瑞利分布恒定應(yīng)力加速壽命試驗的貝葉斯估計

武 東, 李 瓊

(1. 安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,合肥230036;2. 徽商職業(yè)學(xué)院 電子信息系,合肥231201)

0 引言

加速壽命試驗在可靠性工程、航天電子等領(lǐng)域的地位舉足輕重,而在工程實踐中最為常用是恒定應(yīng)力加速壽命試驗[1-7],通常簡稱為恒加試驗。恒加試驗相對于步進應(yīng)力加速壽命試驗和序進應(yīng)力加速壽命試驗,有較為明顯的優(yōu)點[2-4]: 試驗操作方法較為簡便,對儀器設(shè)備要求不高;試驗理論與方法已經(jīng)成熟,試驗不易失敗;能在試驗中獲得較多的可靠信息,試驗結(jié)果比較精準。鑒于此,開展和繼續(xù)研究恒定應(yīng)力加速壽命試驗方面的統(tǒng)計分析仍然具有必要性。關(guān)于累積失效模型(Cumulative Exposure Model,CE 模型) 恒定應(yīng)力加速壽命試驗的統(tǒng)計分析研究方面,文獻[5-6]中利用逆矩估計法研究了Weibull 分布恒加試驗的的點估計和區(qū)間估計;文獻[7]中對定數(shù)截尾和定時截尾情形下Weibull 分布恒加試驗進行了貝葉斯統(tǒng)計分析。文獻[8-9]中分別討論了CE模型下指數(shù)分布場合恒加試驗的最大似然估計和貝葉斯估計。

瑞利分布[10]在可靠性分析、藥品、壽命測試和無線電通信等許多現(xiàn)實領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用,開展瑞利分布在可靠性統(tǒng)計的應(yīng)用研究具有很大必要性。瑞利分布在加速壽命試驗方面的研究文獻報道較少,為此,本文對基于定數(shù)截尾情形CE 模型下瑞利分布恒加試驗進行了貝葉斯統(tǒng)計分析。主要分為3個部分: ① 給出定數(shù)截尾下瑞利分布恒加試驗的基本假定和試驗安排;② 討論了定數(shù)截尾下瑞利分布恒加試驗參數(shù)的最大似然估計和貝葉斯統(tǒng)計分析,考慮貝葉斯估計涉及到復(fù)雜的積分,采用了Tierney Kadane 近似[11]獲得參數(shù)的近似貝葉斯估計;③ 利用數(shù)值模擬方法對瑞利分布恒加試驗基于定數(shù)截尾樣本的參數(shù)估計進行了精度分析。結(jié)果表明貝葉斯估計方法精準而實用。

1 基本假定與試驗安排

2 最大似然估計

3 貝葉斯估計

在貝葉斯統(tǒng)計分析中,未知參數(shù)的先驗分布選取至關(guān)重要, 對于λ的先驗分布取其共軛先驗分布[12],即取Gamma 分布比較多,而加速系數(shù)δ的先驗分布常取無信息先驗分布,并假定二者是相互獨立的, 從而構(gòu)建了未知參數(shù)的先驗分布。但在實踐中,兩個參數(shù)可能會存在某種關(guān)聯(lián)性,本文取的是以下先驗分布,其先驗密度[13]為:

4 數(shù)值模擬

以上得到了基于定截尾CE 模型下瑞利分布恒加試驗的兩種貝葉斯估計,現(xiàn)用利用統(tǒng)計模擬法對算法進行有效性和精度分析,試驗方案和估計結(jié)果見表1。

表1 定數(shù)截尾下瑞利分布恒加試驗的估計結(jié)果Tab.1 Estimation results for Rayleigh distribution of constant stress accelerated life tests under Type-II censoring

表中: MLE、MCBayes 和TKBayes 分別表示參數(shù)的最大似然估計、MC 積分得到的貝葉斯估計和Tierney Kadane 近似得到的貝葉斯估計。相對均方誤差(RMSE)可以看出,該模型的兩種估計的精度較高, 特別是Tierney Kadane 近似得到的貝葉斯估計的精度更好,說明貝葉斯估計是精準而有效的。

具體步驟如下[12]:

(4)利用本文方法可得λ、δ的貝葉斯估計,參數(shù)的先驗按式(10),其參數(shù)分別取為a=b=c=d=1,從而得到λ、δ的貝葉斯估計。

(5)重復(fù)上述模擬1 000 次,然后計算貝葉斯估計的相對偏差(Rbias)和相對均方誤差(RMSE)。

5 結(jié) 語

利用Tierney Kadane 近似法獲得了定數(shù)截尾下瑞利分布場合恒加試驗的一種近似貝葉斯估計。這種貝葉斯估計的優(yōu)點是避免了復(fù)雜的積分計算,從而提高了估計精度,其缺點是需要求解非線性方程。如果想避免求解非線性方程,可考慮其他近似貝葉斯估計方法,比如馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC方法)等[15]。