用特殊位置探求解析幾何中定點(diǎn)定值問題

江蘇 梁永年

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題.在教學(xué)中，有些數(shù)學(xué)老師認(rèn)為學(xué)生解析幾何學(xué)不好的主要原因是運(yùn)算能力不強(qiáng)，為此，就通過大量解題去訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算求解能力，其結(jié)果是學(xué)生解決解析幾何問題的能力并未得到顯著提高.究竟如何才能有效提升解析幾何的復(fù)習(xí)效率呢？涂榮豹教授認(rèn)為：解題教學(xué) “以尋找思路為核心”，尋找思路也就是要找到解決問題的切入點(diǎn).

1.教學(xué)分析

本校開展以解析幾何中定點(diǎn)、定值問題為主題的測(cè)試.從反饋情況來看，學(xué)生解答這類試題難度較大，得分很低.其實(shí)，學(xué)生基礎(chǔ)較好，也理解解決這類問題的一般思路，但面對(duì)新問題、新思路依然受阻.筆者認(rèn)為定點(diǎn)問題與定值問題的共同特征是“定”，而與“定”對(duì)應(yīng)的是“動(dòng)”，即運(yùn)動(dòng)變化.因此，定點(diǎn)與定值問題的本質(zhì)是尋求運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變量，這就啟示我們根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化中的特殊位置去尋找方法和思路，為我們解決問題提供一個(gè)重要的方法策略，從而更能有效地提升學(xué)生的復(fù)習(xí)效率.本文將以具體案例(利用圖形的特殊情形)來說明特殊化思想在解析幾何定點(diǎn)定值問題中的應(yīng)用.

2.案例分析

2.1 優(yōu)化運(yùn)算思路

從特殊情形入手猜測(cè)結(jié)論，再證明這個(gè)點(diǎn)(值)與變量無關(guān)，可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，分析法是解決不少證明問題的有效方法，對(duì)一些定點(diǎn)、定值問題的證明也行之有效，能達(dá)到事半功倍的效果.

2.2 指明探索方向

分析：雖然學(xué)生知道定點(diǎn)、定值問題的基本方法是找準(zhǔn)主元，引入?yún)?shù)，建立各個(gè)量間的數(shù)量關(guān)系.但是，對(duì)于這道題，發(fā)現(xiàn)不管設(shè)什么量，都不好表示|PM|， |PN|．

當(dāng)過點(diǎn)P且與圓O相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

有些考題，我們雖不能立即看透其本質(zhì)，但借助于幾何直觀中特殊位置獲得定點(diǎn)或定值，再對(duì)一般情形給出推理與證明，我們大膽預(yù)測(cè)，多試一試，不斷培養(yǎng)從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力.

2.3 揭示問題本質(zhì)

分析：該題難度較大，學(xué)生得分率很低.但其實(shí)思路方法并不難，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立，由AM⊥AN可得,4k2+8km+3m2-2m-1=0.由于現(xiàn)在初中因式分解要求較低，很多學(xué)生根本無法處理該等式，如何突破這一難點(diǎn)呢？

考慮直線MN在變化過程中的特殊位置：

(3)考慮極限情況，當(dāng)點(diǎn)N無限接近點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直角三角形退化為線段，D點(diǎn)無限接近點(diǎn)A，即有D3(2,1)；

利用特殊的位置突破本題的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析直觀圖形，培養(yǎng)學(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，這種思維方式是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣，離不開反復(fù)的訓(xùn)練強(qiáng)化，需要日積月累，并將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)能力，這樣不斷循環(huán)往復(fù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也就得以不斷提升.

3.備考建議

從特殊到一般，再由一般到特殊，探尋問題解決思路，這是認(rèn)識(shí)世界的一個(gè)普遍規(guī)律.從圖形的特殊位置、特殊情形、極限狀態(tài)、圖形的對(duì)稱性等關(guān)鍵信息切入，猜測(cè)定點(diǎn)、定值結(jié)論，再證明這個(gè)點(diǎn)(值)與變量無關(guān)，是解決定點(diǎn)、定值問題的一個(gè)有效方法，能達(dá)到事半功倍的效果.