分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程新的保能量格式

王昌琳，劉 瑩，孫建強(qiáng)

（海南大學(xué)理學(xué)院，海南 ?？?570228）

在等離子體物理學(xué)中，Zakharov方程是描述等離子體中Langmuir波和離子聲波相互作用的經(jīng)典偏微分方程模型［1］.經(jīng)典Zakharov方程模型系統(tǒng)也被認(rèn)為是描述高頻蘭繆爾波與低頻離子的最佳系統(tǒng)模型，其中包括Klein-Gordon-Zakharov方程模型.Klein-Gordon-Zakharov（KGZ）方程是由2個(gè)函數(shù)u(x，t)和m(x，t)相互耦合的方程.u(x，t)函數(shù)表示由電子引起的電場(chǎng)的快速時(shí)標(biāo)分量，描述偏差平衡時(shí)離子密度的變化的一類(lèi)復(fù)數(shù)函數(shù)，m(x，t)是一個(gè)實(shí)函數(shù).KGZ方程模型類(lèi)似于Zakharov方程Klein-Gordon Schrodinger方程［2-4］.非線(xiàn)性的Klein-Gordon-Zakharov方程在等離子體物理學(xué)中起著重要作用.

近年來(lái)，許多學(xué)者分析了Klein-Gordon-Zakharov方程解的存在性條件并用數(shù)值方法計(jì)算方程解的行為.Liu等［4］分析了耦合非線(xiàn)Klein-Gordon方程的周期解.Zhang等［5］分析了Klein-Gordon-Zakharov方程整體解的光滑條件.Tsutaya［6］分析了Klein-Gordon-Zakharov方程小振幅解的整體存在性.同時(shí)Wang等［7］和Chen等［8］利用數(shù)值方法分析了Klein-Gordon-Zakharov方程數(shù)值解的特性.構(gòu)造分?jǐn)?shù)階偏微分方程的能量守恒格式在數(shù)值模擬能量守恒分?jǐn)?shù)階偏微分方程中具有重要的意義.Rome等［9］和Hendy等［10］構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的守恒數(shù)值格式，并分析了方程的數(shù)值行為和守恒特性.

保結(jié)構(gòu)算法在求解具有守恒特性的偏微分方程中具有重要的優(yōu)勢(shì)，如保偏微分方程多辛守恒的多Runge-Kutta方法，多辛譜方法等具有長(zhǎng)時(shí)間的精確計(jì)算能力和近似保方程的能量守恒特性［11-12］.保哈密爾頓系統(tǒng)和多辛結(jié)構(gòu)偏微分方程能量守恒的平均向量場(chǎng)方法和保哈密爾頓系統(tǒng)能量守恒的邊界值方法［13-15］.利用平均向量場(chǎng)方法和擬譜方法求解如下的分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程［9］.

其中，u=u(x，t)=ξ(x，t)+iη(x，t)=ξ+iη，v x=m t.方程（1）具有能量守恒特性.在空間有限域Ω=(a，b)內(nèi)相應(yīng)的能量函數(shù)為

1 分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的多辛格式

對(duì)于分?jǐn)?shù)階KGZ方程（1），令w(x，t)=u t(x，t)，v x(x，t)=m t(x，t)，v(x，t)=-2p x(x，t)和w=γ+iβ，u=ζ+iη，則方程（1）等價(jià)于

方程（4）可以寫(xiě)成如下多辛結(jié)構(gòu)形式

其中，

矩陣分別為

格式（5）滿(mǎn)足多辛守恒定律

2 分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程的多辛保能量方法

令u N(x)表示函數(shù)u(x)中的插值逼近I N u(x)，有

則由等式（8）和等式（9）可得

同時(shí)對(duì)方程中變量p，v關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)的譜微分矩陣D1為

在時(shí)間方向上，對(duì)空間離散后的多辛系統(tǒng)（15）用二階平均向量場(chǎng)方法［12］進(jìn)行近似離散，有

方程組（16）中消去變量γ，β，ζ，η.可得到如下離散格式

定理1 離散能量函數(shù)（18）關(guān)于時(shí)間是守恒的.

證明由于等式（15）可以寫(xiě)成

用二階平均向量場(chǎng)方法對(duì)等式（19）進(jìn)行離散，可以得到

其中，τ為時(shí)間步長(zhǎng)，等式（20）可以寫(xiě)成

由于K是一個(gè)斜對(duì)稱(chēng)矩陣，則有下面等式成立

所以離散能量函數(shù)（18）保持能量守恒.

把格式（17）中向量u n+1，m n+1，v n+1，w n+1，p n+1，u n，m n，v n，w n，p n分別取為u n，m n，v n，w n，p n，u n-1，m n-1，v n-1，w n-1，p n-1，得到一組新方程組，再與原方程組相加減消去輔助變量w，v，p.從而得到一個(gè)新的方程組.

3 數(shù)值模擬

考慮分?jǐn)?shù)階KGZ方程在x∈[-10，10]和時(shí)間t∈[0，24]的數(shù)值解.新格式（22）是三層格式，取初始兩步的初始條件為［9］

圖1是方程在α=2和t∈[0，24]內(nèi)|u(x，t)|和m(x，t)的數(shù)值解.從圖1可知，數(shù)值結(jié)果與參考文獻(xiàn)［9］一致，新格式能夠較好地模擬方程數(shù)值解的行為.

圖1 分?jǐn)?shù)階KGZ方程|u(x，t)|和m(x，t)在t∈[0，24]的數(shù)值解

圖2是方程在α取不同值時(shí)的能量圖.從圖2可知方程在α取不同值時(shí)，隨著時(shí)間的改變，能量一直保持不變，新格式保持方程的離散能量守恒特性.

圖2 分?jǐn)?shù)階KGZ方程在α取不同值時(shí)在t∈[0，24]的能量值與初始能量值的比較圖.

4 小結(jié)

將分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Zakharov方程寫(xiě)成多辛結(jié)構(gòu)，利用傅里葉擬譜方法對(duì)Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)離散近似，再利用平均向量場(chǎng)方法構(gòu)造出Riesz空間分?jǐn)?shù)階KGZ方程新的保能量格式，用新格式數(shù)值模擬Riesz空間分?jǐn)?shù)階KGZ方程孤立波的演化行為.數(shù)值結(jié)果表明新格式能很好地模擬分?jǐn)?shù)階KGZ方程孤立波的演化行為并很好地保持了方程的離散能量守恒特性.顯然，利用平均向量場(chǎng)方法在數(shù)值求解具有辛和多辛結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階偏微分方程中具有一定的優(yōu)越性.