含間隙平行四桿收回機構(gòu)的非線性動力學(xué)分析**

馬一帆 ，陳 強 ，潘佳煊 ，虞 浪 ，錢孟波

（浙江農(nóng)林大學(xué)光機電學(xué)院，浙江 杭州 311300）

運動副兩構(gòu)件元素之間不可缺少的介質(zhì)空間被稱為運動副間隙，此處介質(zhì)可以為空氣、潤滑油甚至真空，運動副間隙是機構(gòu)間可以進(jìn)行相對移動、機械系統(tǒng)自由度不為零的必要條件。此外，由于制造加工與裝配誤差、機械剛性或柔性變形、熱變形等問題也會造成間隙值在一定范圍內(nèi)變化[1]。因此，在設(shè)計中通常采取設(shè)定公差的方式對運動副間隙的存在進(jìn)行提前考慮。

間隙運動學(xué)是由現(xiàn)代先進(jìn)機械對高位置精度、高運行速度、高工作強度、高可靠性、高經(jīng)濟(jì)性以及復(fù)雜多變的工作環(huán)境等要求共同促成的，已經(jīng)成為力學(xué)、機械工程、航空航天工程、車輛工程等眾多理工科領(lǐng)域的研究熱點[2]。間隙運動學(xué)在很多領(lǐng)域是多體動力學(xué)發(fā)展的進(jìn)一步延伸，例如文獻(xiàn)[3]，對于機構(gòu)的虛擬樣機預(yù)測在考慮運動副間隙以后會變得更加準(zhǔn)確合理，同時也揭示了含間隙多體動力學(xué)系統(tǒng)的突出特征是變結(jié)構(gòu)、含碰撞、非線性、非連續(xù)。本文將間隙運動副理論引入農(nóng)業(yè)機械的平行四桿深度調(diào)節(jié)機構(gòu)中用于提高機械的設(shè)計精度，使用Poincare理論對結(jié)果進(jìn)行混沌現(xiàn)象的定性[4]，再對具有混沌現(xiàn)象的非線性結(jié)果進(jìn)行分析，分析出設(shè)計中重要的角度值與公差值[5]。

1 主要工作內(nèi)容

1.1 工作內(nèi)容概況

本文選取農(nóng)用機械中的平行四桿深度調(diào)節(jié)機構(gòu)為研究對象，主要工作內(nèi)容分為兩個部分：一部分是基于Adams軟件平臺進(jìn)行的含間隙運動副函數(shù)子程序二次開發(fā)，一部分是平行四桿深度調(diào)節(jié)機構(gòu)的模型創(chuàng)建、仿真及結(jié)果分析。主要步驟如圖1所示。

圖1 含間隙分析流程圖

1.2 含間隙運動副混合接觸力模型選取

從20世紀(jì)70年代開始，國內(nèi)外學(xué)者為了能夠精準(zhǔn)描述運動副間隙在實際工作中的運動狀態(tài)，建立了一系列間隙運動學(xué)模型。依據(jù)經(jīng)驗，一般將法向接觸力模型分為三類：間隙運動副連續(xù)接觸模型[6]、間隙運動副經(jīng)典碰撞模型（三狀態(tài)模型）[7-8]、間隙運動副連續(xù)接觸力模型（二狀態(tài)模型）[9]。

本文采用二狀態(tài)間隙法向接觸力模型進(jìn)行子程序二次開發(fā)，間隙運動副連續(xù)接觸力模型將間隙運動副構(gòu)件間的彼此運動狀態(tài)根據(jù)邊界條件分為自由分離階段和接觸碰撞階段兩類，所以又稱為二狀態(tài)模型。與三狀態(tài)模型相比最顯著的特征是所劃分的運動狀態(tài)少了一個，但最本質(zhì)的區(qū)別則是建模所基于的平衡方程參數(shù)不同。二狀態(tài)模型基于力的約束來構(gòu)建平衡方程，每次構(gòu)件的相互接觸在開始和結(jié)束的時刻，其接觸位置的接觸力和形變量都為零，且過程中兩個量連續(xù)變化。該類模型的接觸區(qū)域是柔性的，穿刺深度和接觸力成非線性函數(shù)關(guān)系，可以計算出阻尼力、摩擦力、接觸力、形變速度、形變量等數(shù)據(jù)，是目前應(yīng)用最多的間隙動力學(xué)模型。因此，本文選擇二狀態(tài)模型中使用較多的L-N模型對平行四桿機構(gòu)進(jìn)行含間隙動力學(xué)仿真。

這類模型同時也存在著缺陷。一方面，需要頻繁地判斷接觸的發(fā)生與接觸類型，使得用于計算的數(shù)值方法必須在保持收斂的條件下具備高精度結(jié)果和高計算效率。另一方面，這類模型的計算精度并沒有三狀態(tài)模型精確。但對于難以計算界定臨界狀態(tài)的三狀態(tài)方法和較為古老的經(jīng)典模型而言，二狀態(tài)模型無論在計算效率還是結(jié)果精度上都有無法比擬的優(yōu)勢。

其中，δ˙(-)為初始碰撞速度，K為接觸剛度，ce為恢復(fù)系數(shù)，δ為穿刺深度。

關(guān)于混合接觸力模型中切向接觸力的部分。本文的含間隙碰撞接觸力模型中切向力部分沿用了經(jīng)典的庫倫接觸力摩擦模型，此種模型的主要影響變量是法向接觸力和摩擦系數(shù)。但是該模型用于本文的接觸力模型計算中是存在問題的，上文已經(jīng)說明在二狀態(tài)模型中位移和力是處于連續(xù)變化狀態(tài)的，但是庫倫模型存在不連續(xù)性，在高頻接觸-分離中大量的離散數(shù)據(jù)點導(dǎo)致數(shù)值計算收斂性降低[10]。另外，隨著摩擦研究的發(fā)展，學(xué)者發(fā)現(xiàn)庫倫模型對材料屬性、外界影響、黏滑現(xiàn)象考慮不足，會導(dǎo)致計算結(jié)果存在偏差[11-12]。雖然眾多學(xué)者在此方面進(jìn)行了研究，但是目前沒有一個完善的方法，需要進(jìn)一步研究。

1.3 含間隙平行四桿機構(gòu)模型創(chuàng)建

進(jìn)行構(gòu)件含間隙動力學(xué)分析首先必須進(jìn)行間隙運動副子函數(shù)的二次開發(fā)，其過程分為四個步驟：

第一步：編寫F語言程序，模板程序中主要包含五個部分，外部變量定義、局部變量、參數(shù)定義、可執(zhí)行代碼、將可讀的變量名分配給傳遞的參數(shù)并調(diào)用SYSARY采集參數(shù)。

1）外部變量定義模塊為定義變量在計算機中儲存位置和儲存格式的模塊。外部變量定義模塊如圖2所示。

圖2 外部變量定義模塊

2）局部變量為實現(xiàn)設(shè)定好的計算變量，一部分的具體數(shù)值只可在程序中進(jìn)行修改，包括π值、指數(shù)e等。另一部分是計算中出現(xiàn)的定義變量，包括兩構(gòu)件尺寸、穿刺量、接觸點位置角等。

3）參數(shù)定義模塊與導(dǎo)入Adams后的用戶輸入?yún)?shù)界面相對應(yīng)，包含18個需要在仿真前用戶根據(jù)所計算運動副情況自主輸入的變量值，包括孔軸構(gòu)件的模型編號、孔軸半徑、法向接觸力等。

4）可執(zhí)行代碼為程序段的核心內(nèi)容，其中包括了二維、三維接觸及摩擦速度的判斷代碼，摩擦模式的判斷代碼，軸向接觸力、徑向接觸力、摩擦力計算代碼等核心代碼。

5）將可讀的變量名分配給傳遞的參數(shù)，調(diào)用SYSARY采集參數(shù)模塊為功能模塊，主要服務(wù)于計算程序中變量名的傳遞和數(shù)據(jù)賦值。

第二步：使用VS平臺對編寫的gfosub.f程序包進(jìn)行編譯，并將編譯后形成的gfosub.dll文件加載進(jìn)入Adams的函數(shù)庫完成對運動學(xué)仿真平臺的二次開發(fā)。VS平臺編譯窗口如圖3所示。編譯過程如下。

圖3 VS平臺編譯窗口

1）首先需要編譯完成的f代碼，得到目標(biāo)文件（*.obj）。然后還需生成動態(tài)鏈接庫文件（*.dll）。

2）將生成的dll文件加入到Adams庫中。

第三步：在Solidworks平臺中進(jìn)行對象建構(gòu)，也就是平行四桿深度調(diào)節(jié)機構(gòu)的三維模型建立工作，并將其導(dǎo)入至Adams平臺中添加約束與驅(qū)動，播深調(diào)節(jié)機構(gòu)模型如圖4所示。此處需要使用自主編寫的子函數(shù)間隙旋轉(zhuǎn)副替代軟件平臺中自帶的旋轉(zhuǎn)副函數(shù)，主要步驟是在運動副銷構(gòu)件軸向兩端中心點添加一對一般力矢量并在孔軸構(gòu)件之間添加相互作用力。將仿真設(shè)置中執(zhí)行欄目下的求解庫改為C:/mysubroutine/gfosub.dll，并將一般力矢量的定義使用改為“子程序”，此時可以在用戶參數(shù)輸入根據(jù)程序定義輸入對應(yīng)計算參數(shù)量。一般力矢量用戶參數(shù)輸入界面如圖5所示。

圖4 播深調(diào)節(jié)機構(gòu)模型

圖5 一般力矢量用戶參數(shù)輸入界面

第四步：仿真參數(shù)設(shè)置，此處需要設(shè)置的仿真參數(shù)主要為仿真步長、仿真階數(shù)、最大迭代次數(shù)等變量。

2 結(jié)果與討論

2.1 含間隙平行四桿機構(gòu)運動混沌現(xiàn)象

Poincare映射是對運動及動力學(xué)數(shù)據(jù)是否具有混沌現(xiàn)象進(jìn)行定性分析的重要方法[4]，混沌理論描述了物體運動的不可預(yù)測性，對非線性系統(tǒng)意義非凡，產(chǎn)生混沌現(xiàn)象表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響。因此，本文使用Poincare映射對加入間隙后的深度調(diào)節(jié)機構(gòu)角加速度數(shù)據(jù)結(jié)果和X方向軸心軌跡結(jié)果進(jìn)行分析，佐證在機構(gòu)運動中考慮間隙的科學(xué)意義。

Poincare映射指多維相空間中選取一個適當(dāng)截面賦予共軛狀態(tài)變量，此截面稱為Poincare截面，將各Poincare截面點作為離散點進(jìn)行串聯(lián)，觀察形成的相軌跡線即可找出系統(tǒng)運動學(xué)特性。對于作周期運動的機構(gòu)運動而言，在各個周期的相同時刻進(jìn)行取點，將一個周期作為一個Poincare截面，選取的時刻與對應(yīng)變量組成共軛狀態(tài)變量繪制圖形。本文分別對角速度（圖6a）和X方向中心點位移（圖6c）進(jìn)行Poincare映射圖繪制，由于Poincare映射對周期數(shù)具有一定要求，將仿真進(jìn)行了120周期運行，每周期約2 500個數(shù)據(jù)點，選取每個周期的第1 500個數(shù)據(jù)點作為Poincare截面，各點組成共軛狀態(tài)量（xk，ωk）與（xk，Xk），其中k表示周期數(shù)，x表示對應(yīng)時間點坐標(biāo)，ω表示對應(yīng)角速度坐標(biāo)，X表示對應(yīng)位移坐標(biāo)。除折線連接以外使用6次多項式對共軛點進(jìn)行擬合繪制，如圖6（b）與圖6（d）所示。

圖6 Poincare映射圖

從上圖可以看出，無論是位移還是角速度的Poincare映射結(jié)果折線圖都不在一條直線上，6次多項式擬合結(jié)果也顯示多項式系數(shù)與首項系數(shù)偏差較遠(yuǎn)，不是線性擬合曲線，這表明在加入間隙后仿真結(jié)果不具有周期解，運動中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

2.2 旋轉(zhuǎn)副間隙大小及轉(zhuǎn)速對動力學(xué)特性的影響

間隙值是影響機構(gòu)動力學(xué)表現(xiàn)的重要參數(shù)之一，圖7是在變間隙的影響下，以固定0.125 r/s的驅(qū)動速度進(jìn)行仿真計算，去除了最初5個數(shù)據(jù)點并對數(shù)據(jù)點進(jìn)行等間距取值后的Y軸映射結(jié)果圖。從圖中可知，運動副間空間的存在加大了啟動階段的運動副非線性變化，尤其是前1.25 s時間段內(nèi)。此后，運動的波動明顯減小，說明在機構(gòu)行進(jìn)角度至56.25°之后，兩運動副元素由于垂直地面作用力的關(guān)系，相互運動空間被壓縮，力的非線性變化程度可以被認(rèn)為是相互運動自由程度的一種表現(xiàn)，此后的運動將存在卡死的風(fēng)險，尤其是在運動角度α大于75°，也就是運行至1.5 s時，力的非線性度降低和接觸力整體提升進(jìn)一步加劇。

圖7 間隙對接觸力的影響圖

由以上數(shù)值計算結(jié)果可得，在設(shè)計過程中，將α設(shè)置為60°較為合適，間隙值控制在0.1 mm附近時對機構(gòu)的動力學(xué)影響較小，也不會造成成本的過度增加。

圖8 是間隙大小為0.1 mm，驅(qū)動速度設(shè)為0.125 πrad/s～1 πrad/s時，銷軸的軸心三維運動軌跡圖像，其中Z軸方向是銷軸的運動軸向，X軸和Y軸是銷軸的運動徑向，為便于觀察軌跡圓的徑向運動圖形，對三維軌跡的徑向進(jìn)行投影，在底面繪制二維軌跡圓。

圖8 不同運行速度下銷中心點的空間運行軌跡圖

從圖中可以看出，驅(qū)動速度的不同不會影響整體的運動趨勢。第一步，銷構(gòu)件受重力作用下墜，與孔構(gòu)件在垂直方向底部首次碰撞并發(fā)生回彈。第二步，由于主動件傳力的作用，軸心點移動向遠(yuǎn)離主動件一側(cè)，背離主軸移動。第三步，在所受合力及慣性的作用下，軸心點移動接近近地點，期間兩構(gòu)件連續(xù)接觸。驅(qū)動速度的增加將導(dǎo)致初次回彈軌跡幅度加深，表明了初次碰撞激烈程度的提升。設(shè)定極限強度時必須考慮設(shè)計的理論運行速度，同時，由于更大的驅(qū)動速度將帶來更大的穿刺量，且最大穿刺必定發(fā)生在相對固定的位置，因此會對軸銷構(gòu)件的圓度產(chǎn)生較大的影響。

3 總結(jié)與展望

在考慮了運動副間隙以后，可以明顯地觀察到平行四桿深度調(diào)節(jié)機構(gòu)的運動學(xué)特性和動力學(xué)特性出現(xiàn)了難以控制的非線性特征。由于使用了二狀態(tài)模型進(jìn)行仿真，可以直觀地展現(xiàn)力的變化和穿刺現(xiàn)象。通過分析結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

1）考慮間隙后，機構(gòu)將產(chǎn)生非線性振動現(xiàn)象，經(jīng)過本文的定性證明，含間隙機構(gòu)的振蕩具有混沌現(xiàn)象的特點。

2）為保證機構(gòu)工作的可靠性和機械制造的經(jīng)濟(jì)性，平行四桿深度調(diào)節(jié)機構(gòu)的間隙公差應(yīng)控制在0.08 mm左右。

3）平行四桿機構(gòu)活動角α設(shè)計為60°是合理的，可以將構(gòu)件的位置精度誤差控制在一個合理的范圍內(nèi)，避免機構(gòu)卡死的發(fā)生，同時小于90°，不改變設(shè)計的運動趨勢。

4）本文的結(jié)果證明，運行速度和間隙值對機構(gòu)的起始階段影響最為顯著，集中表現(xiàn)在初次碰撞時的穿刺量和碰撞接觸力，這對設(shè)計運行速度和構(gòu)件的圓度公差提出了特別的要求。

5）完成了含間隙運動學(xué)分析的全過程操作，包括了混合接觸力模型的選取建立、模型程序包編寫、子程序函數(shù)包二次開發(fā)、機構(gòu)虛擬模型創(chuàng)建及仿真、結(jié)果混沌定性分析以及參數(shù)的設(shè)計。

但是本文的研究使用的所有構(gòu)件均為剛性結(jié)構(gòu)，沒有對構(gòu)件的宏觀變形進(jìn)行考慮，需要進(jìn)行下一步研究完善。