電信號(hào)在離散系統(tǒng)中的時(shí)域與z域分析

林 琳

（湖南城市學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000）

0 引 言

在信號(hào)與系統(tǒng)的分析中，離散系統(tǒng)的分析方法可分為時(shí)域解法和變換域解法。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)可以采用s域分析法進(jìn)行分析，而對(duì)于線性離散系統(tǒng)可以采用z域變換法進(jìn)行分析。z變換對(duì)于描述系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程起到關(guān)鍵性作用，且代數(shù)方程中包括了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，進(jìn)而可以求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)以及全響應(yīng)[1]。

1 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

線性時(shí)不變（Linear Time Invariant，LTI）離散時(shí)間系統(tǒng)用常系數(shù)線性差分方程進(jìn)行描述，即：

式中，f[k]和y[k]分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出。

在已知差分方程的初始狀態(tài)以及輸入的條件下，可以通過(guò)編程迭代算出系統(tǒng)輸出的公式為：

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零條件下求微分方程的解。在零初始狀態(tài)下，MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了一個(gè)Filter函數(shù)，可以計(jì)算差分方程描述系統(tǒng)的響應(yīng)[2]。

離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)分別是輸入信號(hào)為δ(k)和u(k)所對(duì)應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱專門提供了兩個(gè)函數(shù)求解離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

卷積是信號(hào)與系統(tǒng)中一個(gè)最基本也是最重要的概念之一。在時(shí)域中，對(duì)于LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。而利用卷積定理，這種關(guān)系又對(duì)應(yīng)頻域中的乘積。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了一個(gè)計(jì)算兩個(gè)離散序列卷積和的函數(shù)conv。

2 離散系統(tǒng)的z變換

如有序列f[(k](k=0,±1,±2,…)，z為復(fù)變量，其雙邊z變換為：

如果式（3）的求和只在k的非負(fù)值域進(jìn)行，則稱為序列的單邊z變換[3]。

線性時(shí)不變離散系統(tǒng)可用其z域的系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示，通常具有的有理分式的形式為：

為了能從系統(tǒng)的z域表示方便地得到其時(shí)域表示式，可將H(z)展開為部分分式和的形式，再對(duì)其求逆z變換[4]。MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了對(duì)H(z)進(jìn)行部分分式展開的函數(shù)residuez，其調(diào)用形式為：

式中，B和A分別為H(z)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，r為部分分式的系數(shù)向量，p為極點(diǎn)向量，k為多項(xiàng)式的系數(shù)向量。

由此借助于residuez函數(shù)將上述有理函數(shù)H(z)分解為：

進(jìn)一步通過(guò)上面介紹的求逆z變換的方法求出系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式，可以方便地求出系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置對(duì)于系統(tǒng)的時(shí)域特性和頻域特性有重要影響。位于z平面的單位圓上和單位圓外的極點(diǎn)將使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)將使得系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)在該頻率點(diǎn)附近出現(xiàn)極小值，而其對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)將使得系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)在該頻率點(diǎn)附近出現(xiàn)極大值[5-7]。

在系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布問(wèn)題上，可以借助函數(shù)TF2ZP來(lái)直接得到系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的值，并通過(guò)函數(shù)zplane來(lái)顯示其零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布[8]。利用MATLAB中的impz函數(shù)和freqz函數(shù)可以求得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)和頻率響應(yīng)。假定系統(tǒng)函數(shù)H(z)的有理分式形式為：

TF2ZP函數(shù)的調(diào)用形式為：

式中，b和a分別表示H(z)中的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，z為求出的零點(diǎn)，p為求出的極點(diǎn)，k為增益。

該函數(shù)的作用是將H(z)轉(zhuǎn)換為用零點(diǎn)、極點(diǎn)以及增益常數(shù)組成的表示式，即：

zplane函數(shù)的調(diào)用形式為zplane(b,a)，該函數(shù)的作用是在z平面畫出單位圓以及系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)[9]。

3 在離散系統(tǒng)時(shí)域分析中對(duì)信號(hào)進(jìn)行滑動(dòng)平均濾波

滑動(dòng)平均濾波法又稱遞推平均濾波法，對(duì)于離散系統(tǒng)而言，其實(shí)現(xiàn)方法為連續(xù)取N個(gè)采樣值看成一個(gè)循環(huán)隊(duì)列，隊(duì)列的長(zhǎng)度固定為N，每次采樣到一個(gè)新數(shù)據(jù)放入隊(duì)尾，并扔掉原來(lái)隊(duì)首的一個(gè)數(shù)據(jù)，即遵循先進(jìn)先出的原則。濾波器每次輸出的數(shù)據(jù)總是當(dāng)前隊(duì)列中的N個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。其優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)周期性干擾有良好的抑制作用，平滑度高，適用于高頻振蕩的系統(tǒng)。而缺點(diǎn)就是靈敏度低，對(duì)偶然出現(xiàn)的脈沖性干擾的抑制作用較差，不易消除由于脈沖干擾引起的采樣值偏差，不適用于脈沖干擾比較嚴(yán)重的場(chǎng)合，比較占用RAM資源。

滑動(dòng)平均濾波算法的基本思想是設(shè)定一個(gè)寬度固定的滑動(dòng)窗口，該窗口沿著時(shí)間序列滑動(dòng)，同時(shí)取窗內(nèi)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為輸出值。而由輸出值組成另一個(gè)數(shù)字序列，也就是濾波后的序列。設(shè)2k+1為滑動(dòng)窗口的寬度，輸入輸出分別為x(n)和y(n)，則：

在MATLAB中可以采用filter函數(shù)實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)平均濾波，設(shè)原始數(shù)據(jù)為x，平均窗口設(shè)為a（a為正整數(shù)），那么無(wú)權(quán)重滑動(dòng)平均后的數(shù)據(jù)y為：

設(shè)一個(gè)離散系統(tǒng)其輸入信號(hào)為f[k]=s[k]+d[k]，其中s[k]=(2k)×0.9k是有用信號(hào)，d[k]是噪聲信號(hào)。利用MATLAB分別繪制出受干擾信號(hào)f(k)（有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的疊加信號(hào)），有用信號(hào)s[k]和噪聲信號(hào)d[k]，如圖1中所示為濾波前的3個(gè)信號(hào)。利用MATLAB中的filter函數(shù)對(duì)受干擾信號(hào)f(k)進(jìn)行滑動(dòng)平均濾波，圖2中y[k]為經(jīng)過(guò)濾波以后的去噪信號(hào)，s[k]為原始的有用信號(hào)。對(duì)比圖2中s[k]和y[k]可以發(fā)現(xiàn)在離散系統(tǒng)時(shí)域分析中引入滑動(dòng)平均濾波可以有效抑制噪聲，基本還原了原始有用信號(hào)，實(shí)現(xiàn)了去噪處理。

圖1 有噪聲信號(hào)

圖2 去噪后信號(hào)

4 離散系統(tǒng)中利用z域分析確定零極點(diǎn)

z變換可將離散時(shí)間序列變換為在復(fù)頻域的表達(dá)式。離散時(shí)間信號(hào)的z變換是分析線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)問(wèn)題的重要工具，在數(shù)字信號(hào)處理和計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。

z變換域沒有物理意義，只是一種數(shù)學(xué)手段，之所以在離散系統(tǒng)分析中引入z變換的概念就是為了簡(jiǎn)化分析方法和過(guò)程，為系統(tǒng)分析研究提供一條新的路徑。這種方法的數(shù)學(xué)描述為z變換及其逆z變換，被稱為離散系統(tǒng)的z域分析法[10]。

在z域下，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的特性，若系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)已知，則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來(lái)。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要的意義。

零極點(diǎn)在z平面上的分布如圖3所示，該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)位于z平面單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

圖3 零極點(diǎn)在z平面上的分布

5 結(jié) 論

離散系統(tǒng)的時(shí)域分析和z域分析對(duì)離散信號(hào)的分析具有非常重要的意義，是對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行分析的重要數(shù)學(xué)工具。其中z域分析可以簡(jiǎn)化分析過(guò)程，為離散系統(tǒng)的分析提供另一條路徑，在數(shù)字信號(hào)處理和計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。