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    含滑動節(jié)點索結構體系分析方法研究*

    2022-01-24 10:46:40劉學武侯亞委李慶建
    施工技術(中英文) 2021年20期
    關鍵詞:滑輪牛頓滑動

    劉學武,李 博,侯亞委,李慶建

    (華電重工股份有限公司,北京 100070)

    0 引言

    索在結構工程中扮演著非常重要的角色,如索道、懸索結構和斜拉結構等中拉索均為非?;钴S的單元[1]。拉索連接節(jié)點在工程應用中可分為2種形式:①不滑動節(jié)點,即索與索或索與構件之間的連接為“死結”,不會產(chǎn)生相對滑移,如索網(wǎng)結構和索桿結構等節(jié)點;②索在節(jié)點處可產(chǎn)生相對滑移,如索道中跑車滑輪與索之間可產(chǎn)生相對滑移。含滑動節(jié)點索結構體系的受力特點為:由某一初始位形釋放結構體系,結構體系在不平衡力系作用下最終達到平衡狀態(tài)及幾何姿態(tài),且有時會伴有一定的結構位移,受力具有雙重非線性,即索非線性及節(jié)點滑動接觸的非線性,受力分析較復雜,難以精確模擬。

    不滑動索系結構的分析相對簡單,國內(nèi)外很多學者對索單元進行研究,但對含滑動節(jié)點索結構體系模擬分析方法的研究相對較少。若采用現(xiàn)有有限元軟件中的接觸算法可得到有效求解,但非常繁瑣。文獻[2]提出一種有效的滑移索單元法,但需求解復雜的滑移剛度矩陣;文獻[3]建立了一種考慮索滑移算法,但在求解各索段原長時采用了不考慮彈性的索長計算公式;文獻[4]建立了調(diào)整支點兩側索力的方法,但增加了滑移處索長的調(diào)整;文獻[5]提出了在中間節(jié)點處可自由滑動的多跨連續(xù)索靜力平衡的算法;文獻[1]通過虛加溫度荷載方法來調(diào)整滑輪兩側索段原長,使兩側索力相等,但在求解多滑輪組問題時算法收斂困難;文獻[6]提出一種三節(jié)點摩擦滑移索單元;文獻[7]在處理荷載緩和體系時,提出了能量搜索法和動力松弛法,但只能處理索端張力已知的問題。

    然而,上述方法并不能考慮在可滑動支座處,滑輪或鞍座半徑對索受力狀態(tài)的影響。Mcdonald等[8]借助索和滑輪相互作用中的4個獨立內(nèi)變量建立了一種單元,可模擬索在由1個鏈桿連接的滑輪上的滑動。借鑒該方法,魏建東[9]建立了索在滑輪上滑動模擬的滑移索單元,同時魏建東等[10]建立了滑輪在索上行走分析的索-滑輪單元。本文將上述單元統(tǒng)稱為滑移索單元,其求解方法與常規(guī)有限元法相同,便于應用。本文進一步對滑移索單元進行探討,構建滑移索單元高效求解的延拓牛頓法,給出索結構體系精確分析方法,編制相應的有限元分析程序,為實際工程的設計和施工提供可靠分析手段。

    1 滑移索單元

    滑移索單元[8-10]為一個平面三節(jié)點單元,3個節(jié)點分別為索兩端點I(xI,yI),J(xJ,yJ)及滑輪中心點K(xK,yK),每個節(jié)點有2個自由度ux,uy,相應節(jié)點力分別為Fx,F(xiàn)y。索采用懸鏈線模型,索和滑輪之間可產(chǎn)生相互滑移,設3個節(jié)點的坐標、位移和力列陣分別為Xe,ue和Fe。

    滑移索單元在給定節(jié)點I,J之間索原長的情況下,利用4個內(nèi)變量V1~V4即可確定其幾何形狀,設其組成內(nèi)變量矢量Ve。

    對于滑移索單元,通過直接建立節(jié)點力和位移的增量方程來推導單元剛度矩陣較困難。文獻[8-10]通過內(nèi)變量建立單元節(jié)點力和位移之間的關系,進而可獲得單元剛度矩陣,推導基本過程如下。

    1)選擇單元內(nèi)變量Ve。

    4)聯(lián)立單元節(jié)點力和位移分別與內(nèi)變量之間的增量方程,得到單元增量控制方程ΔFe=KeΔue及切線剛度矩陣Ke=MN。

    實際工程索結構中存在的滑動節(jié)點及其對應的滑移索單元類型可分為3種:①滑移索單元Ⅰ型 索懸掛在滑輪上;②滑移索單元Ⅱ型 滑輪在索上行走;③滑移索單元Ⅲ型 索與滑輪在側面接觸。

    滑移索單元Ⅰ型內(nèi)變量和節(jié)點力分別如圖1,2所示。滑移索單元Ⅰ型4個內(nèi)變量的物理意義分別為[8-10]:V1為左索段在滑輪脫離點A處的張力,V2為從豎直方向逆時針繞滑輪中心點K旋轉到左索段脫離點A的角度,V3為從豎直方向順時針繞滑輪中心點K旋轉到右索段脫離點B的角度,V4為左索段節(jié)點I,A之間無應力原長。這些內(nèi)變量的選擇不是唯一的,但利用其推導的公式形式最為簡單。

    圖1 滑移索單元Ⅰ型內(nèi)變量

    圖2 滑移索單元Ⅰ型節(jié)點力

    滑移索單元Ⅱ型內(nèi)變量和節(jié)點力分別如圖3,4所示?;扑鲉卧蛐?個內(nèi)變量物理意義分別為[8-10]:V1為左索段在滑輪脫離點A處的張力;V2為從豎直方向順時針繞滑輪中心點K旋轉到左索段脫離點A的角度,V3為從豎直方向逆時針繞滑輪中心點K旋轉到右索段脫離點B的角度,V4為左索段節(jié)點I,A之間無應力原長。

    圖3 滑移索單元Ⅱ型內(nèi)變量

    圖4 滑移索單元Ⅱ型節(jié)點力

    滑移索單元Ⅲ型內(nèi)變量如圖5所示?;扑鲉卧笮?個內(nèi)變量的物理意義分別為[8-10]:V1為下索段在滑輪脫離點A處的張力,V2為從水平方向順時針繞滑輪中心點K旋轉到下索段脫離點A的角度,V3為從水平方向逆時針繞滑輪中心點K旋轉到上索段脫離點B的角度,V4為下索段節(jié)點I,A之間無應力原長。

    圖5 滑移索單元Ⅲ型內(nèi)變量

    3類單元異同如下。

    1)不同點 ①描述的物理現(xiàn)象不同,其中滑移索單元Ⅰ型描述的是索在滑輪上的滑移,滑移索單元Ⅱ型描述的是滑輪在索上的行走,滑移索單元Ⅲ型描述的是索在滑輪一側滑移;②三類單元中表述內(nèi)變量的坐標系不同。

    2)相同點 ①單元構成相同,都是由1個滑輪和1段索組成;②單元受力機理相同,都是描述了索與滑輪之間的相互摩擦滑移;③從數(shù)學計算上來說,3類單元相同,具有通用性。

    以下對3類單元通用性進行研究。取1段索懸掛在1個滑輪上的簡單結構體系(見圖1),索兩端和滑輪中心點固定,3個節(jié)點分別為I(-22,0),J(22,0),K(0,15)。索原長Lu=53.15m,截面面積A=2.0×10-4m2,彈性模量E=2.0×1011N/m2,索重w=50N/m;滑輪重G=0,半徑r=0,摩擦效率e=1.0。采用3類單元確定體系平衡狀態(tài),結果如表1所示。

    表1 3類單元索受力狀態(tài)

    通過算例可發(fā)現(xiàn),3類單元分別求解同一個結構得到索的受力狀態(tài)一致,只是單元內(nèi)變量結果不同,這是由3類單元各自內(nèi)變量坐標系不同而導致的,說明這3類單元具有通用性。因此,在對索滑動節(jié)點進行模擬時可采用其中任意一種單元,只是迭代初值的選擇要與相應單元類型內(nèi)變量的坐標系相對應。

    2 單元求解方法

    基于有限單元法,滑移索單元剛度矩陣和節(jié)點力的求解方法為:

    3)由Ve可得到單元剛度矩陣Ke。

    由于牛頓法局部收斂,只有初值與精確值足夠接近時才會迭代收斂。研究發(fā)現(xiàn),內(nèi)變量求解時其初值的選擇須謹慎,直接影響解的收斂性。為擴大初值選擇范圍,構造了內(nèi)變量求解的延拓牛頓法,基本思想為:先利用延拓法近似求解1個內(nèi)變量,以此作為牛頓法的迭代初值進行求解,最終獲得收斂解。

    延拓牛頓法[11]基本思想為:引入?yún)?shù)t,構造1組映射H(x,t)代替單映射F(x),使得H滿足條件:

    H(x0,0)=0,H(x,1)=F(x)

    (1)

    即當t=0時,H(x0,0)=0的解x0已知;當t=1時,H(x,1)=F(x)=0的解x*即為方程的解。滿足上述條件常用的同倫為:

    H(x,t)=F(x)+(t-1)F(x0)

    (2)

    延拓法迭代求解公式為:

    其中,k=1,2,3,…,N-1。

    牛頓法迭代求解公式為:

    xk+1=xk-F′(xk)-1F(xk)

    (4)

    其中,k=N,N+1,N+2,…。

    聯(lián)立式(3),(4)即為延拓牛頓法。其中,前面N步(式(3))主要是為求解x*的1個足夠好的初始近似值xN,然后再用牛頓法(式(4))即可求得x更精確的近似解。

    取不同迭代初值時牛頓法和延拓牛頓法收斂性如表2所示。其中,在采用延拓牛頓法時N取30,表中延拓牛頓法的迭代次數(shù)與牛頓法的迭代次數(shù)相同。

    表2 迭代初值不同時牛頓法和延拓牛頓法的計算結果

    從表2對單元Ⅰ型的算例研究可看出,采用牛頓法求解滑移索單元內(nèi)變量時,存在一定的局部收斂性,算法不易收斂,而采用延拓牛頓法時具有較強的穩(wěn)定性和收斂性,且迭代初值選擇的范圍較大。單元 Ⅱ,Ⅲ型的收斂性研究結果與單元Ⅰ型的收斂情況一致,在此不再贅述。

    3 索結構分析方法

    基于滑移索單元,可構建含滑動節(jié)點索結構體系精確模擬分析方法,其求解過程和步驟如下。

    5)重復步驟4),直至誤差‖ΔPn‖≤ε和‖Δun‖≤ε,其中ε為小數(shù),則求解收斂,即可得到整體結構受力狀態(tài)。

    6)求解過程中,若整體結構中存在梁、桿和殼等其他單元,其計算原理可參見相關文獻,在此不再贅述。

    上述方法建立的索結構分析程序在求解時需給出索原長,但在實際工程施工和設計中往往只給出預應力狀態(tài)下索在控制點的張力或垂度限值,而索原長未知。因此,在對索結構進行分析時需首先假定索原長,然后以指定點的張力和垂度為目標變量進行迭代求解。

    4 工程算例分析

    采用上述方法編制了可精確模擬含滑動節(jié)點索結構體系分析的有限元程序,用于實際工程中該類結構設計和施工過程分析。

    1)索道受力狀態(tài)分析 取圖6所示滑動索道體系,其中索兩端點A,D固定,2個滑輪中心點B,C固定,索在滑輪上可滑移。索截面面積A=2.0×10-4m2,彈性模量E=1.9×1011N/m2,索重w=50N/m;滑輪重G=0,半徑r=0.3m,摩擦效率e=1.0。E點作用1個豎向荷載P,分為P=0,P=5kN 2種情況進行討論。將整個結構劃分為2個索輪單元Ⅰ型進行求解,分析中首先給定索結構初始狀態(tài),即首先給出E點初始坐標及索原長。

    圖6 滑動索道體系(單位:m)

    分3種工況進行求解:①索原長為100m時結構的平衡狀態(tài);②索在A點張力為800N(P=0)和5kN(P=5kN)時索原長;③索跨中節(jié)點E垂度為10m(P=0)和13m(P=5kN)時索原長。各種工況下的求解結果如表3,4所示。在此設P為索道上跑車自重,則在給定索總原長的基礎上改變其作用點E的位置,即可模擬固結式跑車在索道上的行走。對于輪式跑車,可在跑車作用處設置1個滑移索單元,跑車自重作用在滑輪上,同時增加1道牽引索,一端與跑車的滑輪中心相連,另一端連在牽引裝置上,拉動牽引索改變跑車滑輪在索道上的位置,即可模擬跑車在索道上的行走。

    表3 3種工況下的求解結果(P=0)

    表4 3種工況下的求解結果(P=5kN)

    2)懸索橋主纜受力狀態(tài)分析 取圖7所示懸索橋主纜進行分析,其中,纜索截面面積A=0.3m2,彈性模量E=1.9×1011N/m2,索重w=50kN/m;B,C處鞍座重G=0,半徑r=0.5m,假設纜索與鞍座之間可產(chǎn)生相互滑移,摩擦效率e=1.0。取橋塔剛度足夠大,不考慮加勁梁作用。分析中首先給定纜索初始狀態(tài),即首先給出E點初始坐標及纜索原長。分3種工況進行求解:①纜索原長為1 500m 時結構平衡狀態(tài);②纜索在A點張力為4.5×104kN時索原長;③纜索跨中節(jié)點E垂度為80m時索原長。求解結果如表5所示。分析中若將主纜根據(jù)設計分成若干索段,按施工方案依次安裝吊索及加勁梁,即可模擬懸索橋在施工過程中的受力狀態(tài)。

    圖7 懸索橋主纜(單位:m)

    表5 3種工況下的求解結果

    3)大跨度懸挑索-滑輪結構受力狀態(tài)分析 取圖8所示索-滑輪體系進行分析,其中索截面面積Ac=2.0×10-4m2,彈性模量Ec=1.9×1011N/m2,索重w=50N/m;滑輪半徑r=0.3m,摩擦效率e=1.0。橫梁截面面積A=1.466×10-2m2,慣性矩I=1.059 3×10-3m4,彈性模量E=2.06×1011N/m2。荷載P=10kN,不考慮橫梁自重。分2種工況進行求解:①索原長為65m時結構平衡狀態(tài);②索在B點張力為18kN時索原長。2種工況下索和橫梁受力狀態(tài)如表6,7所示。

    圖8 大跨度懸挑索-滑輪結構體系(單位:m)

    表6 2種工況下索受力狀態(tài)

    表7 2種工況下橫梁受力狀態(tài)

    5 結語

    1)對可精確模擬索結構中滑動節(jié)點受力特性的滑移索單元進行探討,研究表明這3類單元也具有通用性。

    2)構建了滑移索單元內(nèi)變量求解的延拓牛頓法,能有效提高單元求解的收斂性,并且迭代初值選擇范圍更大。

    3)構建含滑動節(jié)點索結構體系求解的迭代分析法,編制相應的有限元程序,算例分析表明,分析方法和分析程序正確,可用于實際工程的設計和施工分析。

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