費(fèi)馬原理于球面界面成像的應(yīng)用
——點(diǎn)光源在主軸上

趙思浩

蘇州科技大學(xué)，江蘇 蘇州 215009

0 引言

費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)的一個(gè)基本原理。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表達(dá)為

式中：δ為變分符號(hào)；A、B為空間中兩個(gè)固定點(diǎn)；n為介質(zhì)折射率；s為光實(shí)際傳播的路程。

文章所研究的均為理想情況，即光在同種均勻、各向同性的介質(zhì)中傳播，因此折射率n為定值。本著從特殊到一般的思想，并著重于研究點(diǎn)光源在主軸上的特殊情況，通過(guò)費(fèi)馬原理直接推導(dǎo)出球面與薄透鏡模型下的光線方程與物象公式[1]。

1 球面界面的理想狀態(tài)下成像

1.1 凸球面反射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

在凸球面情況下，射入的光線是發(fā)散的，如圖1所示。其中D代表點(diǎn)光源，O為頂點(diǎn)，B代表凸透鏡球心并設(shè)即為透鏡的曲率半徑。a、b、b′、θ、r均大于零，且所有符號(hào)遵循新笛卡爾坐標(biāo)系的要求。AH⊥BD，H為垂足，從圖1的幾何關(guān)系可得：

圖1 凸球面反射模型

則光線DAD′的光程如下：

根據(jù)費(fèi)馬原理[2-3]，將式（3）對(duì)θ求導(dǎo)，并令其等于零，有

將式（4）化簡(jiǎn)、整理，可得：

式（5）為主軸上凸球面反射模型中的光線方程。近軸條件下的物象公式只需要取一個(gè)極限，即令角θ趨于零，則：

將式（6）代入式（5），可得物象公式：

1.2 凸球面折射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

凸球面折射模型如圖2所示。

圖2 凸球面折射模型

在該模型中，D為點(diǎn)光源，令，則：

則其光程如下：

根據(jù)費(fèi)馬原理，基于式（9）對(duì)θ求導(dǎo)，求導(dǎo)后令其等于零，可得：

式（12）即凸球面折射模型中的光線方程。要得到物象公式只需再令式（9）中的θ趨于零，即，代入式（11），則有

式（13）即為凸球面折射模型中的物象公式。

1.3 凹球面反射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

在凹球面模型中，采取的研究方法與凸球面一樣，如圖3所示。

圖3 凹球面反射模型

D為點(diǎn)光源，物方折射率為n，DA為入射光線，AD為出射光線，O為球心，作AA與OD垂直，∠AD′O為θ，O′A為球面半徑，記為-r。并令A(yù)D＝b，AD′＝b′，DO＝-a，D′O＝-a′，則

可得：

式（15）即凹球面模型下的光線方程。要得到物象公式，只需要在式（14）中令θ→0，即b→-a，b′→-a′，則有

式（16）即為物象公式。

1.4 凹球面折射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

凹球面折射模型如圖4所示。

圖4 凹球面折射模型

則光程為

代入式（17）后，對(duì)θ求導(dǎo)，令其為零，可得：

2 結(jié)束語(yǔ)

費(fèi)馬原理之于幾何光學(xué)的地位，類似牛頓三定律之于牛頓力學(xué)一樣。文章研究表明，用費(fèi)馬原理推導(dǎo)一些簡(jiǎn)單模型的光線方程與物象公式具有數(shù)學(xué)一致性。