進行時程驗證,選擇如圖7(a)~(c)所示的三組經(jīng)典地震記錄(1940 El Centro, 1994 Northridge以及1995 Kobe)作為地震輸入,將地震記錄幅值調(diào)整為0.7 m/s2,Spencer等[21]通過數(shù)值擬合得到三組地震記錄的場地特征頻率以及特征阻尼比分別為17 rad/s和0.3,由此可將三組地震記錄功率譜與Kanai-Tajimi功率譜進行對比,結(jié)果如圖7(d)所示,可以看出Kanai-Tajimi功率譜會夸大地震動的低頻能量,但由于本文選擇的三組地震記錄低頻能量較低,且能量大多集中于頻段[1, 100]Hz內(nèi),在此頻段內(nèi),Kanai-Tajimi功率譜與三組地震記錄的功率譜是較為吻合的。

    (a) El Centro

    (b) Northridge

    (c) Kobe

    (d) 功率譜對比圖7 地震記錄Fig.7 Earthquake records

    首先,對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析,表3為結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)參數(shù),可以看出,結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)累計質(zhì)量參與系數(shù)已經(jīng)達到99.52%,因此本文重點介紹TMD對于結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的等效附加阻尼比。根據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)分析結(jié)果,采用Den Hartog公式計算TMD頻率比與阻尼比。表4為TMD相對于結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的參數(shù),從表4可以看出:

    (1) 方法一得到的TMD提供給結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)的附加阻尼比遠大于其他高階模態(tài),這是因為設置TMD的主要用途是控制結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)響應,且TMD參數(shù)也是根據(jù)結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)確定的;

    (2) 方法一得到的TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比可能小于零,也就是說,TMD可能會放大結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)響應;

    (3) 由于方法二與方法三是基于單自由度主結(jié)構(gòu)推導而來,無法計算TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比,因此方法二與方法三從理論上來說是不完備的。而本文推導的等效附加阻尼比理論公式不僅能計算TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比,還能通過結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標值考慮TMD布置位置對其等效附加阻尼比的影響,因此本文推導的等效附加阻尼比理論公式更完備。

    (4) 方法二與方法三計算的TMD提供給結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)的等效附加阻尼比均大于方法一。這是因為方法二是基于外荷載激勵形式推導而來,而方法三無法考慮地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響,因此這兩種方法的計算結(jié)果會偏大。本文推導的TMD等效附加阻尼比理論公式考慮了地震動特性引起的結(jié)構(gòu)場地共振峰值的影響,因此計算結(jié)果更貼近工程實際。

    表3 結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)參數(shù)

    表4 TMD相對于結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的參數(shù)

    對結(jié)構(gòu)進行時程響應分析,來驗證TMD等效附加阻尼比的正確性。需要指出的是,本文時程分析均基于Etabs有限元模型展開,且在時程分析過程中,方法二與方法三僅考慮了TMD對結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)阻尼比的影響。圖8表示地震作用下結(jié)構(gòu)加載與自由振動兩階段的頂層位移響應時程,從圖中可以看出,使用本文推導的TMD等效附加阻尼比能從結(jié)構(gòu)位移響應角度更準確地評估TMD減震性能。由此可知,使用等效附加阻尼比指標評估TMD對結(jié)構(gòu)位移響應的控制效果是可行的。

    為了對比三種方法的計算精度,以在景觀塔有限元模型中添加TMD的時程分析結(jié)果為標準,對結(jié)構(gòu)頂層位移響應進行如表5所示的誤差分析。表中,結(jié)構(gòu)位移響應均方差只考慮其加載階段的響應。由表5可知,El Centro地震作用下,方法二和方法三計算結(jié)果誤差較大,特別是方法三所得結(jié)構(gòu)頂層位移響應峰值誤差達到了21.12%,所以方法二和方法三會夸大TMD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比,計算精度不滿足工程應用需求。Kobe地震作用下,相對于結(jié)構(gòu)位移響應峰值,方法一所得結(jié)構(gòu)位移響應均方差誤差更大。考慮到方法一所得結(jié)構(gòu)頂層位移響應峰值與均方差的誤差平均值均小于1%,可認為使用本文推導的TMD等效附加阻尼比理論公式能從結(jié)構(gòu)位移響應峰值與均方差角度更準確地評估TMD減震性能。結(jié)合圖9所示的結(jié)構(gòu)各樓層位移響應峰值與均方差可知,使用本文推導的TMD等效附加阻尼比計算的各樓層位移響應與TMD控制下各樓層位移響應基本一致,再次驗證了使用等效附加阻尼比指標來評估TMD減震性能的合理性與有效性。

    (c) Kobe圖8 結(jié)構(gòu)頂層位移響應時程Fig.8 Time history of structural top floor displacement responses

    (a) El Centro

    (b) Northridge

    (c) Kobe圖9 結(jié)構(gòu)樓層位移響應峰值與均方差Fig.9 Peak and MSE value of displacement responses of structure

    表5 結(jié)構(gòu)頂層位移響應誤差分析

    6 結(jié) 論

    (1) 本文推導了隨機地震作用下TMD提供給結(jié)構(gòu)任意階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式。

    (2) 參數(shù)分析結(jié)果表明,TMD等效附加阻尼比與結(jié)構(gòu)場地因素緊密相關(guān)。結(jié)構(gòu)與場地特征頻率比小于等于1時,場地特征阻尼比越小,TMD等效附加阻尼比越大。然而,當結(jié)構(gòu)與場地特征頻率比大于1時,隨著特征阻尼比的增大,TMD等效附加阻尼比卻會變小。

    (3) 算例分析結(jié)果表明,使用TMD等效附加阻尼比指標來評估其減震性能是可行的,且本文推導的TMD等效附加阻尼比公式考慮了結(jié)構(gòu)場地因素的影響,能從結(jié)構(gòu)地震位移響應角度更準確地評估TMD減震性能。

    (4) TMD雖然能有效控制結(jié)構(gòu)共振峰值,卻會放大結(jié)構(gòu)的場地共振峰值,并且TMD質(zhì)量比越大,場地共振峰值放大效應越明顯。

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