非Hermite線性方程組的迭代終止條件

廖曉花

(閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700)

微分方程和積分方程已經(jīng)廣泛應(yīng)用于量子化學(xué)、流體力學(xué)、聲散射等工程應(yīng)用和科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中[1]。有限差分以及有限元等離散化技術(shù)中的微分方程和積分方程復(fù)線性方程組求解主要包括以下兩類：復(fù)線性方程組，Ax=b；存在多右端項(xiàng)的復(fù)線性方程組，AX=B。其中A∈Cn×n表示非Hermite矩陣，x，b∈Cn，X,B∈Cn×p,p=n。

求解大規(guī)模線性方程組在實(shí)際工程問題數(shù)值計(jì)算中所占比重高[2]；非線性方程組的高效求解是眾多研究學(xué)者的研究方向，其高效的求解具有較高的應(yīng)用價(jià)值以及理論意義[3]。目前普遍通過Krylov子空間方法研究存在多右端項(xiàng)以及普通非Hermite線性方程組的求解。

非Hermite線性方程組實(shí)際應(yīng)用中對(duì)計(jì)算規(guī)模、計(jì)算效率以及存儲(chǔ)量等要求較高[4]，采用Krylov子空間方法往往無法滿足這些需求，為此，非Hermite線性方程組的迭代終止條件研究具有較大的必要性。

非Hermite線性方程組求解的預(yù)處理方法可有效提升求解效率[5]。探究非Hermite線性方程組的迭代終止條件，采用預(yù)處理方法完成對(duì)CORS算法的處理后，再利用處理后的CORS算法求解非Hermite線性方程組，使其快速迭代，可提升非Hermite線性方程組的收斂速度、魯棒性以及穩(wěn)定性。

1 非Hermite線性方程組的迭代終止條件

1.1 非Hermite線性方程組預(yù)處理

通過預(yù)處理方法預(yù)先處理非Hermite線性方程組可提升其求解速度[6]，然后再將預(yù)處理完成的非Hermite線性方程組利用迭代算法快速求解。

本文采用預(yù)處理方法與實(shí)線性方程組加速求解的方法建立預(yù)處理?xiàng)l件子M-1，令所建立與處理?xiàng)l件子與系數(shù)矩陣A的逆矩陣近似，即M-1≈A-1，且M-1≈(M1M2)-1。獲取的非Hermite線性方程組的CORS方法預(yù)處理公式為

(1)

預(yù)處理具有多個(gè)右端項(xiàng)的非Hermite線性方程組時(shí)，可使M1=I，M2=M，利用以上僅考慮右端項(xiàng)的預(yù)處理方法，系數(shù)矩陣內(nèi)奇異值分布較為聚集[7]，從而提升迭代算法的收斂速度。

1.1.1 選取預(yù)處理?xiàng)l件子

設(shè)

A=(aij)n×n=D-N。

(2)

式中D=diag(d1,d2,…,dn)，且需滿足

那么

A-1=(D-N)-1=(I-D-1N)D-1。

(3)

式中I表示單位矩陣。

已知存在公式：

(I-D-1N)-1≈I+D-1N+…+(D-1N)q-1，

(4)

可得預(yù)處理?xiàng)l件子M-1公式：

M-1=(I+D-1N+…+(D-1N)q-1)D-1。

(5)

式中q≥1。

通過確定預(yù)處理?xiàng)l件子M-1可知，非Hermite線性方程組計(jì)算量隨著內(nèi)迭代次數(shù)的提升而有所增加[8-9]，非Hermite線性方程組預(yù)處理的內(nèi)迭代次數(shù)對(duì)于提升最終計(jì)算的收斂速度極為重要。

1.1.2 預(yù)處理CORS算法

預(yù)處理CORS算法過程如下：

3)當(dāng)‖rk‖2≤ε‖r0‖2時(shí)，終止求解，此時(shí)ε∈R+；否則需求解

4)令k=k+1，返回至步驟2)。

forl=0,1,…,q-1

end

(6)

forl=0,1,…,q-1

end

(7)

迭代次數(shù)范圍固定時(shí)，內(nèi)迭代次數(shù)q的增多令系數(shù)矩陣特征值聚集程度有所提升[10-11]，令非Hermite線性方程組求解速度有所提升。

1.2 非Hermite線性方程組的迭代終止條件

基于CORS方法求解非Hermite線性方程組，令非Hermite線性方程組快速滿足迭代終止條件[12]。

廣義CORS方法參量符合公式：

(8)

(9)

j+1過程。

j+1。

已知公式如下：

(10)

獲取遞推過程如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

將公式(17)與公式(18)結(jié)合可得公式：

(19)

獲取輔助迭代向量公式為

(20)

可得迭代序列公式如下：

sj=tj-αjApj，

(21)

(22)

(23)

(24)

uj+1=rj+1+βj+1hj，

(25)

(26)

(27)

(28)

以及

(29)

從而得到

(30)

以及

(31)

(32)

以及

(33)

通過以上推導(dǎo)過程得到高效迭代終止的非Hermite線性方程組的廣義CORS方法過程如下：

(1)用x0表示初始值，求解r0=b-Ax0；

(4)求解j=0,1,2,…；

(6)αj=ρj/σj；

(8)sj=tj-αjqj；

(20)uj+1=rj+1+βj+1hj；

計(jì)算結(jié)束。

該方法的誤差界公式為

(34)

2 算例分析

在MATLAB環(huán)境下運(yùn)行算例的全部計(jì)算過程。

已知2個(gè)非Hermite線性方程組：

方程組A：A1x=b1;

方程組B：A2x=b2;

采用隨機(jī)算法求解以上2個(gè)非Hermite線性方程組，結(jié)果如表1所示。

表1 線性方程組求解結(jié)果

由表1可知，采用隨機(jī)算法通過常用的終止迭代條件求解非Hermite線性方程組將提前終止求解，使獲取的迭代解與精確解相差較大。

將本文方法與TFQMR方法和GCORS2方法對(duì)比，統(tǒng)計(jì)不同方法求解以上公式的迭代過程計(jì)算量，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 不同方法計(jì)算量

表2中，AXPY表示執(zhí)行向量x、y以及純量α的運(yùn)算α×y+x。由表2中統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，本文方法相比于TFQMR方法和GCORS2方法所執(zhí)行AXPY運(yùn)算較少。

設(shè)置停機(jī)準(zhǔn)則TOL為10-5及10-8，得到的數(shù)值結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法數(shù)值結(jié)果

由表3可以看出，利用本文方法求解線性方程組的收斂速度明顯高于另2種方法。不同停機(jī)準(zhǔn)則情況下，本文方法所需的迭代步數(shù)以及CPU執(zhí)行時(shí)間明顯低于另2種方法，且可得到最精確的近似解。以上算例計(jì)算結(jié)果表明，利用本文方法，迭代過程中的殘量范數(shù)較高，具有較快的收斂速度，可在較少迭代次數(shù)情況下快速獲取最優(yōu)解，迭代次數(shù)低、穩(wěn)定性高。

3 結(jié)論

由于非Hermite線性方程組存在于應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及控制論等各類學(xué)科中，所以，非Hermite線性方程組的求解問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分重要的分支。但是，由于目前非線性方程組的理論研究還有欠缺，所以其應(yīng)用價(jià)值還不能充分發(fā)揮。本文的主要研究亮點(diǎn)如下：

1)對(duì)CORS方法進(jìn)行預(yù)處理，可提升利用廣義CORS方法求解非Hermite線性方程組的效率、收斂速度，實(shí)現(xiàn)求解結(jié)果的實(shí)時(shí)性；

2)利用殘量多項(xiàng)式建立的廣義CORS求解非線性方程，由于存在不規(guī)則收斂殘量范數(shù)，易造成非線性方程解誤差較高、近似解較差的問題，而經(jīng)過本文方法求解后可避免初始誤差加大，進(jìn)一步提升了收斂速度與光滑性；

3) 經(jīng)過預(yù)處理算法處理的廣義CORS方法求解非Hermite線性方程組時(shí)，收斂速度提升至最高，可通過最小的迭代時(shí)間和迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)快速終止，因此，本文方法在求解結(jié)果精確度與計(jì)算量均具有一定的優(yōu)勢(shì)性。