具有F性質(zhì)系統(tǒng)的拓撲熵和熵維數(shù)的關(guān)系

陳虎,歷智明

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

文獻[1]引入動力系統(tǒng)(X,f)拓撲熵的概念,它反映了系統(tǒng)的復(fù)雜性,拓撲熵是動力系統(tǒng)中經(jīng)典的拓撲共軛不變量.文獻[2]定義任意緊子集的拓撲熵.對于光滑系統(tǒng)(X,f),文獻[3]證明了熵的有限性,即

其中htop(f)是f的拓撲熵,dimX是流形X的維數(shù),||f||C1是f的C1范數(shù).更一般地對Lipschitz系統(tǒng)有

其中f是緊度量空間X到X的Lipschitz映射,dimBX是熵維數(shù),L(f)是映射f的Lipschitz常數(shù).

通常使用包含度量的熵另一種定義更加簡潔;由于拓撲熵與度量無關(guān),系統(tǒng)(1)可以進行如下改進:

其中D是誘導(dǎo)原空間拓撲的度量的集合,Lρ(f)是映射f相對于ρ的Lipschitz常數(shù).

E.Ghys提出了以下猜想:如果X具有有限熵維數(shù)的緊度量空間,(X,f)是Lipschitz系統(tǒng),則(2)式成立的充要條件是拓撲熵指數(shù)收斂.

文獻[4]給出了E.Ghys猜想在自治系統(tǒng)下成立的充要條件:不等式(2)成立當(dāng)且僅當(dāng)拓撲熵htop(f)指數(shù)收斂.文獻[5]給出了非自治拓撲動力系統(tǒng)下E.Ghys猜想成立充要條件.由于拓撲熵是刻畫動力系統(tǒng)復(fù)雜程度的重要不變量,關(guān)于拓撲熵的研究國內(nèi)外有許多重要的成果[6-14].

本文在上述研究的基礎(chǔ)上,定義一類比Lipschitz系統(tǒng)與H¨older連續(xù)系統(tǒng)更為一般的系統(tǒng),即(X,f)具有F性質(zhì),最后得到此類系統(tǒng)下Ghys猜想成立的充要條件是拓撲熵指數(shù)收斂.

2 預(yù)備知識

2.1 基本定義

定義 2.1設(shè)(X,ρ)是度量空間,給定映射f:X →X,稱f是Lipschitz映射,如果滿足

且稱 Lρ(f)是 Lipschitz常數(shù).

定義 2.2設(shè)(X,ρ)是度量空間,給定映射f:X →X,稱映射f是H¨older連續(xù),如果存在常數(shù)C＞0,α＞0,使得對任意x,y∈X,有

注記 2.1當(dāng)α=1時,該映射為Lipschitz映射;當(dāng)α=0時,該映射為有界映射.

定義 2.3設(shè)映射 F:R+→ R+,t→ F(t).設(shè) (X,ρ)是度量空間,給定映射f:X→X,稱f具有F性質(zhì),如果對任意x,y∈X滿足

稱(X,ρ,f)是具有F性質(zhì)的系統(tǒng).

注記 2.2(1)當(dāng)F是線性映射時,即F(t)=kt(k＞0),該映射為Lipschitz映射;

(2)當(dāng)F(t)=ktα(k＞0,α＞0)時,該映射為H¨older連續(xù)映射.因此具有F 性質(zhì)系統(tǒng)比 Lipschitz系統(tǒng)和H¨older系統(tǒng)更為一般.

如果X是拓撲空間,f:X→X是連續(xù)映射,稱(X,f)是拓撲動力系統(tǒng).

定義2.4設(shè)(X,ρ)是緊度量空間,(X,f)是拓撲動力系統(tǒng),對任意n∈N,ε＞0,稱X 的子集 Y為(n,ε)張成集,如果對任意 x∈X,存在y∈Y,使得

記 (X,f)關(guān)于度量 ρ最小的張成集的基數(shù)為 s(n,ε,ρ),在度量明確的情況下記為 s(n,ε).

定義 2.5設(shè)(X,ρ)是緊度量空間,(X,f)為拓撲動力系統(tǒng),定義拓撲熵:

記S(r)是度量空間X中以r為半徑的開球的r-網(wǎng)的最小基數(shù).

定義 2.6設(shè)(X,ρ)是緊度量空間,(X,f)為拓撲動力系統(tǒng),熵維數(shù)定義為

定義 2.7htop(f)是指數(shù)型收斂的,如果對任意δ＞0,存在常數(shù)Cδ,εδ＞0以及存在度量ρδ與原始度量 ρ拓撲等價,使得對任意0＜ε＜εδ,n＞Cδ·|lnε|,有下面等式成立

3 主要結(jié)論

下列定理給出了當(dāng)(X,f)是具有F性質(zhì)的系統(tǒng)時,拓撲熵、熵維數(shù)二者的關(guān)系式.在下文中,總是假設(shè)X是緊度量空間,(X,f)是具有F性質(zhì)的系統(tǒng).

定理3.1設(shè)(X,ρ,f)是緊度量空間上的拓撲動力系統(tǒng),則有以下結(jié)論成立:

當(dāng)f是Lipschitz映射時,

定義 3.1稱(X,ρ,f)是具有F*性質(zhì)的系統(tǒng),如果F滿足

(i)F單調(diào)遞增;

(ii)F(0)=0;

(iii)存在 ε0＞ 0,C(F,ρ)＞ 0,使得對任意 ε∈ (0,ε0),n ∈ N,有

(iv)0 ＜ C(F,ρ)＜ 1.

定理 3.2設(shè)(X,f)是緊度量空間(X,ρ)上具有F*性質(zhì)的拓撲動力系統(tǒng),則有

定理 3.3設(shè)(X,f)是緊度量空間(X,ρ)上具有F*性質(zhì)的拓撲動力系統(tǒng),則拓撲熵指數(shù)收斂的充分必要條件是等式(4)成立

4 定理證明

4.1 定理 3.1的證明

定理3.1的詳細證明可參見文獻[15],為了文章的完整,本文將給出一個證明.

證明取L≤max(1,L(f)).由于f是Lipschitz映射,因此由Lipschitz映射的定義可以得到對任意x,y∈X,有ρ(f(x),f(y))≤Lρ(x,y).特別的,當(dāng)0≤m≤n時有

因此,對任意ε＞0,n∈N,x∈X 有

從而有

于是,可以得到下式成立

因此有

4.2 定理 3.2的證明

證明對任意x,y∈X,n∈N,有

由于(X,f)是具有F*性質(zhì)的拓撲動力系統(tǒng),所以存在ε0＞0,使得對?ε∈(0,ε0),當(dāng) ρ(x,y)≤ C(F,ρ)nε,有 ρn(f(x),f(y))≤ ε.所以對任意 n ∈ N,ε∈ (0,ε0),可以得到

由 |ln(C(F,ρ)nε)|=n|lnC(F,ρ)|+|lnε|,可以得到下式成立

因此有

4.3 定理 3.3的充分性證明

顯然,對任意α∈(0,1),上述級數(shù)是收斂的,從而mα(x,y)是X 上的度量.

引理 4.1對任意α∈(0,1),度量mα是在拓撲意義下等價于原始度量ρ.

證明由不等式mα≥ρ,diamX＜∞,以及f是連續(xù)的即可證明.

引理 4.2設(shè) (X,ρ,f)是具有F*性質(zhì)的系統(tǒng),對任意 α∈(0,1),則在 mα下,有下列不等式成立

證明任意 ε0＞0,任意 ε∈(0,ε0),n＞N,x,y∈X,有 F-n(ε)≤ αnε.因此有

記Sα(r)是在度量mα下最小r-網(wǎng)的基數(shù).

引理 4.3任意 ε0＞0,任意 ε∈(0,ε0),n＞0,考慮在度量 ρ下關(guān)于 f的 (n,ε)-網(wǎng) NT(n,ρ,ε).那么在度量 mα下,以 NT(n,ρ,ε)中的點為球心,rδ為半徑開球族可以覆蓋X,其中

證明考慮任意一點 x∈X,假設(shè) y∈NT(n,ρ,ε)是在度量 ρ下距離 x最近的一個點.計算x,y在度量mα下的距離

推論 4.1對任意r＞0和α∈(0,1),令

其中[x]是數(shù)字x的整數(shù)部分.那么

證明由引理4.3可得

將 ε = εα(r),n=n(r) 代入 (6) 式可得 S(rα(n(r),εα(r))) ≤ s(n(r),εα(r)).又因為有 rα(n(r),εα(r))≤ r,故可以得到 Sα(r)≤ s(n(r),εα(r)).

引理 4.4假設(shè)拓撲熵 htop(f)是指數(shù)收斂的,由定義 2.7,對任意 δ＞0,存在α,r0＞0,使得對任意r＜r0下列兩個不等式成立.

其中n和εα滿足等式(5).

證明首先證明不等式(7),不等式(7)是由不等式(3)通過n=n(r)和ε=εα(r)得出.通過定義2.7,下列不等式成立

引入下列等式

取滿足不等式(7)的α,于是有

將上述結(jié)果代入不等式(8)中,可以得到

顯然,當(dāng)r→0,不等式(10)趨于1,因此存在r0＜0使得不等式(8)成立.

定理 3.3充分性的證明給定δ＞0,可以得到度量ρδ,通過定義2.7可知,存在常數(shù)Cδ＞0,由引理4.1和引理4.2,不難得到存在α使得對任意r＜r0有不等式(7)-(8)成立,由推論4.1和引理4.4,可以得到

記δ1=δ·(1+htop+δ),因此當(dāng)δ→0時有δ1→0,通過引理 4.2,給上述不等式左邊乘|lnC(F,mα)|,右邊乘lnα,可以得到下列不等式

上述不等式對所有的r＜r0成立,極限當(dāng)r→0+時,有下列不等式

對任意 δ1＞0,不等式(11)成立.不妨取δ1→0+,可以得到

因此,由定理3.2以及拓撲熵指數(shù)收斂的定義,充分性證畢.

4.4 定理 3.3的必要性證明

假設(shè)等式(4)成立,那么對于任意δ＞0,存在度量ρδ∈D,使得

不失一般性,不妨假設(shè) δ＜1,取滿足不等式 (13)的任意 δ∈(0,1)和度量 ρδ.參照 Kushnirenko關(guān)于有限性的定理的證明,不妨取 C(F,ρδ)ε≤rδ,可以得到

由熵維數(shù)的定義有

對于不等式(13),由熵維數(shù)的定義可知,對任意初始點r≤r0,成立下列不等式

對任意 n≥0使得 C(F,ρδ)nε≤r0,由不等式 (14)有

可以得到

由第一個條件可以得到存在C1＞0,C2＞0,使得

由第二個等式,可以得到存在C3＞0,C4＞0,使得