基于狀態(tài)空間法的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期研究

田啟華 鄢君哲 張玉蓉 李 浪 周祥曼 付君健

（1.三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,湖北 宜昌 443002；2.上海良信電器股份有限公司,上海 201315；3.聞泰科技股份有限公司,上海 200030；4.湖北江漢建筑工程機(jī)械有限公司,湖北 荊州 434020）

現(xiàn)代企業(yè)之間競(jìng)爭(zhēng)的核心力是產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)與創(chuàng)新,而在產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)過(guò)程中,設(shè)計(jì)任務(wù)之間的耦合關(guān)系是引起整個(gè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜性的主要原因,并使得不同的設(shè)計(jì)任務(wù)間出現(xiàn)大量返工和迭代,這種關(guān)系延長(zhǎng)了產(chǎn)品的整個(gè)設(shè)計(jì)周期,增加了開(kāi)發(fā)成本.為了解決設(shè)計(jì)任務(wù)中的耦合關(guān)系,內(nèi)部迭代作為一種處理耦合集的新方法近年來(lái)得到了廣泛的關(guān)注.其中,工作轉(zhuǎn)移矩陣(work transformation matrix,WTM)作為內(nèi)部迭代的一種分析方法,可以識(shí)別出產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程中的迭代驅(qū)動(dòng)任務(wù)及特性和收斂的速率,因此被廣泛應(yīng)用.例如:Smith等[1]運(yùn)用WTM 建立了經(jīng)典的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型；Xiao R 等[2]運(yùn)用WTM對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行分析并結(jié)合資源約束條件,建立了一種基于資源均衡策略的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型；Chen T 等[3]運(yùn)用WTM 識(shí)別出了并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型中存在的缺陷,然后從任務(wù)迭代時(shí)間、信息傳遞的不完備特性以及迭代次數(shù)的有限性等方面進(jìn)行了修正,建立了改進(jìn)的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型,進(jìn)而結(jié)合遺傳算法,求解出了耦合集的最優(yōu)執(zhí)行工期和成本；田啟華等[4]針對(duì)耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期的不確定性,將WTM 與模糊理論相結(jié)合,建立了并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)模糊工期模型,在此基礎(chǔ)上,采用相離度和質(zhì)心相結(jié)合的排序方法求解該模型,得到每次迭代返工的關(guān)鍵任務(wù)；張金標(biāo)[5]在WTM 的基礎(chǔ)上,引入一種多參數(shù)任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣,建立了一個(gè)能實(shí)現(xiàn)串行迭代的并行迭代模型.以上研究都是在運(yùn)用WTM 對(duì)耦合集任務(wù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上所開(kāi)展的一系列研究,但這些研究都有一定的局限性,其主要表現(xiàn)在:①當(dāng)采用WTM 對(duì)耦合設(shè)計(jì)任務(wù)進(jìn)行分析并建立并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型時(shí),模型所反映出的設(shè)計(jì)任務(wù)迭代過(guò)程是離散的,與實(shí)際情況下設(shè)計(jì)活動(dòng)是連續(xù)性的特點(diǎn)相沖突；②未考慮設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)活動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng)會(huì)縮短任務(wù)開(kāi)發(fā)時(shí)間的問(wèn)題.

狀態(tài)空間法能反應(yīng)出系統(tǒng)具有連續(xù)性的特點(diǎn),同時(shí)也能確定系統(tǒng)全部?jī)?nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài).目前,狀態(tài)空間法在耦合集迭代的求解問(wèn)題上已經(jīng)得到不少應(yīng)用.例如:Ong等[6]用狀態(tài)空間法識(shí)別出了并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)中耗時(shí)最長(zhǎng)的任務(wù)；Kim[7]利用狀態(tài)空間法,使并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)開(kāi)發(fā)過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性能夠被很方便地分析和預(yù)測(cè)；Lee等[8]用狀態(tài)空間法對(duì)并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)進(jìn)行了建模,通過(guò)求解資源矩陣,識(shí)別出了那些需要消耗大量資源和時(shí)間的任務(wù)；高斯博[9]基于狀態(tài)空間法,給出了一種狀態(tài)空間模型下不同觀測(cè)時(shí)刻下機(jī)械設(shè)備剩余使用壽命預(yù)測(cè)的計(jì)算方法.

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)過(guò)程中,學(xué)習(xí)效應(yīng)作為一種自然產(chǎn)生的現(xiàn)象,是不可被忽視的.當(dāng)員工進(jìn)行重復(fù)性勞動(dòng)時(shí),完成單位產(chǎn)品的勞動(dòng)時(shí)間會(huì)越來(lái)越短,從而使得產(chǎn)品的生產(chǎn)成本越來(lái)越低,因此在耦合集迭代的求解問(wèn)題中考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)是一種符合實(shí)際的做法.目前學(xué)習(xí)效應(yīng)在耦合集任務(wù)上得到了很多應(yīng)用.例如胡金昌[10]將學(xué)習(xí)效應(yīng)應(yīng)用到了單機(jī)調(diào)度問(wèn)題中,得到了總完工時(shí)間最小化的單機(jī)排序組合；李永林等[11]將學(xué)習(xí)效應(yīng)引入到多目標(biāo)車(chē)間調(diào)度問(wèn)題中,以最大完工時(shí)間和總加權(quán)滯后時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo),建立了與加工順序相關(guān)的對(duì)數(shù)線(xiàn)性調(diào)度模型.本文針對(duì)并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型存在的問(wèn)題,運(yùn)用狀態(tài)空間法和學(xué)習(xí)效應(yīng)函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行修正,建立一個(gè)新的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型,最后通過(guò)某空氣進(jìn)化器的開(kāi)發(fā)實(shí)例對(duì)模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.

1 并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型描述

設(shè)計(jì)任務(wù)之間總是存在著耦合的關(guān)系,而耦合度的大小則體現(xiàn)出了設(shè)計(jì)任務(wù)之間關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)弱.設(shè)計(jì)任務(wù)之間的關(guān)聯(lián)性越強(qiáng),就意味著設(shè)計(jì)任務(wù)之間存在的返工程度越強(qiáng)；反之,越弱.因此,設(shè)計(jì)任務(wù)之間的耦合關(guān)系可以通過(guò)WTM 用矩陣的形式來(lái)定量化描述.WTM 一般由兩個(gè)單獨(dú)的m×m方陣構(gòu)成,即任務(wù)工期矩陣C和返工量矩陣R構(gòu)成.其中任務(wù)工期矩陣C描述了每個(gè)任務(wù)獨(dú)立完成一次需要消耗的時(shí)間單位,返工量矩陣R描述了設(shè)計(jì)任務(wù)之間產(chǎn)生迭代時(shí)返工量的大小.WTM 矩陣也可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)定量描述,即:T＝C+R.以A,B,C 3個(gè)設(shè)計(jì)任務(wù)作為WTM 示例,如圖1所示.其中圖1(a)中的數(shù)值表示:任務(wù)A 需要1個(gè)單位時(shí)間來(lái)獨(dú)立完成,任務(wù)B需要2個(gè)單位時(shí)間來(lái)獨(dú)立完成,任務(wù)C需要3個(gè)單位時(shí)間來(lái)獨(dú)立完成.圖1(b)中的數(shù)值表示:當(dāng)任務(wù)A 每次完成后,任務(wù)B有20%的工作需要重做,任務(wù)C有40%的工作需要重做；當(dāng)任務(wù)B 每次完成后,任務(wù)A有30%的工作需要重做,任務(wù)C 有50%的工作需要重做；當(dāng)任務(wù)C每次完成后,任務(wù)A 有60%的工作需要重做,任務(wù)B有30%的工作需要重做.

圖1 WTM 示例

根據(jù)文獻(xiàn)[12],假設(shè)第n次的迭代時(shí)每個(gè)任務(wù)的工作量用一個(gè)工作向量vn表示,則有:

式中:[·](i)表示向量的第i個(gè)元素；n最大取值為∞,描述了設(shè)計(jì)任務(wù)的迭代過(guò)程是一個(gè)趨近正無(wú)窮的過(guò)程.

2 學(xué)習(xí)效應(yīng)模型的建立

產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程中的復(fù)雜性主要體現(xiàn)在耦合設(shè)計(jì)活動(dòng)之間需要進(jìn)行反復(fù)的迭代返工工作,隨著迭代次數(shù)的增加,產(chǎn)品設(shè)計(jì)人員設(shè)計(jì)能力與設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)不斷提高,因此整個(gè)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)周期通常由于多次執(zhí)行同一活動(dòng)而縮短,這種現(xiàn)象被稱(chēng)為學(xué)習(xí)效應(yīng)[13].耦合集中的所有設(shè)計(jì)活動(dòng)在迭代返工過(guò)程中都是一個(gè)自我學(xué)習(xí)的過(guò)程,即在每次的迭代過(guò)程中,資源的設(shè)計(jì)效率不斷提高,本文引入如下學(xué)習(xí)曲線(xiàn)函數(shù)[14]來(lái)表示學(xué)習(xí)效應(yīng):

3 并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型的改進(jìn)

狀態(tài)空間法是建立在狀態(tài)變量描述基礎(chǔ)上的對(duì)控制系統(tǒng)分析和綜合的方法.在狀態(tài)空間方法中,用狀態(tài)變量和狀態(tài)方程可以完全地描述一個(gè)系統(tǒng),其狀態(tài)方程可以用微分方程表示為:

式中:k為n維列向量；σ為(m×1)維向量；z為(n×1)維向量；B為(p×p)系統(tǒng)矩陣；F為(p×m)輸入控制矩陣；G為(n×p)輸出矩陣；H為(n×m)前饋矩陣.由于B,F,G,H矩陣完整地表現(xiàn)了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,所以可以把一個(gè)確定的系統(tǒng)用系統(tǒng)圖描述出來(lái),如圖2所示.

圖2 狀態(tài)空間方程式系統(tǒng)描述圖

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量用工作向量vn進(jìn)行刻畫(huà),其含義表示在第n次迭代后每個(gè)任務(wù)的工作量,其中n≥0,n∈N+.為方便計(jì)算,取輸入系統(tǒng)的擾動(dòng)狀態(tài)為零,根據(jù)式(8),即σ為零向量,表示系統(tǒng)不受外界干擾,系統(tǒng)的迭代過(guò)程完全由自身決定,且每次迭代設(shè)計(jì)過(guò)程在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生,則根據(jù)式(8),每次產(chǎn)生的工作量與初始工作量的關(guān)系為:

對(duì)比式(16)與式(1)可知,采用WTM 來(lái)描述設(shè)計(jì)任務(wù)的迭代過(guò)程是一種離散化的描述方法,這種方法是在用狀態(tài)空間法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行求解的基礎(chǔ)上,將結(jié)果中的二次項(xiàng)和高次項(xiàng)忽略掉后得到的一種描述方法,是一種被簡(jiǎn)化后的描述方法,與設(shè)計(jì)任務(wù)真實(shí)的迭代過(guò)程不相符.

由于耦合設(shè)計(jì)任務(wù)的迭代過(guò)程是一個(gè)趨于正無(wú)窮的過(guò)程,迭代的整個(gè)過(guò)程可以看成是信息有效性的積累過(guò)程,在實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)當(dāng)中,當(dāng)信息的有效性積累到一定程度,就可以認(rèn)為其設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)不會(huì)影響到產(chǎn)品的性能了,不需要再繼續(xù)進(jìn)行迭代求解.對(duì)全并行迭代模型,可以采用如下兩種方式中的一個(gè)來(lái)作為迭代終止的判斷條件:①當(dāng)?shù)趎次的工作量與初始工作量的比值小于等于某一給定閾值ε時(shí),迭代停止；②第n次迭代前后,任務(wù)累計(jì)工作時(shí)間的變更小于等于某一給定的閾值ε時(shí),迭代停止.

本研究取第一種情況作為迭代的終止條件,即:

式中:ε為預(yù)先設(shè)定的閾值,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),通常取0.01.

根據(jù)本文第1、2節(jié)原理方法可推導(dǎo)出在狀態(tài)空間法下完成整個(gè)耦合集所需要的工期C為:

4 并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型的求解

根據(jù)式(11)可知,如果矩陣B＝[R—E]的行列式的值不為0,即矩陣B是可逆矩陣,則矩陣B可以表示為:

式中:Λ是由矩陣B的特征值為元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣；S是由矩陣B的各個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量所構(gòu)成的變換矩陣.

式(19)可以改寫(xiě)為:

根據(jù)文獻(xiàn)[8],系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以用狀態(tài)方程中系統(tǒng)矩陣的特征值和特征向量來(lái)衡量.在并行設(shè)計(jì)迭代中,若工作轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值λmax＞1,則剩余工作量將隨著時(shí)間的推移而增加,即整個(gè)設(shè)計(jì)項(xiàng)目的運(yùn)行失去控制,隨著迭代次數(shù)的增加,任務(wù)將變得更加繁重；若工作轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值λmax＝1,則剩余工作量不隨時(shí)間的推移而增加,隨著迭代次數(shù)的增加,剩余工作量是恒定的；若工作轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值λmax＜1,則剩余工作量將隨著時(shí)間的推移而減少,直到整個(gè)設(shè)計(jì)收斂完成.由此可見(jiàn),工作轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值λmax＜1,是所期望的.

運(yùn)用數(shù)學(xué)帶入法對(duì)并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)迭代模型進(jìn)行求解時(shí),計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且計(jì)算量過(guò)于龐大,有時(shí)可能因?yàn)槟骋淮蔚霈F(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤,從而導(dǎo)致后續(xù)的計(jì)算都出錯(cuò),因此采用Matlab仿真優(yōu)化方法來(lái)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)計(jì)算,具體實(shí)施步驟如圖3所示.根據(jù)圖3,編寫(xiě)Matlab仿真優(yōu)化代碼.

圖3 Matlab仿真步驟圖

5 實(shí)例分析

以某空氣進(jìn)化器開(kāi)發(fā)過(guò)程為例,說(shuō)明本文建立的工期模型在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用.根據(jù)文獻(xiàn)[15],該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)過(guò)程包括概念設(shè)計(jì)(任務(wù)Q1)、風(fēng)扇設(shè)計(jì)(任務(wù)Q2)、空氣過(guò)濾器設(shè)計(jì)(任務(wù)Q3)、水箱設(shè)計(jì)(任務(wù)Q4)、智能監(jiān)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)(任務(wù)Q5)、主體設(shè)計(jì)(任務(wù)Q6)、負(fù)離子發(fā)生器設(shè)計(jì)(任務(wù)Q7)和電路設(shè)計(jì)(任務(wù)Q8)等8個(gè)任務(wù),其中任務(wù)Q2、Q3、Q4、Q5及Q6等5個(gè)任務(wù)構(gòu)成帶循環(huán)信息流的耦合集.空氣進(jìn)化器產(chǎn)品開(kāi)發(fā)過(guò)程耦合信息如圖4所示.

圖4 設(shè)計(jì)任務(wù)耦合信息圖

根據(jù)任務(wù)工期矩陣C、返工量矩陣R的定義,結(jié)合圖4,可得到空氣進(jìn)化器開(kāi)發(fā)過(guò)程中設(shè)計(jì)任務(wù)的任務(wù)工期矩陣C和返工量矩陣R分別為:

在設(shè)計(jì)任務(wù)迭代開(kāi)始階段,設(shè)初始工作向量v0＝[1 1 1 1]T,代表每個(gè)任務(wù)在迭代的初始階段都單獨(dú)執(zhí)行一次,由式(8)可知,在本實(shí)例中,整個(gè)設(shè)計(jì)活動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量由工作向量v描述,因此系統(tǒng)矩陣B可以用返工量矩陣R和單位矩陣E的差值表示,即:

通過(guò)矩陣論相關(guān)知識(shí)求得系統(tǒng)矩陣B的特征值矩陣Λ與特征向量矩陣S,將Λ與S帶式(22),并用Matlab對(duì)式(1)和式(12)所建立的設(shè)計(jì)任務(wù)之間的迭代關(guān)系進(jìn)行仿真,得到每個(gè)任務(wù)在不同工期模型下的剩余工作量迭代過(guò)程圖,如圖5～6所示.

圖5 WTM 下并行設(shè)計(jì)任務(wù)剩余工作量迭代圖

由圖5可知,采用WTM 對(duì)設(shè)計(jì)任務(wù)的迭代過(guò)程進(jìn)行分析時(shí),設(shè)計(jì)任務(wù)需要經(jīng)過(guò)20次迭代才能達(dá)到收斂條件.而在不同設(shè)計(jì)任務(wù)的收斂過(guò)程中,總存在一些點(diǎn)游離于收斂趨勢(shì)之外,這種現(xiàn)象反映了WTM描述方法的離散性特征,此特征掩蓋了設(shè)計(jì)任務(wù)真實(shí)的迭代過(guò)程,使得設(shè)計(jì)任務(wù)過(guò)早地收斂.

由圖6可知,設(shè)計(jì)任務(wù)剩余工作量的收斂趨勢(shì)是平穩(wěn)的,不存在游離于收斂趨勢(shì)之外的點(diǎn).這說(shuō)明本文運(yùn)用狀態(tài)空間法對(duì)設(shè)計(jì)任務(wù)迭代過(guò)程進(jìn)行分析,解決了WTM 描述方法存在的離散性問(wèn)題,同時(shí)也反映出了設(shè)計(jì)任務(wù)在真實(shí)的迭代過(guò)程中是一個(gè)連續(xù)性的迭代過(guò)程.在整個(gè)迭代過(guò)程中設(shè)計(jì)任務(wù)需要更多的迭代次數(shù)才能使得自身收斂.本實(shí)例中,設(shè)計(jì)任務(wù)需要經(jīng)過(guò)22次迭代才能使設(shè)計(jì)任務(wù)收斂.基于以上分析,本文建立的基于狀態(tài)空間法的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型是一種能反映設(shè)計(jì)任務(wù)真實(shí)迭代情況的工期模型,是一種更好的工期模型.

圖6 狀態(tài)空間法下設(shè)計(jì)任務(wù)剩余工作量迭代圖

考慮設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)活動(dòng)中所產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng),運(yùn)用Matlab對(duì)此實(shí)例按照?qǐng)D3所示的仿真流程進(jìn)行仿真,得到在基于狀態(tài)空間法的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型下并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)不同學(xué)習(xí)效率下迭代次數(shù)與耗時(shí)量關(guān)系,如圖7所示.

圖7 不同學(xué)習(xí)效率下迭代次數(shù)與耗時(shí)量關(guān)系圖

由圖7可知,在機(jī)械產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)過(guò)程中,當(dāng)設(shè)計(jì)任務(wù)采用并行執(zhí)行模式進(jìn)行設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí),設(shè)計(jì)小組在設(shè)計(jì)活動(dòng)中自發(fā)產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng)使得設(shè)計(jì)任務(wù)在每一次迭代返工中的工作時(shí)間都得到了有效減少.

根據(jù)式(18),得到不同學(xué)習(xí)效率下空氣進(jìn)化器開(kāi)發(fā)過(guò)程總工期.當(dāng)c＝0時(shí),即設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)活動(dòng)中不存在學(xué)習(xí)效應(yīng)時(shí),空氣進(jìn)化器所需的工期為36.207 3個(gè)時(shí)間單位；若考慮設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)活動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng),當(dāng)學(xué)習(xí)效率c＝0.2時(shí),空氣進(jìn)化器所需的工期為21.0520個(gè)時(shí)間單位.在學(xué)習(xí)效應(yīng)的影響下,空氣進(jìn)化器的整個(gè)工期減少了41.8%,這說(shuō)明設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)活動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng)能有效縮短產(chǎn)品的整個(gè)工期.在實(shí)際情況下,設(shè)計(jì)人員產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng)不應(yīng)該被忽視,而應(yīng)該被作為重要的影響因素被納入到產(chǎn)品的設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)中.

6 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)引入狀態(tài)空間法,對(duì)并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期模型進(jìn)行了改進(jìn),解決了原工期模型中存在的離散性問(wèn)題；在此基礎(chǔ)之上,考慮到設(shè)計(jì)人員在多次設(shè)計(jì)活動(dòng)中會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)效應(yīng),進(jìn)而提出了學(xué)習(xí)效率矩陣,建立了基于狀態(tài)空間法并考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)工期優(yōu)化模型.以某空氣進(jìn)化器的開(kāi)發(fā)過(guò)程為實(shí)例,運(yùn)用Matlab對(duì)優(yōu)化模型就行求解,得到了設(shè)計(jì)任務(wù)小組在不同學(xué)習(xí)效率影響下完成耦合集設(shè)計(jì)任務(wù)開(kāi)發(fā)的總時(shí)間.結(jié)果表明,本文所建立的優(yōu)化模型更為接近實(shí)際生產(chǎn)狀況,所得到的計(jì)算結(jié)果更可靠,可以為項(xiàng)目開(kāi)發(fā)時(shí)間的控制和管理提供一種有效的指導(dǎo)和幫助。