例談一題多解培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

盧襯云

摘 ?要：本文就一道幾何題的多種解法進(jìn)行探究，在同樣條件下運(yùn)用不同的知識，設(shè)計出不同的解法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

關(guān)鍵詞：一題多解;探究;創(chuàng)新思維

解題方法是一個利用已有的知識和經(jīng)驗將末知問題已知化，即按照熟悉化原則進(jìn)行探究，從而作出解答的過程。一題多解能使學(xué)生善于抓住問題的廣泛范圍，多側(cè)面、多角度考慮問題，在同樣條件下運(yùn)用不同的知識，設(shè)計出不同的解法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

創(chuàng)新是有層次的。對中學(xué)生來說，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)或獲取新知識、新方法、新思路、新見解、新組合、新用法等，都是一種創(chuàng)新。因此，我們可以通過教育來培養(yǎng)和發(fā)展的。下面就一道幾何題的多種解法進(jìn)行探究，為學(xué)生開拓探究的空間和廣闊的舞臺，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

一、新思路、新見解——點(diǎn)燃學(xué)生的創(chuàng)新意識

例：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn)。求證：CE⊥BE.

解法一：利用勾股定理和勾股定理逆定理

證明：如圖（1），過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四邊形AFCD是矩形

∴AD=CF， ?BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2 ?2 ? ? ?∴ AD=CF=2 ?2

∵ E是AD中點(diǎn)

∴ DE=AE= ? ? AD= ?2

在Rt△ABE和 Rt△DEC中

EB2=AE2+AB2=6

EC2= DE2+CD2=3

EB2+ EC2=9=BC2

∴ ∠CEB=90°∴ EB⊥EC

解法二：利用梯形的中位線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理

證明： 如圖（2），在BC上找中點(diǎn)F，連結(jié)EF

∵ 在梯形ABCD中，E、F分別是DA、CB的中點(diǎn)

∴EF= ? （DC+AB）= ? （1+2）=1.5

∵F是CB的中點(diǎn) ? ∴CF=FB= ? ? ?CB=1.5

∴EF=CF=FB∴∠CEF=∠ECF，∠FEB=∠CBE

∵∠CEF+∠ECF+∠FEB+∠CBE=180°

∴2∠CEF+2∠FEB=180°

∴∠CEF+∠FEB=90°∴ EB⊥EC

或：過點(diǎn)E作EF∥DC，交CB于點(diǎn)F， 利用平行線分線段成比例定理證點(diǎn)F是CB的中點(diǎn)（證法略）

二、新知識、新方法——激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能

例：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn). 求證：CE⊥BE.

解法三：利用割補(bǔ)法或旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造等腰三角形

證明： 如圖（3），延長CE、BA交點(diǎn)F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠EAF=90°， ∠DCE=∠F

∵ E是AD中點(diǎn)∴ DE=AE= ? ? ?AD

∴△CDE≌△FAE∴AF=DC=1，F(xiàn)E=EC

∴BF=BA+AF=3

在△CBF中，BC=BF=3，F(xiàn)E=EC∴EB⊥EC

或： 將△CDE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°與△FAE重合，得到△CDE≌△FAE（證法略）

三、新組合、新用法——培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

例：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn). 求證：CE⊥BE.

解法四：利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)

證明： 如圖（4），過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四邊形AFCD是矩形

∴AD=CF， ?BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，

CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2 ?2

∴ AD=CF=2 ?2

∵ E是AD中點(diǎn) ? ∴ DE=AE= ? ?AD= ?2

∵ ? ? ? = ? ? ? ?= ? ? ? ? ， ? ? ? =

∴ ? ? ? =

∵∠D=∠A=90°

∴△CDE∽△EAB

∴∠DEC=∠EBA

∵∠EBA+∠AEB=90°

∴∠DEC+∠AEB=90°

∴∠CEB=180°- 90°=90°

∴EB⊥EC

解法五：利用勾股定理和銳角三角函數(shù)

證明： 如圖（5），過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四邊形AFCD是矩形

∴AD=CF， ?BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2 ?2

∴ AD=CF=2 ?2

∵ E是AD中點(diǎn)

∴ DE=AE= ? ? AD= ?2

在Rt△DCE中，

tan∠CED= ? ? ? ? = ? ? ? =

在Rt△DCE中，tan∠DCE= ? ? ? ? =

∴∠CED=∠EBA

∵∠EBA+∠AEB=90°

∴∠CED+∠AEB=90°

∴∠CEB=180°- 90°=90°

∴EB⊥EC

通過對一道幾何題的多種解法進(jìn)行探究，使學(xué)生學(xué)到的不僅是一道題的解法，而是學(xué)習(xí)了一類問題的思維方法和解決問題的知識，有益于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性及分析問題解決問題的能力，從而拓寬了學(xué)生的思維領(lǐng)域。

笛卡說過“數(shù)學(xué)是使人變聰明的一門學(xué)科”。在這方面，蘇霍姆林斯基在總結(jié)一生的工作時說：“我在學(xué)校工作了近35年，直到20年前我才明白，在課堂上要做的兩件事：其一要教給學(xué)生一定的知識;其二要使學(xué)生變得聰明”。說明了學(xué)生的學(xué)習(xí)目的在于學(xué)會怎樣科學(xué)地思維，掌握科學(xué)思維方法。因此，在教學(xué)上我們要注重發(fā)揮習(xí)題的功能，讓學(xué)生在解題過程中，捕捉有用的信息進(jìn)行思考，尋覓舊有原題的解題方法，再探求新問題的解法，形成解決問題的新方法，最大限度地開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。同時，作為教師要及時給予肯定鼓勵，使學(xué)生感到學(xué)無止境，不斷向高處攀登。這正是陶行知先生早就盼望的：處處是創(chuàng)造之地，天天是創(chuàng)造之時，人人是創(chuàng)造之人。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王培德 .數(shù)學(xué)思想應(yīng)用及探究—建構(gòu)建構(gòu)教學(xué)[M]. 人民教育出版社，2008，8

[2] 黃為.讓數(shù)學(xué)課堂充滿生命的活力—談數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010，4.

（作者單位：東莞市萬江區(qū)萬江第二中學(xué)，廣東 ?東莞 ?523049）