修正的Poly算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

王家瑋 吳嘎日迪

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 呼和浩特010022;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

1.引言

文中用M(u)和N(v)表示互余的N函數(shù), 關(guān)于N函數(shù)的定義及其性質(zhì)見文[2], 由N函數(shù)M(u)生成的Orlicz空間[0,∞)是指具有有限的Orlicz范數(shù)

的可測函數(shù)的全體{u(x)}, 其中ρ(v,N) =N(v(x))dx是v(x)關(guān)于N(v)的模.由文[2]知,Orlicz范數(shù)還可由

計算.

關(guān)于該算子在Lp空間內(nèi)的逼近問題已有一些研究, 由于Orlicz空間比Lp空間更“大”, 同時意義也更廣泛, 尤其是由不滿足Δ2條件的函數(shù)生成的Orlicz空間是Lp空間的實質(zhì)性的擴(kuò)充,因此本文的結(jié)果比文[1]的結(jié)果具有更拓展的意義.但目前尚未見到有人在Orlicz空間里研究這類算子的逼近問題.本文借助Hardy-Littlewood極大函數(shù), 凸函數(shù)的Jensen不等式以及Orlicz空間中K-泛函與連續(xù)模研究了該算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近問題, 給出了逼近階的估計.

對0,+∞),記

對任意給定的三對角線矩陣

2.相關(guān)引理

引理2.1[1]

選適當(dāng)?shù)腶k,bk,ck(k=0,1,···)使之滿足

即

在下文中總設(shè){ak},{bk},{ck}為滿足(1)式的有界序列,‖f‖M,C表示與f,n,k無關(guān)的正常數(shù), 且在不同處可表示不同的值.

引理2.3對每個[0,∞), 有‖Ln(f)‖M ≤‖f‖M.

證

引理2.4對每個[0,∞), 有

證由文[1]中引理2知,

下面證明引理2.5, 引理2.6時用到Orlicz空間中范數(shù)計算方法[4?5].

設(shè)D為[0,∞)的一稠密子集.

引理2.5對每個g ∈D, 有

證由于g ∈D, 由文[1]中引理3可知

對?g ∈D,

由于

由ρ(u,M)≤1, 得知u(t)在[0,∞)上幾乎處處有界(見文[4-5]), 于是

則

從而

又

因此

引理2.6對每個g ∈D, 有

證由Taylor展開

對?g ∈D, 當(dāng)x>時, 有

?x,t ∈[0,∞), 有

u ∈[x,t]或[t,x],

為Hardy-Littlewood極大函數(shù), 且由文[6]中定理2′,‖M(·)‖M ≤‖g‖M, 故

且有

其中ξ ∈[t,x]或[x,t].上述積分的計算結(jié)果見文[1]中引理4, 則

即

由文[1]中引理4,

從而

且有

故

從而

綜上即得

3.主要結(jié)論

設(shè)[0,∞),h2(x)=x(1+Tx)(T ≥0), 光滑模中的差分定義為

稱

為f的修正光滑模

為f的K-泛函, 則由文[3,7-8]中K-泛函與連續(xù)模等價的方法, 得

定理3.1設(shè)0,∞),h2(x)=x(1+Tx)(T ≥0), 0<α<2, 當(dāng)n足夠大時, 如下命題是等價的.

該定理的證明過程由引理2.3-2.6以及文[8]中第122頁的Berens-Lorentz引理可直接得到.