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    具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機制的隨機多群組SIR傳染病模型*

    2022-01-20 08:50:52陳樺劍韋煜明
    關(guān)鍵詞:群組傳染病定理

    陳樺劍,韋煜明

    (廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣西 桂林 541006)

    0 引言

    數(shù)學(xué)模型是描述傳染病的重要工具。許多數(shù)學(xué)模型提供研究傳染病傳播的根本機制,并提出傳染病的控制策略。[1]值得注意的是,Measles、Mumps、Gonorrhea和HIV/AIDS等傳染病是在異質(zhì)人群中傳播的。為了描述上述疾病在異質(zhì)人群中的傳播,學(xué)者們提出多群組傳染病模型。[2]一個異質(zhì)人群可以通過傳播方式、接觸模式、地理分布劃分為幾個同質(zhì)群組,使得群組內(nèi)部和群組之間的相互作用可以分別建立模型。最早的多群組傳染病模型之一是由Lajmanovich和Yorke根據(jù)Gonorrhea的傳播提出的。[3]從那時起多群組傳染病模型的成果逐漸呈現(xiàn)在世人面前。[4–8]

    實際上,自然界中存在多種噪聲,如白噪聲和電報噪聲。確定性傳染病模型無法準(zhǔn)確描述這些噪聲對傳染病傳播的影響。因此,傳染病模型中的參數(shù)并不是確定的常數(shù),而是隨著環(huán)境中的連續(xù)擾動而圍繞著某些均值擾動。為了更好地揭示環(huán)境白噪聲的影響,學(xué)者們將參數(shù)擾動引入傳染病模型中,[9–12]例如Cao等人對兩群組的SIRS傳染病模型中的疾病傳播率βkk進行擾動,[13]得到了模型(1):

    模型(1)各參數(shù)含義如下:Λk是表示在第k(k=1,2)個群組的人口輸入常率,βkj表示Sk和Ij(j=1,2)間的有效接觸率,μk表示在第k個群組中S、I、R各倉室中的自然死亡率,γk為第k個群組中染病個體的恢復(fù)率,ηk為第k個群組中免疫者失去免疫后重新變?yōu)橐赘姓叩谋嚷?,αk則表示第k個群組中染病個體的因病死亡率。假設(shè)參數(shù)γk、ηk和αk是非負(fù)的,而Λk、μk和βkj是正的,特別地,Bk表示相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,σk是白噪聲強度,k,j=1,2。

    除了白噪聲之外,電報噪聲對傳染病模型也有影響。例如,傳染病模型中的有效接觸率βkj在不同的季節(jié)影響下有很大的不同。學(xué)者們通常使用有限狀態(tài)空間中連續(xù)時間的Markov鏈模擬環(huán)境狀態(tài)的隨機切換。[14–17]連續(xù)時間Markov鏈通過Markov狀態(tài)切換得到傳染病模型中主要參數(shù)的變化。對于人類而言,研究疾病的有效傳播率βkj受到環(huán)境波動影響比研究其他參數(shù)更有意義。因此,Liu和Jiang提出了一個帶標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換的多群組隨機SIS傳染病模型,只對倉室Sk和Ij間的疾病有效傳播率βkj進行擾動:[18]

    其中,有效傳播率βkj是一個同質(zhì)連續(xù)時間Markov鏈{r(t),t≥0}在一個代表不同環(huán)境的有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}中取得的,Markov鏈{r(t),t≥0}是由轉(zhuǎn)移速率矩陣Γ=(δij)N×N產(chǎn)生的。

    其中,△t>0表示一個小的時間間隔,δij表示從狀態(tài)i切換到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移速率,δij≥0,當(dāng)i≠j時,有成立。對?l∈S,βkj(l)均為正常數(shù)。

    受到模型(1)和模型(2)的啟發(fā),筆者提出一項具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機制的隨機多群組SIR傳染病模型:

    模型(3)中各參數(shù)的意義與模型(1)和模型(2)保持一致。沿用Liu和Jiang的設(shè)定,本文假設(shè)Markov鏈?zhǔn)遣豢杉s的,也就意味著系統(tǒng)可以從一個機制切換到另一個機制。[18]對于?i,j∈S,存在有限數(shù)i1,i2,…,il∈S使得δi,i1,δi1,i2,…,δil,j>0,根據(jù)有限狀態(tài)的馬爾科夫理論,可以推斷其擁有遍歷性質(zhì)。注意到??偸菗碛幸粋€平凡特征值,由于Markov鏈?zhǔn)遣豢杉s的,因此rank(Γ)=N-1。在上述條件下,Markov鏈擁有唯一一個平穩(wěn)概率分布π=(π1,π2,…,πN)∈R1×N。此外,這個平穩(wěn)分布可通過求πΓ=0確定,服從于且πi>0,?i∈S。

    定義Rd+={x=(x1,x2,…,xd)∈Rd:xi>0,1≤i≤d}。令表示一個帶參考族{Ft}t≥0的完備概率空間,并且滿足一般條件:{Ft}t≥0單調(diào)遞增右連續(xù),且F0包含所有零測集。對任意的常數(shù)列{g(i):i∈S},定義。系統(tǒng)(3)前兩個方程均與R無關(guān),為了方便,下文僅對模型(4)進行討論。

    1 全局正解的存在唯一性

    本節(jié)證明模型(4)全局正解的存在性。

    定理1對于任意初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈×S,系統(tǒng)(4)存在一個唯一正解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t)),此正解以概率1保持在×S中,換言之,即

    證明:由系統(tǒng)(4)可知,系統(tǒng)(4)中的系數(shù)滿足局部的Lipschitz條件,對于給定的初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈×S,系統(tǒng)(4)存在一個局部解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t)),?t∈[-τ,τe],其中τe是爆破時間。

    只有證τe=+∞,a.s.,才能說明解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))是全局的。

    令m0≥0充分大,使得Sk(0),Ik(0)(k=1,2,…,n)均在區(qū)間中。對任意整數(shù)m≥m0,定義一個停時:

    τm=inf{t∈[0,τe):min{Sk(t),Ik(t),k=1,2,…,n}≤或max{Sk(t),Ik(t),k=1,2,…,n}≥m}

    本文定義inf?=∞(?表示空集)。根據(jù)停時的定義可知,當(dāng)m→∞,τm是單調(diào)遞增的,記,因此τ∞≤τe,a.s.若τ∞=+∞,a.s.,則τe=+∞,a.s.,說明解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))是全局的。

    下面利用反證法證明。假設(shè)τ∞<+∞,則存在兩個正常數(shù)T和ε∈(0,1),使得P{τ∞≤T}>ε。因此,存在m1≤m0,使得P{τm≤T}>ε,?m≤m1。

    一方面,?t≤tm,對于任意k(k=1,2,…,n)均有

    可得

    另一方面,?t≤tm,對于任意k(k=1,2,…,n)均有

    可得

    定義一個C2函數(shù),

    顯然,函數(shù)u-1-lnu≥0,?u>0是非負(fù)的,對C2函數(shù)V應(yīng)用Ito?公式,可獲得

    其中,

    K是一個正常數(shù)。余下的證明與Dalal等證明類似,[19]故在此忽略。

    由此可以證得:系統(tǒng)(4)存在一個唯一正解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t)),此正解以概率1保持在×S中。

    注意1:對任意初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈×S,模型(4)存在一個唯一正解(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))∈×S,因此

    是系統(tǒng)(4)的一個正不變集。

    2 傳染病的滅絕與持久

    本節(jié)討論具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機制的隨機多群組SIR傳染病模型(4)滅絕與持久的充分條件。

    2.1 傳染病的滅絕

    定理2假設(shè)是不可約的,令(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))∈×S是傳染病模型(4)帶初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈?!洹罶的一個解。如果下列任意一個條件成立:

    則傳染病Ik(k=1,2,…,n)依概率以1滅絕,即=0,a.s.,k=1,2,…,n。

    其中,

    情況1:當(dāng)條件(i)成立,有

    因而,

    對(6)兩邊從0到t積分,并除以t

    因此,

    對(8)兩邊從0到t積分,并除以t,得到

    2.2 傳染病的持久

    本小節(jié)給出傳染病持久的充分條件。

    定義假設(shè)存在一個正常數(shù)c,如果>c>0,a.s.,(k=1,2,…,n),則稱x(t)持久。

    定理3假設(shè)是不可約的,(S1(t),I1(t),…,Sn(t),In(t),r(t))∈×S是傳染病模型(4)帶初始值(S1(0),I1(0),…,Sn(0),In(0),r(0))∈?!洹罶的 一 個解。當(dāng),且時,傳染病Ik(k=1,2,…,n)將持久存在。

    證明:定義一個函數(shù)V1(I1,I2,…,In)=,運用Ito?公式,得到

    其中,

    另一方面,定義V2(I1)=-I1,得到

    其中

    綜合考慮,定義

    從而

    結(jié)合強大數(shù)定律,將(10)式從0到t積分,并除以t,得到

    對(11)式進行變換,有

    其中

    ?。?2)式下極限,可以得到

    當(dāng)定理3中的條件成立時,有

    由此,我們可以推斷疾病I1將滅絕。

    類似地,我們也可以得到

    其中

    因此,傳染病Ik(k=1,2,…,n)將持久存在,定理3得證。

    3 模型實例

    在本節(jié)中提供兩個例子證實上述證明結(jié)果。為了簡便,此時取S={1,2},k,j=1,2,討論兩個群組之間的傳染病傳播情況。

    例1參考文獻[21]有如下取值:

    Case 1.

    滿足定理2中的條件(i),此時傳染病依概率以1滅絕。

    Case 2.

    滿足定理2中的條件(ii),此時傳染病依概率以1滅絕。

    例2取值如下:

    滿足定理3中的條件,此時傳染病持久存在。

    4 結(jié)論

    本文研究一項具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和Markov切換機制的隨機多群組SIR傳染病模型。通過構(gòu)建Lyapunov函數(shù)和運用隨機分析學(xué)理論,討論了模型的全局正解的存在唯一性。其次,文中建立了傳染病滅絕和持久的充分條件:

    如果下列任意一個條件成立,

    則傳染病Ik(k=1,2,…,n)依概率以1滅絕。

    最后,文章用例子驗證理論研究的合理性。

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