基于梁格林函數(shù)的有砟軌道高頻振動響應(yīng)特性分析

袁可琢，成功，韓健，肖新標

(1.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都，610031；2.西南交通大學機械工程學院，四川成都，610031)

當列車在軌道上運行時，輪軌間的不平順會導致軌道系統(tǒng)的垂向振動，且由于非連續(xù)支承和結(jié)構(gòu)變形等，軌道的力學行為表現(xiàn)出高頻振動[1]，這種振動對軌道本身十分不利。對于軌道的振動響應(yīng)問題，國內(nèi)外學者從不同方面進行了研究，其中模態(tài)疊加法是較為成熟的研究軌道響應(yīng)的解析方法，SUN等[2]基于模態(tài)疊加法建立了軌道模型以研究道砟沉降對車輛/軌道系統(tǒng)的影響。理論上，模態(tài)疊加法為無限個結(jié)構(gòu)模態(tài)的線性疊加，在實際應(yīng)用中需考慮邊界條件的影響，合理地選取軌道長度和模態(tài)截斷頻率，以確保計算的精度和效率。波傳播法[3]是另一種常用的解析方法，其將軌道的空間響應(yīng)表達成指數(shù)函數(shù)的形式，通過其所需滿足的邊界條件求解復(fù)波數(shù)和幅值，并最終得到軌道響應(yīng)。波傳播法求解過程的物理概念清晰且滿足更多的邊界約束條件。利用解析法通常需要將鋼軌簡化成梁模型[4?8]，在滿足一定精度的前提下可以在很大程度上提高計算效率，且相較于Euler 梁模型，Timoshenko 梁模型能更好地反映鋼軌高頻特性[9]。

隨著商業(yè)軟件的成熟，有限元法因其較高的計算精度而成為研究軌道響應(yīng)的重要方法。任娟娟等[10]利用ANSYS 對CRTS III 型板式無砟軌道進行了諧響應(yīng)分析，給出了軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化建議。李志強等[11]借助LS DYNA3D建立了車輛/軌道系統(tǒng)的有限元模型，研究了沖擊載荷作用下的輪軌系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。辛欣等[12]通過ANSYS 和多體動力學軟件SIMPACK的聯(lián)合仿真提高了研究軌道結(jié)構(gòu)振動的效率。當需要考慮更高頻段或引入較長的軌道模型時，隨有限元網(wǎng)格數(shù)量增加，其計算效率會大程度降低。為此，人們發(fā)展出了介于有限元法和解析法之間的2.5D 有限元法[13?14]。ZHANG等[15]利用2.5D有限元法研究了軌道系統(tǒng)的頻域動態(tài)響應(yīng)，并與包含不同剛度扣件的軌道測試結(jié)果進行了對比分析。與有限元法一樣，2.5D有限元法可以考慮鋼軌的截面變形，不僅擴大了其在高頻的適用范圍，還在一定程度上解決了有限元法計算效率低的問題。

格林函數(shù)法也被廣泛應(yīng)用于軌道振動響應(yīng)問題的研究。孫宇等[16?17]在考慮車輛?軌道垂向相互作用時應(yīng)用了格林函數(shù)法，其中鋼軌的格林函數(shù)仍是通過模態(tài)疊加法求得。孫文靜等[18]通過留數(shù)法表達了軌道的格林函數(shù)，在頻域內(nèi)分析了不同軌道模型和車速對軌道系統(tǒng)隨機振動的影響。SHENG等[19]將格林函數(shù)法的應(yīng)用范圍拓展至時域，提出了鋼軌的時域移動格林函數(shù)。從廣義上來說，格林函數(shù)法是用于求解“源?場”關(guān)系問題的一種行之有效的方法，將“源”分解成若干“點源”，對“點源”產(chǎn)生的場即格林函數(shù)進行疊加，從而確定“源”和“場”的關(guān)系。盡管推導軌道格林函數(shù)的方法各異[20?22]，但其往往決定了格林函數(shù)方法的效率。

本文作者兼顧計算精度與速度，基于軌道格林函數(shù)研究受離散支承的有砟軌道的垂向振動響應(yīng)特性，通過傅里葉變換將頻域和時域分析相關(guān)聯(lián)，得到軌道的頻域和時域格林函數(shù)。軌道模型中將鋼軌視為無限長Timoshenko 梁，以梁格林函數(shù)來推導軌道系統(tǒng)的振動響應(yīng)，從而避免了采用模態(tài)疊加法時截斷頻率的限制。該方法本質(zhì)上與波傳播法一致，區(qū)別在于求解過程中無需將空間響應(yīng)預(yù)設(shè)成指數(shù)函數(shù)的形式，可直接求解運動方程，而不是將載荷以類似邊界條件的形式代入。將通過梁格林函數(shù)法求得的鋼軌頻域響應(yīng)和時域響應(yīng)分別與2.5D 有限元法和有限元法的計算值進行對比，以驗證該方法的可靠性。此外，在常用的傳統(tǒng)頻域模型中，車輪相對于軌道靜止，無法考慮鋼軌在移動載荷作用下的多普勒效應(yīng)，利用格林函數(shù)法則可克服這一不足。在此基礎(chǔ)上，本文作者研究不同道砟模型對軌道振動響應(yīng)的影響以及載荷移動速度對鋼軌多普勒效應(yīng)的影響。

1 計算模型

1.1 軌道力學模型

軌道的力學模型如圖1所示。鋼軌視為無限長Timoshenko 梁，受周期性離散支撐。鋼軌的相關(guān)參數(shù)包括單位長度質(zhì)量m、彈性模量E、剪切模量G、密度ρ、橫截面面積A、截面積慣性矩I和剪切系數(shù)κ、從鋼軌底部到橫截面中性層的距離h。位移與鋼軌位置x和時間t有關(guān)，包括縱向位移u(x，t)、垂向位移w(x，t)和截面轉(zhuǎn)動角θ(x，t)。Q為作用在鋼軌上的載荷。

圖1 軌道力學模型Fig.1 Mechanical model of track

將半軌枕視為剛體，其質(zhì)量和慣性矩分別為Ms和Is。軌枕的位移變量包括橫向位移xi(t)、垂向位移zi(t)和轉(zhuǎn)動角αi(t)。模型中共包含N個軌枕，第i個軌枕的位置為li。從軌枕中性層到軌腳和軌枕底部的距離分別為h1和h2；d為相鄰2 個軌枕之間的距離。

將扣件和道砟部分視為彈性層，在其起作用的方向上均可等效成彈簧和阻尼器的并聯(lián)裝置（圖中僅顯示垂向裝置）。剛度參數(shù)包括kpx，kpz，kpα，kbx和kbz，阻尼參數(shù)包括cpx，cpz，cpα，cbx和cbz。剛度和阻尼均為常數(shù)，只與扣件和道砟的本身性質(zhì)相關(guān)。

1.2 軌道格林函數(shù)

根據(jù)軌道力學模型可以得到鋼軌和軌枕的運動微分方程組：

式中：δ為狄里克雷函數(shù)；Q=δ(x-ξ)e為載荷，e=[0 10]T；qr=[u(x,t)w(x,t)θ(x,t)]T和qri=[u(li,t)w(li,t)θ(li,t)]T為鋼軌的位移列向量；為軌枕的位移列向量；Sx,t，Bt，Ct，Dt和Et為3 階矩陣微分算子，可以根據(jù)軌道的振動微分方程整理得到。

對式(1)和式(2)關(guān)于t進行傅里葉變換，分別得到式(3)和式(4)：

由式(4)得

由于鋼軌彎曲和縱向位移耦合，可引入矩陣Tx將Sx,ω對角化為

式中：S1和S2為對角矩陣中的元素。

此時，可引入格林函數(shù)矩陣

其需滿足：

式中：ED為單位矩陣，由式(9)可得

先考慮式(10)右側(cè)為δ(x)的情況，對式(10)進行傅里葉變換后易求解得：

式中：F[.]表示傅里葉變換；σ，σ1和σ2為特征值。將式(11)進行傅里葉逆變換，并用(x?x′)替換x后，即可得無限長桿和Timoshenko梁的格林函數(shù)：

于是，式(6)可以寫成如下形式：

當x=lk時，k為正整數(shù)，令Grk=Gr(lk,ξ,ω)及Qk=Γ*(lk,ξ,ω)e，則有

由式(15)可以解出所有軌枕處鋼軌的Grk，將其代入式(14)得到任意位置處鋼軌的頻域格林函數(shù)Gr。對Gr進行傅里葉逆變換，有

式中：gr為鋼軌的時域格林函數(shù)。

2 格林函數(shù)驗證

軌道格林函數(shù)是軌道的固有屬性，同種軌道結(jié)構(gòu)對應(yīng)相同的軌道格林函數(shù)。軌道的相關(guān)參數(shù)如表1所示。數(shù)值模擬時軌道模型長度相當于40個軌枕間的跨度。

表1 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of track

圖2所示為鋼軌在激勵點處的頻域響應(yīng)，為驗證該結(jié)果的有效性，圖中同時給出了利用2.5D 有限元法計算所得的頻響結(jié)果。

由圖2可見：鋼軌的低頻響應(yīng)在90 Hz 和510 Hz 處存在峰值，整個軌道可以視為1 個具有2層彈性層的振動系統(tǒng)，軌枕跨中鋼軌的位移導納比軌枕上方鋼軌上的位移導納略高。在中高頻區(qū)，軌枕跨中鋼軌約在1 070 Hz 出現(xiàn)第一個pinnedpinned 共振，而軌枕上方鋼軌由于受到彈性支承，在1 120 Hz 左右出現(xiàn)了反向pinned-pinned 共振；第二個pinned-pinned 共振峰值對應(yīng)的頻率約為2 870 Hz，2 個激勵點處鋼軌的位移導納均達到最??；第三個pinned-pinned 共振峰值對應(yīng)頻率約為4 670 Hz，軌枕跨中鋼軌的位移導納最大，軌枕上方鋼軌的位移導納最小。

圖2 不同方法計算的鋼軌頻域響應(yīng)Fig.2 Frequency-domain response of rail with different methods

對比分別利用梁格林函數(shù)法與2.5D有限元法計算得到的鋼軌頻域響應(yīng)結(jié)果可見：兩者在2 000 Hz以下的頻域范圍內(nèi)能保持較好的一致性；在更高的頻域內(nèi)，由于鋼軌會發(fā)生截面變形，不再表現(xiàn)出梁的振動行為，2種方法所得計算結(jié)果將會出現(xiàn)明顯差異。這是將鋼軌當成梁來處理所不可避免的，但總體來說，在梁模型所考慮的頻率范圍內(nèi)，該方法有效。

利用時域格林函數(shù)可以對鋼軌的垂向沖擊響應(yīng)進行時域分析，圖3所示為鋼軌的時域響應(yīng)，即鋼軌在脈沖激勵下的響應(yīng)。圖中同時給出了利用有限元軟件ANSYS對軌道進行瞬態(tài)分析得到的時域響應(yīng)結(jié)果，用以驗證本文方法的準確性。

圖3 不同方法計算的鋼軌時域響應(yīng)Fig.3 Time-domain response of rail with different methods

由圖3可見：對于軌枕跨中鋼軌，響應(yīng)的最大值約為6.54 μm/(N·s)，響應(yīng)主要由90 Hz和1 070 Hz對應(yīng)的振蕩混合決定，正好對應(yīng)其頻響中的共振和一階pinned-pinned 共振。對于軌枕上方鋼軌，由于受到支承作用，靈敏度相對于跨中鋼軌略低，其時域響應(yīng)幾乎是1條平滑的曲線，沖擊響應(yīng)的最大值約為4.04 μm/(N·s)，主要由頻域中的共振頻率所對應(yīng)的振蕩主導。

通過與有限元法的瞬態(tài)分析計算結(jié)果對比可知，梁格林函數(shù)法計算得到的軌枕上方的時域響應(yīng)與有限元結(jié)果基本一致，而跨中鋼軌響應(yīng)曲線的波動幅度比有限元結(jié)果的大，這是由于相較于有限元模型，梁模型是對實際軌道結(jié)構(gòu)的簡化描述，其在當前所用的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下計算所得的一階pinned-pinned 共振略大所導致?？傮w而言，梁格林函數(shù)法與有限元法計算所得時域響應(yīng)的結(jié)果相符。但有限元法由于受到網(wǎng)格數(shù)量等因素影響，在本文中進行一次瞬態(tài)分析需要約1 h，而通過梁格林函數(shù)計算軌道時域響應(yīng)可以在幾秒內(nèi)完成?？梢?，在滿足一定精度要求的前提下，采用梁格林函數(shù)的計算效率要遠比有限元法的計算效率高。

3 軌道振動響應(yīng)特性

通過與2.5D 有限元法和有限元法的計算結(jié)果對比，說明了梁格林函數(shù)在頻域和時域分析中的可靠性，以及在計算上的高效性。軌道的振動響應(yīng)受到諸多因素影響，下面應(yīng)用該方法對有砟軌道的振動響應(yīng)進行進一步研究。

3.1 道砟質(zhì)量影響

對于有砟軌道，道砟部分的質(zhì)量對軌道響應(yīng)的影響不可忽視，前述軌道模型中將道砟部分等效為軌枕與地基之間的彈性層，而忽略了道砟部分的質(zhì)量。為了能顯著體現(xiàn)出道砟的吸振效果，可以在原模型的基礎(chǔ)上，用道砟質(zhì)量塊模型替換簡化的道砟彈性層模型，如圖4所示。

圖4 道砟模型Fig.4 Mechanical model of ballast

在道砟質(zhì)量塊模型中，道砟等效振動質(zhì)量Mb為531 kg，道砟與地基之間的剛度kfz為78 MN/m，阻尼cfz為31 kN·s/m。圖5所示為利用2種道砟模型計算得到的軌道在激勵點處的頻域響應(yīng)。

由圖5可見：利用2種道砟模型計算得到的軌道頻域響應(yīng)結(jié)果的區(qū)別主要在300 Hz 以下的低頻區(qū)域，道砟質(zhì)量塊模型中的鋼軌位移導納更高，且共振頻率也更低；在300 Hz以上的中高頻范圍，2種模型計算所得的頻響結(jié)果基本相同。此外，考慮道砟質(zhì)量后，在80 Hz左右的道砟頻響比鋼軌頻響大，此時道砟表現(xiàn)出明顯的吸振作用，而軌枕的吸振作用則發(fā)生在更高的頻率，約為210 Hz。實際上，把道砟處理成質(zhì)量塊會增加軌下支撐部分的柔度，這對鋼軌的高頻響應(yīng)影響甚微。

圖5 不同模型計算的軌道頻域響應(yīng)Fig.5 Frequency-domain responses of track with different models

為了更進一步研究軌道的垂向沖擊響應(yīng)，可以利用時域格林函數(shù)進行時域分析。圖6所示為利用2種道砟模型計算所得的鋼軌部分的沖擊響應(yīng)。

由圖6可見：與道砟彈性層模型相比，道砟質(zhì)量塊模型中鋼軌的沖擊響應(yīng)最大值沒有明顯區(qū)別，其主要差異在于響應(yīng)的衰減速度減緩，這是主導其衰減的振蕩所對應(yīng)的頻率減小所致，該頻率即對應(yīng)鋼軌頻響中的共振頻率。

圖6 不同模型計算的鋼軌時域響應(yīng)Fig.6 Time-domain responses of rail with different models

3.2 多普勒效應(yīng)

軌道格林函數(shù)反映了軌道在靜態(tài)力作用下的振動響應(yīng)，其只與軌道本身的結(jié)構(gòu)屬性相關(guān)。在已知軌道格林函數(shù)的基礎(chǔ)上，可進一步研究軌道在動態(tài)力作用下的響應(yīng)。圖7所示為鋼軌在速度為60 m/s的移動單位載荷作用下的頻域響應(yīng)。

圖7 鋼軌位移導納Fig.7 Receptance of rail

由圖7可見：當軌道受到移動載荷激勵時，軌枕跨中鋼軌在pinned-pinned 共振頻率附近會出現(xiàn)多普勒效應(yīng)，原本在靜載作用下的單個pinnedpinned峰值會發(fā)生分叉現(xiàn)象，形成2個共振峰，且峰值會減小，而對于軌枕上方鋼軌則沒有類似的現(xiàn)象。實際上，多普勒效應(yīng)是載荷與軌道發(fā)生相對移動的必然結(jié)果，利用格林函數(shù)方法可以很好地反映這一現(xiàn)象。多普勒效應(yīng)與速度相關(guān)。圖8所示為在不同速度的移動載荷作用下，軌枕跨中鋼軌在pinned-pinned共振頻率附近的位移導納。

由圖8可見：速度對軌枕跨中鋼軌在高頻范圍內(nèi)的多普勒效應(yīng)有顯著影響。隨載荷移動速度不斷增大，在pinned-pinned 共振頻域內(nèi)，峰值逐漸減小，且峰值所對應(yīng)的頻率相差也越來越大，多普勒效應(yīng)越明顯，這也可以間接反映移動載荷作用下軌道時域響應(yīng)的復(fù)雜性。事實上，pinnedpinned共振與鋼軌波磨的發(fā)展關(guān)系較大，因此，研究移動載荷作用下鋼軌在pinned-pinned 共振區(qū)域的多普勒效應(yīng)對后續(xù)研究鋼軌波磨的發(fā)展很有意義。

圖8 跨中鋼軌位移導納Fig.8 Receptance of rail at mid span

4 結(jié)論

1)應(yīng)用梁格林函數(shù)法與2.5D 有限元方法計算所得的頻響結(jié)果在2 000 Hz以下的頻域范圍內(nèi)基本相同，與有限元方法計算所得的時域響應(yīng)亦基本保持一致，表明該方法在軌道振動響應(yīng)計算中具有較高的可靠性，且該方法的計算效率遠比有限元方法的計算效率高。

2)考慮道砟質(zhì)量后，在頻域內(nèi)會增大鋼軌的低頻響應(yīng)，并降低其共振頻率，但不影響鋼軌在中高頻范圍內(nèi)的響應(yīng)；在時域內(nèi)，軌道沖擊響應(yīng)的衰減速度會減緩。

3)移動載荷的作用會導致軌枕跨中鋼軌在一階pinned-pinned 共振頻率附近產(chǎn)生多普勒效應(yīng)，原本在靜載作用下的單個pinned-pinned 共振峰會分叉形成2個峰，且隨載荷移動速度增大，分叉越明顯，峰值越小。

4)軌道格林函數(shù)是軌道系統(tǒng)的固有屬性，后續(xù)借助赫茲彈性接觸理論可進一步計算輪軌接觸力。軌道格林函數(shù)是軌道在輪軌相互作用中始終保持不變的位移相關(guān)函數(shù)，應(yīng)用格林函數(shù)方法可避免由于激勵變化導致的位移相關(guān)量的重復(fù)求解。