基于實(shí)測(cè)誤差的齒輪傳動(dòng)模型的建立與分析

蘇家乙，王德倫

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧大連 116024）

0 引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中最常見(jiàn)的形式之一，廣泛應(yīng)用于各類(lèi)機(jī)械設(shè)備和儀器儀表中。齒輪傳動(dòng)的質(zhì)量對(duì)設(shè)備的精度、壽命、振動(dòng)和噪聲等有重大影響，而齒面接觸區(qū)域和齒輪傳動(dòng)誤差是衡量齒輪傳動(dòng)質(zhì)量好壞的綜合技術(shù)指標(biāo)[1]。因此，研究各類(lèi)誤差下齒輪傳動(dòng)的情況有重要的意義。

使用計(jì)算機(jī)模擬齒面接觸傳動(dòng)的方法稱(chēng)為齒面接觸分析技術(shù)（Tooth Contact Analysis，TCA）。美國(guó)Livtin[2]總結(jié)了TCA技術(shù)，并普遍應(yīng)用于不同的齒輪嚙合。鄭啟昌[3]、方宗德[4]、蔣進(jìn)科[5]利用TCA技術(shù)對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪、弧齒錐齒輪、直齒輪和斜齒輪等進(jìn)行接觸分析，并討論了齒面誤差、修形和安裝誤差對(duì)傳動(dòng)的影響?？紤]誤差時(shí)齒輪副傳動(dòng)退化為空間中兩剛體接觸傳動(dòng)，齒面上的點(diǎn)、線(xiàn)、面都可能參與接觸導(dǎo)致邊緣接觸等情況。然而現(xiàn)有研究中并未對(duì)接觸類(lèi)型進(jìn)行有效辨識(shí)進(jìn)而形成統(tǒng)一模型，導(dǎo)致對(duì)考慮誤差時(shí)的齒輪傳動(dòng)情況分析不準(zhǔn)確。

綜上，本文以漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪為例，基于齒面誤差、齒距誤差和軸線(xiàn)誤差測(cè)量原理，依據(jù)基本的運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)理論建立齒輪傳動(dòng)模型，對(duì)考慮上述誤差時(shí)齒輪的傳動(dòng)情況進(jìn)行分析。

1 基于誤差測(cè)量原理的模型構(gòu)造

1.1 齒面誤差的測(cè)量原理及模型處理

對(duì)漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪，一般采用雙基圓盤(pán)式漸開(kāi)線(xiàn)測(cè)量?jī)x測(cè)量其橫截面上的齒面誤差，其具有測(cè)量結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、測(cè)量精度高與經(jīng)濟(jì)性好等特點(diǎn)[6]。齒面誤差的測(cè)量原理如圖1所示。當(dāng)齒面為漸開(kāi)線(xiàn)時(shí)，杠桿測(cè)頭軌跡為漸開(kāi)線(xiàn)，杠桿輸出值為0；當(dāng)齒面存在誤差時(shí)，杠桿測(cè)頭會(huì)移動(dòng)，移動(dòng)的距離為誤差齒廓與漸開(kāi)線(xiàn)在AP方向的差值，即測(cè)量得到漸開(kāi)線(xiàn)法線(xiàn)方向的誤差值。

圖1 齒面誤差測(cè)量原理示意圖

使用測(cè)量?jī)x進(jìn)行多次測(cè)量，可得到若干端面的齒面誤差值，將這些離散誤差值通過(guò)擬合得到誤差曲面e（u,v）。將誤差曲面按照測(cè)量原理，即沿漸開(kāi)線(xiàn)法線(xiàn)方向疊加到理想齒面上即可得到考慮齒面誤差的真實(shí)齒面，則有

式中：R為真實(shí)齒面方程；R0為理想齒面；n0為理想漸開(kāi)線(xiàn)的單位法矢；u、v為曲面參數(shù)。

已知真實(shí)齒面的解析方程，其法矢量N為

1.2 齒距誤差的測(cè)量原理及模型處理

在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中，齒距誤差有多種評(píng)價(jià)指標(biāo)，有單個(gè)齒距誤差fpt、齒距累計(jì)誤差Fpk和齒距累計(jì)總誤差Fp[7]。單個(gè)齒距誤差fpt的定義為：在端平面上接近齒高中部的一個(gè)與齒輪軸線(xiàn)同心的圓上，實(shí)際齒距與理論齒距的代數(shù)差。

從建立齒輪幾何模型的角度，只需已知fpt即可確定各個(gè)齒面之間的關(guān)系。絕對(duì)測(cè)量法的測(cè)量原理與fpt的定義一致。在模型中通過(guò)改變相鄰齒面的夾角來(lái)反映齒距誤差，如圖2所示。

圖2 模型中fpt的處理

已知齒面上某齒面的方程RZ1,則考慮齒距誤差的相鄰齒面的方程為

式中：L為旋轉(zhuǎn)矩陣；θ為理論齒距對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角，有θ=2π/z；Δθ為齒距偏差fpt對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角，有Δθ=fpt/rpt。

1.3 軸線(xiàn)誤差的測(cè)量原理及模型處理

在課題組研究[8]的基礎(chǔ)上，通過(guò)雙標(biāo)準(zhǔn)球和編碼器測(cè)量得到齒輪軸線(xiàn)的6自由度運(yùn)動(dòng)，測(cè)量原理如圖3所示。

圖3 軸線(xiàn)誤差測(cè)量原理圖

根據(jù)測(cè)量原理圖可建立閉環(huán)矢量方程：

由于軸線(xiàn)的位姿由測(cè)量得到，軸線(xiàn)每個(gè)轉(zhuǎn)角位置的位姿都已知，所以在模型中把軸線(xiàn)除轉(zhuǎn)角外的5自由度運(yùn)動(dòng)擬合為轉(zhuǎn)角φ的函數(shù)，即在模型中軸線(xiàn)為單自由度6維度運(yùn)動(dòng)。

2 齒面接觸傳動(dòng)

2.1 單對(duì)齒面接觸傳動(dòng)

由于要對(duì)考慮誤差時(shí)齒輪接觸的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，首先建立固定坐標(biāo)系Sf、兩齒輪軸線(xiàn)坐標(biāo)系Se1和Se2、兩齒輪坐標(biāo)系Sh1和Sh2，結(jié)果如圖4所示。

圖4 齒輪傳動(dòng)模型的坐標(biāo)系

考慮誤差時(shí)，齒面上的點(diǎn)、線(xiàn)、面都有可能參與接觸，所以需要對(duì)接觸類(lèi)型進(jìn)行辨識(shí)從而選擇合適的接觸方程并求解。在本文中，總結(jié)各種接觸的情況，將齒面分為6個(gè)區(qū)域，如圖5所示。根據(jù)基本的幾何關(guān)系，使兩齒面在理想嚙合位置的基礎(chǔ)上，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度，求解此時(shí)兩齒面上距離最近的兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)在齒面上所在區(qū)域即可得到此時(shí)的接觸類(lèi)型。

圖5 齒面分區(qū)示意圖

在本文中假設(shè)齒輪1齒寬大于齒輪2齒寬，分析得到可能出現(xiàn)的接觸情況如下：

1）齒輪1齒頂A3與齒輪2下端面曲線(xiàn)B4接觸：

式（6）～式（14）中：R1、R2為兩齒面位矢；n1、n2為兩齒面法矢；L為旋轉(zhuǎn)矩陣；M為齊次變換矩陣；φ1、φ2為兩齒輪轉(zhuǎn)角；u1、v1、u2、v2為兩曲面參數(shù)。

在模型中，給出齒輪1的轉(zhuǎn)角φ1，在Matlab中可編程求得與其接觸的齒輪2轉(zhuǎn)角和接觸點(diǎn)。

2.2 多對(duì)齒面接觸傳動(dòng)

通過(guò)上節(jié)處理，能夠完成單對(duì)齒面的接觸分析，接下來(lái)討論多對(duì)齒面交替?zhèn)鲃?dòng)的情況。在一對(duì)齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)時(shí)刻至少有一對(duì)齒面接觸傳遞運(yùn)動(dòng)，不妨將其稱(chēng)為主導(dǎo)齒面。根據(jù)運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)理論，當(dāng)多對(duì)齒面共同接觸時(shí)，轉(zhuǎn)速快的齒面主導(dǎo)運(yùn)動(dòng)，其余齒面會(huì)被頂開(kāi)，如圖6所示。

圖6 主導(dǎo)齒面變化的示意圖

在模型中，若出現(xiàn)多對(duì)齒面同時(shí)接觸，將這多對(duì)齒面分別進(jìn)行下一時(shí)刻的齒面接觸分析，從動(dòng)輪相對(duì)轉(zhuǎn)角最大的齒面作為主導(dǎo)齒面。經(jīng)過(guò)上述處理，能夠準(zhǔn)確地模擬齒輪交替時(shí)的邊緣接觸情況。

3 算例分析

以一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪為例，各基本參數(shù)如表1所示。通過(guò)測(cè)量得到各誤差值，齒輪齒面誤差如圖7所示，齒距誤差如圖8所示，軸線(xiàn)誤差如圖9所示。使用Matlab編寫(xiě)模型程序，計(jì)算得到齒輪的傳動(dòng)誤差和齒面接觸情況。

表1 齒輪參數(shù)

圖7 齒面誤差曲面

圖8 齒距誤差

圖9 軸線(xiàn)運(yùn)動(dòng)誤差

3.1 考慮齒面誤差時(shí)的齒輪傳動(dòng)分析

假設(shè)各齒面的齒面誤差相同，模型計(jì)算結(jié)果如圖10～圖12所示。將所有接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下描述，如圖10所示，可以發(fā)現(xiàn)接觸點(diǎn)集中在中部，即所有齒面基本在齒面中部接觸傳動(dòng)，這是由于按照給定的齒面誤差（如圖7）構(gòu)造的真實(shí)齒面中凸造成的。任取一對(duì)嚙合齒面，其接觸情況如圖11所示。從圖12可知，齒面誤差會(huì)產(chǎn)生小幅度波動(dòng)狀的傳動(dòng)誤差。

圖10 考慮齒面誤差時(shí)的嚙合線(xiàn)

圖11 考慮齒面誤差時(shí)的齒面接觸情況

圖12 考慮齒面誤差時(shí)的傳動(dòng)誤差

3.2 考慮齒距誤差時(shí)的齒輪傳動(dòng)分析

考慮齒距誤差時(shí)，模型的計(jì)算結(jié)果如圖13～圖15所示。將所有接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下描述，如圖13所示，可知存在齒距誤差時(shí)，嚙入-嚙出處的接觸點(diǎn)偏離理論嚙合面，這是由于此時(shí)發(fā)生了齒頂刮著齒面?zhèn)鲃?dòng)的情況，產(chǎn)生速比沖擊。任取一對(duì)嚙合齒面，其接觸情況如圖14所示，可知主動(dòng)輪齒根部分與從動(dòng)輪齒頂部分未參與接觸，這是因?yàn)榍耙粚?duì)齒面接觸后，由于存在齒距誤差，此對(duì)齒面未能正常進(jìn)入嚙合。從圖15可知，齒距誤差會(huì)在齒面嚙入-嚙出時(shí)產(chǎn)生類(lèi)弦函數(shù)的傳動(dòng)誤差。

圖13 考慮齒距誤差時(shí)的嚙合面

圖14 考慮齒距誤差時(shí)的齒面接觸情況

圖15 考慮齒距誤差時(shí)的傳動(dòng)誤差

3.3 考慮軸線(xiàn)誤差時(shí)的齒輪傳動(dòng)分析

考慮軸線(xiàn)誤差時(shí)，模型的計(jì)算結(jié)果如圖16～圖19所示。將接觸點(diǎn)放到固定坐標(biāo)系中描述，如圖16所示，可知接觸點(diǎn)主要集中在兩端，中間區(qū)域有少量離散接觸點(diǎn)，這是因?yàn)榭紤]軸線(xiàn)誤差時(shí)，主要發(fā)生從動(dòng)輪端面曲線(xiàn)與主動(dòng)輪齒面相切接觸的情況。任取一對(duì)嚙合齒面，將其接觸點(diǎn)放到齒輪坐標(biāo)系中描述，得到齒面接觸情況，如圖17所示。從圖18可知，軸線(xiàn)誤差會(huì)引起大范圍波動(dòng)的傳動(dòng)誤差。也可對(duì)齒輪轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行離散求導(dǎo)，得到速比計(jì)算結(jié)果如圖19所示。

圖16 考慮軸線(xiàn)誤差時(shí)的嚙合面

4 結(jié)語(yǔ)

以漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪為例，基于誤差測(cè)量原理，依據(jù)基本的運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)理論建立齒輪傳動(dòng)模型，能夠準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)齒輪傳動(dòng)的幾何分析。通過(guò)算例分析可知：齒面誤差會(huì)導(dǎo)致小范圍波動(dòng)的傳動(dòng)誤差，影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性；齒距誤差會(huì)使齒面在嚙入嚙出處產(chǎn)生線(xiàn)外接觸，造成速比沖擊，導(dǎo)致類(lèi)似弦函數(shù)的周期傳動(dòng)誤差，從而使齒輪副產(chǎn)生噪聲；軸線(xiàn)誤差會(huì)使齒面在一端接觸，不利于齒面載荷分布，導(dǎo)致大范圍波動(dòng)的傳動(dòng)誤差。由于本模型是根據(jù)運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)理論建立的，可推廣應(yīng)用到其他類(lèi)型齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的分析中。

圖17 考慮軸線(xiàn)誤差時(shí)的齒面接觸情況

圖18 考慮軸線(xiàn)誤差時(shí)的傳動(dòng)誤差

圖19 考慮軸線(xiàn)誤差時(shí)的速比