多種數(shù)值插值算法插值性能分析及優(yōu)化

張增磊 呂達(dá) 趙燈 張強(qiáng)

(1、武漢第二船舶設(shè)計研究所,湖北 武漢 430000 2、武漢大學(xué),湖北 武漢 430000)

考慮到強(qiáng)耦合過程的費(fèi)時、費(fèi)力、不經(jīng)濟(jì)，目前多體或多場之間的耦合多屬于弱耦合問題。每一次完成弱耦合都需要對耦合面數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，達(dá)到耦合面數(shù)據(jù)交互的目的[1]。為了尋求更高的插值精度和插值效率，廣大學(xué)者提出了大量的插值算法，大致可以分為兩類[2]：函數(shù)插值法和投影插值法。函數(shù)插值法是直接在高維空間構(gòu)建插值函數(shù)來傳遞耦合數(shù)據(jù)的一類流固耦合數(shù)據(jù)傳遞方法，包括最鄰近點(diǎn)插值法[3-4]、加權(quán)余量法[5]、基于徑向基函數(shù)(RBF)的插值法[6-7]、樣條函數(shù)法[8]等。投影插值法是先將待插值的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)以某種方法投影后再構(gòu)建插值函數(shù)傳遞耦合數(shù)據(jù)的一類流固耦合數(shù)據(jù)傳遞方法，包括映射點(diǎn)插值法[9]、常體積轉(zhuǎn)換方法[10]、載荷面法[11]、定義局部坐標(biāo)[12]和引入數(shù)據(jù)降維方法等距映射法ISOMAP[13]。

為了實現(xiàn)耦合面之間壓力的準(zhǔn)確傳遞，本文針對最臨界點(diǎn)插值法、最小二乘插值法和等距映射法，利用數(shù)據(jù)計算，分析了網(wǎng)格數(shù)目、網(wǎng)格質(zhì)量和耦合面邊界類型對插值精度和插值效率的影響規(guī)律，并提出了一種基于網(wǎng)格循環(huán)的插值策略，當(dāng)耦合面采用高階單元時，可以提高耦合面插值效率，對耦合面總壓力的傳遞具有較高的準(zhǔn)確率。

1 三種常見的數(shù)據(jù)插值算法

1.1 最鄰近點(diǎn)插值法(NN)

最鄰近點(diǎn)插值法(NN)實現(xiàn)方式較為簡單，通過對耦合面網(wǎng)格所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行遍歷，將距離最近的節(jié)點(diǎn)載荷數(shù)據(jù)作為待插值節(jié)點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)。

為獲取待插值點(diǎn)M(x， y， z)的載荷數(shù)據(jù)，通過式(1)獲取該節(jié)點(diǎn)與源耦合面節(jié)點(diǎn)M′(xi， yi， zi)的距離

m 為源耦合面最大節(jié)點(diǎn)編號。若節(jié)點(diǎn)i 的載荷數(shù)據(jù)為N(xi，yi， zi)，則節(jié)點(diǎn)M的載荷數(shù)據(jù)為N(xi， yi， zi)。

1.2 最小二乘多項式插值法（L2）

通過選取與待插值點(diǎn)M(x， y， z)臨近的k 個節(jié)點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)，構(gòu)建如式(3)所示的多項式進(jìn)行數(shù)據(jù)插值，獲取待插值點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)。

首先，依據(jù)源耦合面內(nèi)k 個臨近節(jié)點(diǎn)構(gòu)建載荷矩陣方程P=AB，其中

1.3 等距映射法（ISOMAP）

等距映射法是基于多維尺度分析(MDS)的非線性降維算法，可以消除耦合面空間非線性對耦合數(shù)據(jù)傳遞的影響。該算法先采用鄰域歐式最短距離估計點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，然后應(yīng)用多為尺度分析計算在和數(shù)據(jù)的低維插值載荷數(shù)據(jù)。該過程的實現(xiàn)可分為以下三個步驟。

（1）構(gòu)造鄰域圖。若源耦合面內(nèi)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，采用K- 鄰域判斷源耦合面內(nèi)任意兩節(jié)點(diǎn)(i， j)是否相鄰，若相鄰，則確定節(jié)點(diǎn)距離d(i， j)，并最終構(gòu)建鄰域圖G。

（3）構(gòu)建d 維插值。對矩陣Dm應(yīng)用MDS 算法構(gòu)建最小化目標(biāo)函數(shù)

2 三種插值算法的插值性能分析

如圖1 所示，本文擬定兩個物理場的耦合面尺寸均為100mm×100mm，源耦合面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)均勻分布，而待求耦合面的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)依據(jù)給定的平均單元尺寸均勻分布或自由生成。通過對比最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘多項式插值法和等距映射法三種插值算法的插值計算時間、插值誤差進(jìn)行對比，分析了不同耦合面網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)格質(zhì)量和耦合邊界類型對三種插值算法的插值效率和插值精度的影響。

圖1 耦合面節(jié)點(diǎn)分布示意圖

2.1 網(wǎng)格尺寸

在分析單元尺寸對插值計算的影響時，本文設(shè)置待求耦合面采用網(wǎng)格自由劃分方式，更改耦合面單元尺寸，耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 耦合面網(wǎng)格尺寸設(shè)置

最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘多項式插值法和等距映射法三種插值算法的傳遞的總壓力和插值時間如圖2 所示。

圖2 網(wǎng)格尺寸對插值效率和插值精度的影響

當(dāng)兩個耦合面單元尺寸相近時，改變網(wǎng)格尺寸，插值時長與耦合面節(jié)點(diǎn)在對數(shù)坐標(biāo)系下呈現(xiàn)正相關(guān)，即T∝Nk。對于三種插值算法，指數(shù)k 分別為1.97，2.05，2.14。最鄰近點(diǎn)插值法在整個插值過程中，包含兩類循環(huán)：一種是對待求耦合面所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，獲取每個節(jié)點(diǎn)的壓力值；另一種是對源耦合面所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，獲取源耦合面內(nèi)待求節(jié)點(diǎn)的最鄰近節(jié)點(diǎn)。而第二種循環(huán)中嵌套在第一種循環(huán)中，導(dǎo)致了該算法的系數(shù)k 接近2。而最小二乘多項式插值法和等距映射法并不僅僅依靠最鄰近節(jié)點(diǎn)的壓力值而確定，會根據(jù)臨近多個節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合，獲取待插值點(diǎn)附近的更加準(zhǔn)確的壓力分布，導(dǎo)致插值效率均低于最鄰近點(diǎn)插值法。

最鄰近點(diǎn)插值法在求解每個節(jié)點(diǎn)壓力時由較大誤差，導(dǎo)致了計算所得的總壓力大于源耦合面的總壓力，通過折算降低節(jié)點(diǎn)數(shù)目不等帶來的誤差后，最大誤差仍可達(dá)到34.9%。由于該插值算法中耦合面各節(jié)點(diǎn)互不干擾，獨(dú)立計算，當(dāng)節(jié)點(diǎn)個數(shù)多于源耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)時，多出的節(jié)點(diǎn)必然會增加耦合面的總壓力。最小二乘多項式插值法也存在類似的不足之處。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時，源耦合面節(jié)點(diǎn)承受的壓力遠(yuǎn)高于節(jié)點(diǎn)數(shù)多的情形，多出的節(jié)點(diǎn)數(shù)目對總壓力的計算影響較大，導(dǎo)致了傳遞的總壓力隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而呈現(xiàn)先增大或降低的趨勢。而等距映射法會構(gòu)建鄰域圖，節(jié)點(diǎn)之間會相互影響，減弱多出的節(jié)點(diǎn)對計算的影響，插值精度也會隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而緩慢增加，但仍會增大傳遞的總壓強(qiáng)。

若以式(7)獲取的待插值點(diǎn)處壓力為準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，則第三組所有插值點(diǎn)的相對誤差如圖3 所示。

圖3 待插值節(jié)點(diǎn)壓力誤差

由圖3 可知，三種插值算法均能保證每個節(jié)點(diǎn)的相對誤差小于2%，但最鄰近點(diǎn)插值法的插值精度明顯弱于最小二乘插值法和等距映射法。對于同一套網(wǎng)格，利用三種算法計算的節(jié)點(diǎn)壓力的相對誤差的分布基本一致。由此圖可以推斷，網(wǎng)格質(zhì)量或者節(jié)點(diǎn)分布均勻性對插值精度具有顯著的影響。若降低耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)目，必然導(dǎo)致源耦合面節(jié)點(diǎn)之間梯度變大，會加劇插值點(diǎn)的相對誤差，特別是對最臨近點(diǎn)插值法。

2.2 網(wǎng)格質(zhì)量

為了研究耦合面節(jié)點(diǎn)的分布對插值過程的影響規(guī)律，在耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的基礎(chǔ)上，選定了三種待求耦合面節(jié)點(diǎn)分布，網(wǎng)格質(zhì)量從左往右依次增加，示意圖如圖4 所示。在源耦合面上施加式(7)所示的壓力，三種插值算法的插值時長和耦合面總壓力如圖5 所示。提下，等距映射法插值效率最低，最鄰近點(diǎn)插值法插值效率最高，高于等距映射法的兩倍。

圖4 不同網(wǎng)格質(zhì)量的待求耦合面節(jié)點(diǎn)分布

圖5 網(wǎng)格質(zhì)量對插值效率和插值精度的影響

由圖5(b)可知，質(zhì)量較高的網(wǎng)格可以提高插值精度。在提供的三種網(wǎng)格中，三種插值算法僅對網(wǎng)格1 產(chǎn)生較大的插值誤差，大小分別為1.68%，0.46%和0.70%，而對網(wǎng)格2 和網(wǎng)格3 的插值誤差均低于0.01%。

在不同網(wǎng)格質(zhì)量下，每個節(jié)點(diǎn)壓力的相對誤差如圖6 所示，其中網(wǎng)格3 導(dǎo)致了相對誤差均為0，則并未附圖進(jìn)行說明。從左往右分別利用了最臨近點(diǎn)插值法、最小二乘插值法和等距映射法進(jìn)行計算。

圖6 節(jié)點(diǎn)插值壓力的相對誤差

圖6 直觀地展現(xiàn)了網(wǎng)格質(zhì)量對插值精度的影響。當(dāng)網(wǎng)格自由劃分時，節(jié)點(diǎn)一般會在靠近邊界的區(qū)域無規(guī)律分布，而恰好在該區(qū)域，節(jié)點(diǎn)的相對誤差較大，且變化明顯。針對網(wǎng)格2 和網(wǎng)格3，當(dāng)節(jié)點(diǎn)分布較為均勻時，節(jié)點(diǎn)的相對誤差普遍較小，插值更加準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

本文介紹了三種常見的數(shù)據(jù)插值算法，分析了網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)格質(zhì)量對插值性能的影響規(guī)律，并提出了一種利用網(wǎng)格遍歷的插值優(yōu)化策略，得到如下結(jié)論：

3.2 網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)格數(shù)目對插值精度影響較大，三種插值算法對三種參數(shù)的敏感程度也不一致，且三種參數(shù)對三種插值算法在插值精度上的影響程度分別是最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘插值法和等距映射法。若以壓力作為傳遞參數(shù)，耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)目對傳遞的總載荷影響較大，待求耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)大于源耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)，導(dǎo)致了傳遞的總載荷增大，增大幅值近似于兩耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)之比。質(zhì)量高或節(jié)點(diǎn)分布均勻的網(wǎng)格，耦合面變化梯度較小均有利于降低整體節(jié)點(diǎn)的壓力相對誤差，提高插值精度。若網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少，甚至網(wǎng)格質(zhì)量不高時，最臨界點(diǎn)插值法的插值精度會急劇增高，在本文所計算的數(shù)據(jù)中，最高可達(dá)到34.9%。