基于水平集算法的污水中微生物圖像分割研究

苗加慶，常 蘭，李高平，曾 莉，劉曉光

(1.西南民族大學數學學院，四川 成都 610041；2.成都理工大學工程技術學院科研處，四川 樂山 610225)

近年來，隨著人們生活水平的提高以及對水的需求量的增大，也促使污水處理技術的飛速發(fā)展，而污水處理的主要工藝之一就是活性污泥法工藝，其主要依據是污水中的有機污染物不斷地被微生物吸附、分解，從而達到凈化污水的目的，而這其中起著決定性的作用的就是微生物的情況，在處理過程中直接影響污水消化的效率的因素就是微生物的數量、種類，而本文的目的主要就是找出一種最佳的方法來實時了解、控制污泥中微生物的數量、種類及其生長階段的情況.隨著數字圖像處理技術的飛速發(fā)展，其應用領域的許多研究成果也得以開發(fā).論文主要采用水平集方法設計并實現了在活性污泥法中微生物圖像的分割.比如在活性污泥凈化系統中，通過水平集方法[1]分割出各時段的污泥中微生物圖像，然后可以通過各階段的微生物的數量、種類以及形態(tài)等來了解系統的處理性能.近幾年研究者們在幾何主動輪廓模型分割細菌圖像投入了大量的研究工作，目前的主動輪廓模型可以大概根據其執(zhí)行方法和表示方法的不同分為幾何主動輪廓模型[2]和參數主動輪廓模型[3].特別的在拉格朗日構架中參數主動輪廓模型可以明確的表示為參數曲線.而在歐拉構架中幾何主動輪廓模型則表示為二維方程的水平集[4].這些模型都是以水平集方法和曲線演化理論為基礎的[1-2]，其主要思想就是采用確定的高維度方程的零水平集來表示曲線，通常稱之為水平集方程，然后在偏微分方程(PDE)的基礎上來演化這個水平集方程[4].主動輪廓模型具有許多優(yōu)點，首先在演化中采用水平集方程表示的曲線可能會自然地合并或者中斷[5]，以至于能夠自動處理細菌圖像拓撲結構的變化，而且水平集方程總是保持在一個固定的網格上，這樣就可以使數值化方案更高效.論文針對活性污泥中常見的幾種微生物，包括線蟲、草履蟲、累枝蟲、輪蟲和鐘蟲等微生物進行有效識別，如:在生的緣毛目多的情況下，說明污水處理效果良好，出水濁度和BOD5值低.如出現主要有柄纖毛蟲，如蓋蟲、鐘蟲、輪蟲、累枝蟲、寡毛類時，則出水清澈透明，水質澄清良好.

1 活動輪廓模型的前期工作

1.1 CV模型簡介

首先在Ω范圍內定義一個演化曲線C，以其作為Ω的一個開子集ω的邊界(也就是說ω?Ω且C＝?ω)，在 下 文 中，inside(C)表 示 區(qū) 域ω，outside(C)表示區(qū)域

該方法是基于圖像能量分割的最小化方法，以一個簡單的例子來說明模型的基本思想[6]，假設圖像μ0是由值為的兩個近似分段常數強度的區(qū)域構成，進一步假設待檢測的目標是由值區(qū)域表示，C0表示目標邊界，則我們可以得到目標內部區(qū)域外部區(qū)域考慮如下“擬合”項:

其中C為其它任何變量曲線，且常數c1，c2的值取決于曲線C，兩個常數相應的是μ0的insideC和outsideC的均值，在這個簡單的例子中， 顯然目標邊界C0是擬合項的最小值.

這個是顯而易見的，例如，如果曲線C是在目標的外部，那么就有F1(C)＞0且F2(C)≈0，而如果曲線C在目標的內部，那么就有F1(C)≈0而F2(C)＞0，如果曲線一部分在曲線內部一部分在外部，那么就是F1(C)＞0且F2(C)＞0，最終如果C＝C0那么擬合項就被最小化了，即曲線C恰好在目標的邊界上.

能夠注意到算法的關鍵不在于方程φ中采用的基于時間的PDE[7]，這與最小化問題得到的穩(wěn)定性問題一樣，可以由有限差分方法進行數值求解[8].

1.2 實驗結果

將該模型應用于各種不同輪廓和形狀的真實細菌圖像，并得到了數值實驗結果.同時給出了原始圖像μ0的主動輪廓演化及其分段常數的近似值(就是c1和c2取平均).同時為了能夠自動檢測細菌圖像的內部輪廓以及確保全局最小值的求解，采用Heaviside和Dirac delta方程(在ε＝h＝1條件下)的近似形式H2，ε和δ2，ε.其中只有其長度參數μ具有縮放功能.如果需要檢測盡可能多的任何尺寸的邊界，那么μ就應該取一個小值.如果需要檢測大的目標(例如成塊的目標)，那么此時μ就應該取一個較大的值.在實驗中每次都會給出μ的確切的值以及初始水平集方程φ0.

在圖1中，給出了C-V模型是如何分割帶有不同形狀和輪廓的細菌圖像，而且其輪廓和形狀都是自動檢測的，不需要考慮第二個初始曲線.由于模型中采用了水平集，所以可以允許其自動改變圖像的拓撲結構.并且該模型同樣顯示出模型可以成功檢測不同強度且邊界模糊的不同目標.同樣圖像的環(huán)面的內部輪廓是可以自動檢測的，這都是因為其演化速度具有全局依賴性，同時曲線是自動向目標靠攏的.

圖1 CV模型分割結果Fig.1 Segmentation results of CV model

但是該模型依然存在許多的局限性，對于噪聲較高的圖像分割效果不太理想，而且分割結果存在較多的誤分割的情況，而且有些細菌圖像分割不完善，存在分割不足的情況.

1.3 實驗結果分析

在本節(jié)介紹了基于Mumford-shah分割[11]技術以及水平集方法的主動輪廓模型.模型不依靠邊緣方程來終止演化曲線目標邊界.同樣也不需要平滑初始圖像，即使是對于帶有強烈噪聲的圖像，這樣圖像邊界的位置也是非常容易檢測和保存的.通過該模型，可以檢測出由圖像梯度信息定義的邊界的目標或者是邊界非常平滑的目標，而這些都是傳統的主動輪廓模型檢測不出來的.

2 無需重新初始化的水平集演化

2.1 無需重新初始化模型介紹(LBF模型)

對于幾何主動輪廓的一個變分公式，使得水平集方程的演化過程接近于一個符號距離函數，這樣可以完全省去耗時的重新初始化步驟.這個變分公式包含一個內部能量項，其處罰了從符號距離方程接近水平集方程的偏差，還包含一個促使零水平集向目標圖像特征運動的外部能量項.水平集方程的演化結果是呈梯度流的，結果使所有的能量方程最小化.本節(jié)的變分水平集方程相較于傳統的水平集方程主要有三個優(yōu)點.首先，其時間步長可用于解決偏微分方程，由此加速了曲線的演化[9].然后，水平集方程可由一般方程初始化，這樣比采用符號距離方程創(chuàng)建更加高效而且實際運用更加簡便.最后通過方程中的水平集演化可以由有限差分執(zhí)行，而且其計算也更加高效.這個變分公式已經在醫(yī)學圖像和細菌圖像應用中取得的不錯的結果.尤其是在弱邊界細菌圖像上的應用.

在圖像分割中，主動輪廓是向目標邊界移動的動態(tài)曲線.為了達到這個目標，本文精確的定義了外部能量，其可以使零水平曲線移向圖像的目標邊界[10].令I為一幅圖像，同時g為邊緣指數方程定義如下:

其中Gσ為標準偏差為σ的高斯核，定義方程φ(x，y)的外部能量如下:

其中λ＞0且v為常數，同時Lg(φ)項和Ag(φ)定義如下:

和

相對的，其中δ為一元脈沖函數，H為海維塞函數.定義總的能量方程如下:

外部能量εg，λ，ν促使零水平集移向圖像目標邊界[12]，而內部能量項μP(φ)用于處罰演化中函數φ距符號距離方程的偏差.

為了使Lg(φ)量的幾何意義更易理解，我們假設函數φ的零水平集可以由一個可微參數曲線C(P)來表示，其中P∈[0，1]，不難知道Lg(φ)能量方程計算函數φ的零水平集曲線的長度.(5)式中介紹的Ag(φ)能量方程是用于加速曲線演化.需要注意的是，當方程g為常數1時，(5)式中的能量函數應用于區(qū)域公式(5)中的能量泛函Ag(φ)可以視為的加權面積.能量泛函Ag的系數ν可為正也可為負，其主要取決于初始曲線與目標的相對距離.如果初始曲線在目標外面，系數ν在加權面積項中就應為取正值，這樣輪廓就能快速縮小.如果初始曲線在目標的內部，系數ν就應取負值來加速輪廓擴張.通過變分法，函數ε的導數可以寫為:

其中Δ為拉普拉斯算子，因此最小化了這個泛函數的方程φ就滿足歐拉-拉格朗日等式?ε/?φ＝0.函數ε最小化的最速下降過程為如下梯度流[14]:

這個梯度流是該方法中水平集方程的演化方程.

在(6)式中的左邊第二和第三項相當于對應能量泛函λLg(φ)和νAg(φ)的梯度流，其主要用于促使零水平曲線移向目標邊界.而(7)式中的第一項與內部能量μP(φ)相關，其梯度流為中的為擴散率，如果則擴散率為正值且其影響為常規(guī)擴散，也就是說使函數φ

2.2 實驗結果

變分水平集方法已經以不同的形式應用于各種真實細菌圖像的分割問題，本節(jié)給出了所有的細菌圖像分割實驗結果.

圖2給出了五幅細菌圖像輪廓的演化結果，可以看到有些圖像的兩個細胞的部分邊界是比較模糊的.用這幾幅圖像說明了該方法對弱邊界圖像分割仍具有很強的魯棒性，從圖2中可以看出，這個初始水平集的直線成功地演化為了目標邊界，并且其形狀也修復的很好.這個結果說明我們的方法對于提取圖像弱邊界具有良好的性能，而這也正是傳統方法不能實現的.

圖2 各種細菌的LBF水平集分割結果Fig.2 Segmentation results of the LBF level-set for various bacteria

但是該方法仍然存在容易被不相干信息干擾的缺點，這樣就會出現誤分割或分割不精確的現象發(fā)生，該算法對于初始水平集輪廓要求較高，不同的初始水平集分割結果相差較大，同時由于分割時對于分割區(qū)域的內部誤分割情況較嚴重，因此需要進一步修正該算法.

2.3 實驗結果分析

在本節(jié)中，提出了一種可以完全省略重新初始化步驟的變分水平集方程，相較于傳統水平集方程，它可以通過簡單的有限差分來進行分割且計算非常高效.采用了較大的時間步長來加速曲線的演化同時保持穩(wěn)定，而且水平集方程不需要初始化為符號距離方程.這樣不僅使計算比符號距離方程的計算更加高效，而且使其運用也更加靈活.該算法在細菌圖像上的分割結果，尤其是在弱邊界和強噪聲圖像分割中結果顯示出較強的魯棒性.

3 基于局部正弦擬合水平集圖像分割

在本節(jié)中，采用正弦函數來表示傳統主動輪廓模型的數據擬合量，并提出了一種適用于分割細菌圖像的局部正弦擬合量主動輪廓模型.此外在模型中還引入了水平集正則項來避免由于演化水平集函數重新初始化引起的大量計算.實驗結果表明當模型應用于分割不同類型的細菌圖像時，其分割結果是精確且高效的.相較于Chan-Vese模型和局部擬合模型，本節(jié)的模型對于分割含有噪聲的細菌圖像是更加高效穩(wěn)定.

3.1 介紹

在本節(jié)中，所有模型均采用正弦函數來表示圖像的數據擬合量[15].受到LBF模型的啟發(fā)，首先對局部擬合量做了一個簡單的介紹，同時提出一個可以較好分割細菌圖像的模型.然后將局部圖像信息應用到模型中，從而可以分割出更多灰度不均勻的細菌圖像.實驗結果表明，該模型對不同類型的圖像都可以達到較好的分割效果.而相比于C-V模型和LBF模型[9]，本節(jié)的模型分割結果更加精確高效.

3.2 擬建模型

在本節(jié)中，我們首先采用傳統模型中廣泛采用的正弦函數來表示數據擬合量，然后利用局部正弦擬合模型(LCF)進行細菌圖像分割.

實際上，在真實圖像中廣泛存在灰度不均勻的問題，比如某些細菌圖像.在本節(jié)中，局部圖像信息和正弦擬合量結合起來，提出一個精確分割灰度不均勻的原始圖像的LCF模型.令C為分隔圖像區(qū)域Ω為兩個區(qū)域的閉合曲線，其中兩個區(qū)域分別為:Ω1表示(C)的外部區(qū)域、Ω2表示(C)的內部區(qū)域.對于一個已知點x∈Ω，定義局部擬合量如下[6]:

其中λ1和λ2為兩個固定正常數，而Kσ為標準偏差為σ的高斯核函數.圖像局部區(qū)域中心在定點X的灰度可以近似為內外區(qū)相應的兩個值f1和f2，每個定點局部區(qū)域的大小可以由參數σ控制.

我們用水平集方程φ來表示曲線C，其中包含了水平集方程的正則項.則能量方程可以表示如下:

其中M1＝H(φ)且M2＝1-H(φ)，其中海瑟維方程H和δ-Dirac方程定義如下:

和

為了在迭代過程中保持精確的計算結果和穩(wěn)定的水平集估算[17]，引入一個水平集正則項，其符合如下能量方程:

結合(10)式的能量方程和(13)式的正則項，則可以得到完整的能量方程如下:

在實際應用當中，海瑟維方程和δ-Dirac方程可由相應的平滑方程Hε和δε近似得到，在本文中定義如下:

和

在實際計算當中，我們采用(15)式中的Hε來代替H.然后采用標準梯度下降法來最小化上述能量方程.一方面，固定φ不變，相對方程f1(x)和f2(x)來最小化能量方程[18]，則可以得到:

其中δε由(16)式中的給出[19]，且e1和e2定義如下:

在(18)式中的水平演化中，第一項由局部正弦擬合量得到，其在分割灰度不均勻圖像中占主導作用.后兩項是正則項，相應的是用來保持輪廓和水平集方程的規(guī)律性.

3.3 實驗及擬建模型分析

相比于C-V模型，當分割圖像是無噪聲分段常數時，結果是合理的.然而在大多數情況下處理的細菌圖像或多或少都會受到噪聲的影響.相似的，因為LBF模型可以視為C-V模型在圖像所有以每個像素為中心的局部區(qū)域的應用，想要得到更加接近局部區(qū)域相應模式的fi，所以fi由方程(17)中計算得到，這也使得LCF模型對圖像噪聲更具魯棒性.

對于在不同類型的細菌圖像上測試了該模型.

圖3顯示了LCF模型的應用結果.帶有噪聲和灰度不均勻的細菌圖像也能夠擁有較精確的分割效果，其中第一行是圖像的初始輪廓，第二行是LCF模型的分割結果.但是觀察發(fā)現LCF模型每單次迭代所花的時間更多，但是它可以用更少的迭代次數分割細菌圖像.

圖3 各種細菌的LCF水平集分割結果Fig.3 Segmentation results of the LCF level-set for various bacteria

3.4 實驗結果分析

在本節(jié)中，采用了正弦方程來表示傳統主動輪廓模型中的擬合量.然后在基于水平集分割方法的基礎上，應用于細菌圖像局部信息的LCF分割模型.為了分割灰度不均勻的細菌圖像，本節(jié)的模型達到了比二次擬合量更佳的圖像處理效果，其相比傳統的局部擬合量更佳溫和且穩(wěn)定，細菌圖像上的應用結果表明該模型分割結果更加高效精確.而且與CV模型和LBF模型相比，該模型更具魯棒性，在復雜的細菌圖像的處理中計算更加高效.

4 總結

本文討論了細菌圖像分割研究在污水處理鄰域的意義，以及國內外細菌圖像分割識別的基本研究方面，學者們提出的方法，以及對主要學術著作做了詳細的說明，并提出本文的方法同時對細菌圖像的分割實驗和分析進行了討論.

1)本文概括了當前各種細菌圖像分割存在的不足，研究采用無邊界主動輪廓模型分割污泥喜劇圖像，并在前人基礎上提出了其改進方法，在細菌圖像上進行實驗，結果表明該算法對圖像噪聲敏感，且處理效果不是很好.

2)對無需重新初始化的水平集演化算法的細菌圖像分割進行了實現同時改進了算法，對幾種典型的細菌圖像分割算法進行了比較，實驗結果表明其比無邊界主動輪廓模型的分割效果更好.

3)最后采用基于正弦能量擬合的方法，實驗結果表明該方法能夠精確的分割各種細菌圖像，通過對三個分割方法的實驗結果的對比分析，最終得出結論—區(qū)域正弦擬合量細菌圖像分割方法的分割效果是最佳的，具有較好的魯棒性.