2021年新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題求解與延伸

福建省福清第三中學(xué) (350315) 何文昌 何 燈

2021年新高考Ⅰ卷聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)系，穩(wěn)中求新，平和中蘊(yùn)含不平凡，全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求.試卷導(dǎo)數(shù)壓軸題考查函數(shù)同構(gòu)與極值點(diǎn)偏移，雖然題型較老，但老中見新，給人以啟迪，本文擬對(duì)此題進(jìn)行一些思考，與同仁交流.

試題呈現(xiàn)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

命題立意：本題以不等式證明為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查邏輯推理能力，直觀想象能力，運(yùn)算求解能力，創(chuàng)新能力等，考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想等；體現(xiàn)綜合性和創(chuàng)新性．

解法分析：(1)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.(過程略)

解法一：(構(gòu)造函數(shù))要證20，只需證f(2-x1)-f(x1)>0.要證x1+x20，只需證明f(x1)-f(e-x1)>0.構(gòu)造函數(shù)g1(x)=f(2-x)-f(x)(x∈(0,1))，g2(x)=f(x)-f(e-x)(x∈(0,1))，利用導(dǎo)數(shù)研究g1(x)及g2(x)的單調(diào)性，可證g1(x)>0及g2(x)>0，從而得證2

在對(duì)試題進(jìn)行求解的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)利用上述解法二可實(shí)現(xiàn)原不等式鏈進(jìn)一步的延伸，經(jīng)過整理，筆者得到如下結(jié)論.

結(jié)合原試題，得證式(2)成立，從而式(1)成立.