深度教學(xué)：讓空間觀念的發(fā)展落到實(shí)處
——《圓柱的認(rèn)識(shí)》教材解讀與教學(xué)建議

○蔣姆妹 吳建玲

《圓柱的認(rèn)識(shí)》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓和長(zhǎng)方體、正方體的認(rèn)識(shí)及圓柱的初步感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，同時(shí)也為后續(xù)立體圖形相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)作了很好的鋪墊，起著承上啟下的作用。學(xué)生雖然在五年級(jí)上冊(cè)已認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體和正方體，但它們都是由平面圍成的立體圖形，而圓柱有一個(gè)面是曲面，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的飛躍。因此，《圓柱的認(rèn)識(shí)》是本單元的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。

實(shí)施有深度的教與學(xué)，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑。在《圓柱的認(rèn)識(shí)》一課中，筆者結(jié)合多版本教材，重構(gòu)教學(xué)文本，力求以深度教學(xué)引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓空間觀念的發(fā)展落到實(shí)處，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、多版本教材對(duì)比分析

人教版教材《圓柱與圓錐》單元是圍繞“圓柱”“圓錐”兩條主線展開(kāi)教學(xué)的，先學(xué)習(xí)圓柱的認(rèn)識(shí)、表面積、體積，再學(xué)習(xí)圓錐的認(rèn)識(shí)、體積，所以第一課時(shí)只安排圓柱的認(rèn)識(shí)，不涉及圓錐的內(nèi)容。對(duì)圓柱的認(rèn)識(shí)分三個(gè)層次教學(xué)：第一層次從生活情境引入，結(jié)合實(shí)物圖片，從整體上感知圓柱；第二層次引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、交流等活動(dòng)總結(jié)出圓柱的特征，同時(shí)通過(guò)快速旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形硬紙板的操作活動(dòng)，體會(huì)圓柱體的形成過(guò)程；第三層次進(jìn)一步探究圓柱側(cè)面展開(kāi)后的長(zhǎng)方形與圓柱相對(duì)應(yīng)部分的關(guān)系。

北師大版教材《圓柱與圓錐》單元，第一課時(shí)安排了圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)，題為《面的旋轉(zhuǎn)》，也分三個(gè)層次來(lái)認(rèn)識(shí)：第一層次是結(jié)合生活中的情境，讓學(xué)生體會(huì)點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系；第二層次是通過(guò)快速旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形、三角形硬紙板活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)圓柱體和圓錐體的形成過(guò)程；第三層次是先從實(shí)物圖形抽象出圓柱、圓錐的表象，再通過(guò)觀察、比較、操作等活動(dòng)總結(jié)出圓柱和圓錐的特征。

蘇教版教材《圓柱與圓錐》單元，第一課時(shí)也安排了圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)，先學(xué)習(xí)圓柱的認(rèn)識(shí)，再學(xué)習(xí)圓錐的認(rèn)識(shí)。認(rèn)識(shí)圓柱時(shí)分兩個(gè)層次：先是找出生活中圓柱形的物體，初步感知圓柱；再結(jié)合實(shí)物通過(guò)觀一觀、摸一摸、比一比等活動(dòng)總結(jié)出圓柱的特征。

臺(tái)灣部編版教材與人教版教材一樣，圓柱與圓錐也是分開(kāi)認(rèn)識(shí)的，圓柱的認(rèn)識(shí)是先直接出示圓柱及圓柱的展開(kāi)圖，再通過(guò)觀察、分析總結(jié)出圓柱的特征。

對(duì)比這幾個(gè)版本的教材，其共同點(diǎn)都是通過(guò)對(duì)圓柱體進(jìn)行觀察、比較、分析等活動(dòng)，總結(jié)出圓柱的特征。但這幾個(gè)版本又有自己的特點(diǎn)，蘇教版和臺(tái)灣部編版這兩個(gè)版本的教材側(cè)重讓學(xué)生知道圓柱的特征是什么，就沒(méi)有編排長(zhǎng)方形硬紙板快速旋轉(zhuǎn)的操作活動(dòng)。人教版和北師大版教材側(cè)重學(xué)生動(dòng)手操作，編排了硬紙板快速旋轉(zhuǎn)的操作活動(dòng)，使學(xué)生了解平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換。

教學(xué)時(shí)，教師可以活用教材，綜合各版本教材特點(diǎn)，取其優(yōu)點(diǎn)，既讓學(xué)生掌握?qǐng)A柱的特征，又讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，并且將圓柱的特征和圓柱的形成過(guò)程建立起聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)圓柱的特征有更深刻的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，讓核心素養(yǎng)落地。

二、重構(gòu)教學(xué)文本，引發(fā)深度學(xué)習(xí)

結(jié)合以上各版本教材分析，進(jìn)行重構(gòu)文本。筆者認(rèn)為，重構(gòu)教學(xué)文本應(yīng)基于學(xué)生視角，以問(wèn)題引領(lǐng)的方式將學(xué)生的思維引向深入，在“大問(wèn)題”的引領(lǐng)下幫助學(xué)生沉浸于相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，通過(guò)“問(wèn)題鏈”引導(dǎo)學(xué)生步步深入地去思考，以達(dá)到深度學(xué)習(xí)。下面將以空間觀念發(fā)展如何落實(shí)到課堂中為目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.圓柱的特征是什么？

從生活情境引入，結(jié)合實(shí)物圖片，從整體上感知圓柱，幫助學(xué)生建立圓柱的表象，然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、交流等活動(dòng)，總結(jié)出圓柱的特征是什么。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出，在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念，在這一環(huán)節(jié)注重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念。通過(guò)觀一觀、摸一摸、比一比等活動(dòng)，總結(jié)出圓柱的特征，讓學(xué)生對(duì)圓柱的特征有個(gè)初步的感知。

2.圓柱為什么有這樣的特征?

圓柱為什么會(huì)有這樣的特征呢？引導(dǎo)學(xué)生從圓柱是怎么形成的去思考。

圓柱是由一個(gè)長(zhǎng)方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體。具體形成過(guò)程如下：

（1）長(zhǎng)方形A、B 兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周得到的是兩個(gè)圓。

圖1

（2）長(zhǎng)方形兩條寬旋轉(zhuǎn)一周得到的是兩個(gè)圓面（也就是圓柱的兩個(gè)底面）；長(zhǎng)方形其中一條長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)一周得到的是一個(gè)曲面（也就是圓柱的側(cè)面）。

圖2

（3）整個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱。

圖3

圓柱除了可以由長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)而成，還可以由什么圖形通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)形成？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出可以由一個(gè)圓垂直向上平移而成。

圖4

思考圓柱是怎么形成的，可以讓學(xué)生明白圓柱為什么會(huì)有這樣的特征。

底面：長(zhǎng)方形的兩條寬相等，也就是圓柱上、下兩個(gè)底面的半徑相等，所以圓柱上、下兩個(gè)底面是完全相同的圓；同時(shí)也因?yàn)閳A柱是由圓垂直向上平移而成，也能說(shuō)明圓柱上、下兩個(gè)底面是完全相同的圓。

側(cè)面：以長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)為軸，另一條長(zhǎng)繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的是一個(gè)曲面（也就是圓柱的側(cè)面），所以圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面；同時(shí)也因?yàn)閳A是彎曲的弧線，所以它垂直平移后形成的圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面。

高：兩個(gè)底面之間的距離叫做圓柱的高，兩個(gè)底面是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，所以和兩個(gè)底面垂直的線段有無(wú)數(shù)條（即有無(wú)數(shù)條高）；長(zhǎng)方形的兩條寬互相平行，也就是圓柱上、下兩個(gè)底面的兩條半徑互相平行。平行線間的距離處處相等，可以推出兩個(gè)平行面之間的距離也處處相等，由此可以推出無(wú)數(shù)條高都相等；同時(shí)也因?yàn)閳A是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，它垂直平移后就形成了無(wú)數(shù)條高且都相等。

通過(guò)研究圓柱是怎么形成的，讓學(xué)生對(duì)圓柱的特征從知其然走向知其所以然。這樣既鞏固了圓柱的特征，又溝通了知識(shí)間的聯(lián)系，積累“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從零維到一維、從一維到二維、從二維到三維的轉(zhuǎn)換，很好地發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

3.圓柱是怎么做成的？

知道了圓柱是怎么形成的，那圓柱是怎么做成的呢？

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，很快就發(fā)現(xiàn)了圓柱是由一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)圓做成的。

教師追問(wèn)：任意一個(gè)長(zhǎng)方形和任意兩個(gè)相同的圓都能做成圓柱嗎？

結(jié)合圖示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高。讓學(xué)生明白不是任意一個(gè)長(zhǎng)方形和任意兩個(gè)相同的圓就能做成圓柱的，必須是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與圓柱的底面周長(zhǎng)相等才能做成一個(gè)圓柱。

接著出示以下練習(xí)：

上面五個(gè)圖形中，哪三個(gè)圖形可以做成圓柱？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出由于圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，②③兩個(gè)圓的周長(zhǎng)是18.84 厘米，不是圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)，而④⑤兩個(gè)圓的周長(zhǎng)是12.56 厘米，恰好是圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)，所以要選①④⑤這三個(gè)圖。

由此總結(jié)出：圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高。

教師繼續(xù)追問(wèn)：圓柱的底面周長(zhǎng)只能等于圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)嗎？

先引發(fā)學(xué)生思考，再出示以下練習(xí)：

由以上四個(gè)圓和一個(gè)長(zhǎng)方形可以做成幾種圓柱？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱的底面周長(zhǎng)可以等于圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)，也可以等于圓柱側(cè)面（長(zhǎng)方形）的寬，所以可以做成兩種圓柱，如圖所示：

通過(guò)以上練習(xí)，讓學(xué)生徹底明白了圓柱側(cè)面與圓柱底面及高之間的關(guān)系。

通過(guò)探究圓柱是怎么做成的，很自然地溝通了圓柱側(cè)面與圓柱底面和高的關(guān)系，使學(xué)生對(duì)圓柱的特征有了更深刻的認(rèn)識(shí)，完成了從三維到二維再回到三維的轉(zhuǎn)換過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

工欲善其事，必先利其器。本文僅以《圓柱的認(rèn)識(shí)》教材解讀為引，以期達(dá)到拋磚引玉之效果。欲深度的教，必以教材為依托，深度解讀教材，靈活運(yùn)用教材，達(dá)到對(duì)教材的再重組，用學(xué)生容易接受的方式展示出來(lái)，讓復(fù)雜的知識(shí)變簡(jiǎn)單，再讓簡(jiǎn)單的知識(shí)變得有深度，從而達(dá)到深度的教。同時(shí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，耳到、眼到、手到、口到、心到，從而達(dá)到深度的學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

資料存盤

1.《圓柱的認(rèn)識(shí)》課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在學(xué)段目標(biāo)的第二學(xué)段“圖形與幾何”中指出：

經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中的圓柱形物體中抽象出數(shù)學(xué)中圓柱形的過(guò)程，在認(rèn)識(shí)圓柱的過(guò)程中，經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等活動(dòng)，逐步建立立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念；

從觀察罐子、蠟燭等物體的形狀中，初步學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并能夠運(yùn)用圓柱的相關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)和發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力；

在解決圓柱的相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的情感。

2.圓柱的認(rèn)識(shí)歷程。

人類在圓柱的研究歷程中主要有以下三個(gè)重要的標(biāo)志：

（1）古希臘時(shí)期，阿基米德在《球和圓柱》中闡述了他對(duì)圓柱側(cè)面積的研究結(jié)果：任何直圓柱曲面的面積，等于一個(gè)圓的面積，這個(gè)圓的半徑是圓柱的高和底面直徑之間的比例中項(xiàng)，即r2=hd。

（2）公元500 年左右，祖暅（祖沖之之子）在《綴術(shù)》中這樣記載“冪勢(shì)既同，則積不容異”，被后人稱之為“祖暅原理”。這也就是“等積原理”，意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。

（3）16 世紀(jì)下半葉，德國(guó)科學(xué)家開(kāi)普勒（Kepler）在《酒桶的新立體幾何》中將酒桶看成由無(wú)數(shù)的圓薄片累計(jì)而成，進(jìn)而求其體積，這是積分學(xué)的萌芽。