兩輪自平衡可移動機(jī)器人能耗最優(yōu)運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法

楊怡婷

(天津?yàn)I海職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系,天津 300451)

通過兩輪自平衡可移動機(jī)器人電能轉(zhuǎn)換效率的提高，可保證機(jī)器人能夠在一定的電能供給條件下移動更長的距離并完成更多的動作[1-4].為此提出了一種能耗最優(yōu)運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法，考慮了電機(jī)的運(yùn)動特性和軌跡跟蹤器的指令響應(yīng)過程，并分別建立了對應(yīng)的模型，與軌跡規(guī)劃相結(jié)合利用頻域分析創(chuàng)建了線性能耗模型，同時(shí)基于局部目標(biāo)點(diǎn)間的最小能耗運(yùn)動軌跡算法進(jìn)行了整體最優(yōu)軌跡的規(guī)劃.對提出的方法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所創(chuàng)建模型的正確性和方法的有效性.

1 能耗模型

為了能夠微觀地分析機(jī)器人行動過程中的能耗和運(yùn)動軌跡，將機(jī)器人的運(yùn)動軌跡劃分為由多個(gè)行動局部目標(biāo)點(diǎn)連接而成的曲線段[5-6].機(jī)器人從當(dāng)前軌跡運(yùn)動到預(yù)定軌跡的能量消耗分為兩部分，即運(yùn)動能耗和非運(yùn)動能耗.由于軌跡控制器的動態(tài)響應(yīng)會引起機(jī)器人動作的超調(diào)或滯后，在軌跡變換過程中機(jī)器人的運(yùn)動能耗不僅要用于驅(qū)動機(jī)器人運(yùn)動克服地面摩擦力，還要用于機(jī)器人運(yùn)動狀態(tài)的改變，所以運(yùn)動能耗包含變狀態(tài)能耗Estate和穩(wěn)定狀態(tài)能耗Efri兩個(gè)部分.

1.1 變狀態(tài)能耗

機(jī)器人在運(yùn)動過程中驅(qū)動電機(jī)的輸入電壓變化情況如圖1所示.機(jī)器人由當(dāng)前軌跡運(yùn)動到預(yù)定軌跡的前Ts秒時(shí)間為機(jī)器人行動的過渡階段，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動狀態(tài)調(diào)整，電能消耗除了克服地面摩擦驅(qū)動機(jī)器人運(yùn)動之外，還需實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的速度加減，這兩部分的總體能耗為Estate.

圖1 機(jī)器人運(yùn)動過程中電機(jī)電壓變化

(a)側(cè)視圖

(b)俯視圖

(1)

式中，A為機(jī)器人狀態(tài)參數(shù)所組成的矩陣，B為機(jī)器人控制器參數(shù)矩陣，u為左右兩側(cè)滾輪驅(qū)動電機(jī)的輸入電壓，C為6×6的單位矩陣.結(jié)合以上各運(yùn)動角速度的計(jì)算方法和機(jī)器人PID控制器的控制增益可分別得到軌跡參數(shù)轉(zhuǎn)換模塊的傳遞函數(shù)矩陣T(s)和軌跡跟蹤器的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，通過拉普拉斯變換將式(1)轉(zhuǎn)換為機(jī)器人的傳遞函數(shù)矩陣H(s)，則機(jī)器人的運(yùn)動狀態(tài)變化量Δr與電機(jī)輸入電壓Δu的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(2)

考慮電機(jī)的實(shí)際電能消耗和移動時(shí)左右兩側(cè)滾輪的輸出電壓ul和ur，機(jī)器人在當(dāng)前軌跡移動過程中的變狀態(tài)能耗在時(shí)域中的表達(dá)式為：

(3)

式中，Rm為驅(qū)動電機(jī)電阻值，Ts為變狀態(tài)持續(xù)時(shí)間，ul-和ur-分別為上一次運(yùn)動過程中的輸出電壓.利用傅里葉變換將式(3)的時(shí)域表達(dá)式轉(zhuǎn)換為相同能量輸出的頻域表達(dá)式：

(4)

將式(4)展開，引入C=ul-×Δr、D=ur-×Δr替代多項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng).由于機(jī)器人移動速度變化量Δv、角速度變化量Δw以及運(yùn)動方向的變化量σ均為固定值，所以機(jī)器人系統(tǒng)在頻域上的變狀態(tài)能耗總量表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為：

(5)

由式(5)可見，機(jī)器人在變狀態(tài)階段的能耗取決于上一段運(yùn)動軌跡的輸出功率P_和當(dāng)前軌跡的運(yùn)動狀態(tài)變化量Δr.

1.2 穩(wěn)定狀態(tài)能耗

Efri=[b1(υ-+Δυ)2+b2(w-+Δw)2](T-Ts),

(6)

式中，v_和w_分別為在前一段運(yùn)動軌跡中機(jī)器人的位移速度和滾輪旋轉(zhuǎn)角速度，b1和b2均為常數(shù).

2 最優(yōu)運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法

一定數(shù)量的局部目標(biāo)點(diǎn)劃分為多個(gè)曲線段的機(jī)器人運(yùn)動軌跡中，每一條曲線段都呈圓弧形，設(shè)圓弧形軌跡的圓心角為γ，則機(jī)器人在該段軌跡運(yùn)動的總能耗可通過機(jī)器人運(yùn)動狀態(tài)的轉(zhuǎn)換變量γ與運(yùn)動時(shí)間T來表示，因此，調(diào)整預(yù)定軌跡的變化量Δr和運(yùn)動時(shí)間T即能獲得機(jī)器人的最優(yōu)運(yùn)動軌跡.機(jī)器人在相鄰兩個(gè)局部目標(biāo)點(diǎn)之間的運(yùn)動軌跡如圖3所示.

圖3 相鄰局部目標(biāo)點(diǎn)之間的運(yùn)動軌跡

預(yù)定軌跡的起點(diǎn)即當(dāng)前位置的坐標(biāo)為(xi-1，yi-1)，運(yùn)動目標(biāo)位置的坐標(biāo)為(xi，yi)，當(dāng)前運(yùn)動狀態(tài)向量為(vi-1，wi-1，φi-1).圖3中的粗實(shí)線曲線段為最優(yōu)預(yù)定軌跡，其右側(cè)細(xì)實(shí)線為機(jī)器人運(yùn)動方向不變情況下的光滑軌跡，那么相對于前一段運(yùn)動軌跡，當(dāng)前預(yù)定軌跡的變化量應(yīng)為(Δvi，Δwi，σi)，運(yùn)行時(shí)間為Ti，由此可通過相鄰兩個(gè)局部目標(biāo)點(diǎn)之間的直線距離di和預(yù)定軌跡的圓心角?i分別推導(dǎo)出Δri中的Δvi、Δwi和σi，引入?yún)?shù)變量θ1、θ2，即可得到由變量γi和Ti所組成的預(yù)計(jì)軌跡總能耗表達(dá)式為：

(7)

為了獲得式(7)的最小值，求解以下偏導(dǎo)方程：

(8)

將結(jié)果代入Δvi、Δwi和σi的計(jì)算式，即可得到預(yù)定軌跡相對于前一段運(yùn)動軌跡的最優(yōu)變化量.

3 仿真測試

3.1 能耗模型參數(shù)與最優(yōu)運(yùn)動軌跡

以兩輪自平衡可移動機(jī)器人為測試對象，采用LQR-PID軌跡跟蹤控制器控制機(jī)器人的運(yùn)動，為了保證控制精度，設(shè)定機(jī)器人的移動速度不大于1 m/s，為了避免滾輪空轉(zhuǎn)，設(shè)定旋轉(zhuǎn)角速度不大于0.35 rad/s，運(yùn)動角度變化量不大于80°.

在各種設(shè)定值的范圍內(nèi)隨機(jī)選取1 000組機(jī)器人運(yùn)動軌跡，其中700組用于訓(xùn)練能耗模型，剩余300組用于仿真結(jié)果測試.運(yùn)動軌跡的狀態(tài)量分別為r1=(v1，w1，φ0+σ1)T，…，ri=(vi，wi，φi-1+σi)T，在運(yùn)動軌跡的起點(diǎn)位置將機(jī)器人的運(yùn)動參數(shù)v1、w1和σ1輸入控制器，啟動機(jī)器人并運(yùn)行10秒，記錄第10秒時(shí)的左右兩側(cè)滾輪驅(qū)動電機(jī)輸入電壓ul-和ur-，接下來將v2、w2和σ2輸入控制器再驅(qū)動機(jī)器人運(yùn)行10秒，此時(shí)變狀態(tài)能耗Estate的對應(yīng)時(shí)間為第10-(10+Ts)秒，穩(wěn)定狀態(tài)能耗Efrie的對應(yīng)時(shí)間為第(10+Ts)-20秒，通過實(shí)驗(yàn)可得Ts為5.82秒.利用最小二乘法計(jì)算能耗模型的參數(shù)，可分別獲得能耗模型的參數(shù)向量θ1(a1，…，a13)和θ2(b1，b2)，具體結(jié)果如表1所列.

表1 能耗模型參數(shù)

最后通過300組測試數(shù)據(jù)對表1中的模型參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，通過這些參數(shù)所計(jì)算的運(yùn)動能耗與實(shí)際能耗的誤差如圖4所示.通過測試集驗(yàn)證，運(yùn)動能耗的絕對誤差均不大于1 J，平均相對誤差為0.63%，可見通過本文方法創(chuàng)建的能耗模型是貼近實(shí)際的.

(a)測試集能耗對比絕對誤差

(b)測試集能耗對比相對誤差

機(jī)器人的預(yù)定運(yùn)動軌跡如圖5虛線部分路徑，路徑上的各個(gè)拐點(diǎn)作為運(yùn)動軌跡的局部目標(biāo)點(diǎn)，并按照拐點(diǎn)將路徑劃分為4條局部預(yù)定軌跡，通過本文方法分別計(jì)算機(jī)器人通過各局部目標(biāo)點(diǎn)時(shí)下一段預(yù)定軌跡和運(yùn)行時(shí)間，在各段最優(yōu)軌跡中運(yùn)行時(shí)機(jī)器人的狀態(tài)參數(shù)Etotal、T、v2、w2和σ2變化情況如表2所列.

由表2中的數(shù)據(jù)可見，機(jī)器人在第1段運(yùn)動軌跡的能耗最大，而第2、3、4段軌跡的對應(yīng)能耗較為接近，與實(shí)際情況相符，由此可認(rèn)為通過該能耗模型所獲得的預(yù)定最優(yōu)軌跡與實(shí)際最優(yōu)軌跡應(yīng)較為接近，為了驗(yàn)證這一結(jié)論，將預(yù)定軌跡與實(shí)際軌跡進(jìn)行了對比，結(jié)果如圖6所示.通過第4段曲線起點(diǎn)位置的預(yù)定軌跡與實(shí)際運(yùn)動軌跡的對比可見，兩條曲線幾乎重合，本文方法對最優(yōu)軌跡的規(guī)劃有效.

圖5 機(jī)器人仿真運(yùn)動軌跡

3.2 同類方法對比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法的優(yōu)越性，將該方法分別與運(yùn)動距離最短軌跡規(guī)劃法和能量消耗最低的3次貝塞爾曲線規(guī)劃法進(jìn)行綜合對比.3種規(guī)劃方法所對應(yīng)的機(jī)器人預(yù)定運(yùn)行軌跡如圖7所示，各方法的最終運(yùn)行數(shù)據(jù)如表3所列.

表2 最優(yōu)運(yùn)動軌跡對應(yīng)的機(jī)器人狀態(tài)參數(shù)

圖6 能耗模型最優(yōu)軌跡驗(yàn)證

圖7 不同規(guī)劃方法的預(yù)定運(yùn)行軌跡

表3 不同規(guī)劃方法的最終運(yùn)行數(shù)據(jù)

由表3中的數(shù)據(jù)可見，最短距離規(guī)劃法和最小能量規(guī)劃法的能耗比本文所提規(guī)劃方法的能耗分別高出1.51%和9.26%，且由于所提方法考慮了軌跡控制器的響應(yīng)過程，更貼近機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)，因此相較于其它兩種方法更為有效和實(shí)用.

4 結(jié)論

為了降低兩輪自平衡可移動機(jī)器人在運(yùn)動過程中的電能消耗，以延長其運(yùn)行時(shí)間和移動距離，提出了一種能耗最優(yōu)運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法.通過機(jī)器人運(yùn)動時(shí)的變狀態(tài)能耗和穩(wěn)定狀態(tài)能耗分析創(chuàng)建了總能耗模型，利用最小二乘法確定了模型的狀態(tài)參數(shù)，基于圓弧預(yù)定軌跡的綜合變量選取了最優(yōu)運(yùn)動軌跡.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的最優(yōu)運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法切實(shí)有效，相較于其它同類方法具有明顯的低能耗優(yōu)勢，可在多個(gè)領(lǐng)域中推廣應(yīng)用.