呂洪斌, 陳梅香, 楊忠鵬, 馮曉霞
( 1.北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 吉林 吉林 132013; 2.莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院, 福建 莆田 351100;3.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 福建 漳州 363000 )
設(shè)Cm ×n為復(fù)數(shù)域C上的m×n階矩陣集合,r(A)表示A∈Cm ×n的秩,I表示單位矩陣,It表示t×t階單位矩陣,矩陣X(1)為矩陣X的滿足XX(1)X=X的廣義逆.記Γ={(a,b):a+b≠0,ab≠0;a,b∈C}.
設(shè)A,B∈Cn ×n, 稱AB+BA為矩陣A與B的Jordan積[1].Tian等研究了冪等矩陣P與Q的Jordan積的秩[2-5]; Koliha等給出了PQ+QP可逆性的充要條件[6].Tian等[2]從秩的不變性角度得到:
r(aPQ+bQP)=r(PQ+QP),P2=P,Q2=Q, (a,b)∈Γ.
(1)
Tian還研究了P和Q為冪等矩陣、C∈Cm ×n的r(PC+CQ)的更一般情況[5]:
(2)
(3)
由于當(dāng)P=Q時,PC+CQ=PC+CP為矩陣P與C的Jordan積,所以稱PC+CQ為矩陣P、Q與C的廣義Jordan積[7].
若有λ(≠0)∈C使P2=λP, 則稱P是由λ確定的數(shù)量冪等矩陣[3].文獻(xiàn)[4,8-9]的作者給出了這類矩陣的相關(guān)性質(zhì).
若dA,eA∈C使(A-dAI)(A-eAI)=0, 則稱A∈Cn ×n為由dA和eA確定的二次矩陣[10-13].二次矩陣在隨機(jī)理論、微分方程、量子力學(xué)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.對于二次矩陣A, 當(dāng)eA=0時,A為由dA確定的數(shù)量冪等矩陣;若還有dA=1, 則A為冪等矩陣.當(dāng)dA=-eA≠0時,A是數(shù)量對合矩陣[14],且當(dāng)dA=-eA=±1時,A為對合矩陣.2005年, Farebrother等給出了如下廣義二次矩陣的概念[15]:對給定的冪等矩陣P, 若AP=PA=A且有α,β∈C使得A2=αA+βP, 則稱A∈Cn ×n為由冪等矩陣P確定的廣義二次矩陣.文獻(xiàn)[12,16-17]的作者給出了如下廣義二次矩陣的定義:對給定的冪等矩陣P, 若AP=PA=A且有d,e∈C使(A-dP)(A-eP)=0, 則稱A∈Cn ×n為由d和e確定的廣義二次矩陣.由(A-dP)(A-eP)=A2-(d+e)A+deP以及文獻(xiàn)[16]可知,文獻(xiàn)[12,16-17]中的關(guān)于廣義二次矩陣的定義與文獻(xiàn)[15]中的定義是等價的.因此,本文記
Ωn(P;d,e)={A∈Cn ×n: (A-dP)(A-eP)=0,AP=PA=A},
(4)
進(jìn)而可記所有由冪等矩陣P確定的廣義二次矩陣的集合為:
(5)
由式(4)、(5)知廣義二次矩陣是比二次矩陣(相應(yīng)于分別記為Ωn(I;d,e),Ωn(I))更為廣泛的矩陣類.
由文獻(xiàn)[18,例1]知有二次矩陣
和式(4)、(5)可知A∈Ω4(P), 但A?Ω4(Q), 即A是由冪等矩陣P所確定的廣義二次矩陣,但非由冪等矩陣Q確定的廣義二次矩陣.
例1說明廣義二次矩陣A∈Ωn(P;dA,eA)和B∈Ωn(Q;dB,eB)比二次矩陣更為復(fù)雜.對給定的冪等矩陣P和Q, 本文研究與廣義二次矩陣A∈Ωn(P;dA,eA)和B∈Ωn(Q;dB,eB)相關(guān)的廣義Jordan積的秩的不變性.本文結(jié)果可改進(jìn)文獻(xiàn)[7]中與二次矩陣相關(guān)的基本結(jié)論.
引理1設(shè)A∈Cm ×n, 則對任意的非零復(fù)數(shù)λ、a和b有:
(6)
由式(4)、(5)可得如下引理:
引理2設(shè)P為給定的冪等矩陣,A∈Cn ×n且AP=PA=A, 則A∈Ωn(P) ?存在dA,eA∈C使得(A-dAP)(A-eAP)=0.
當(dāng)A∈Ωn(P;dA,eA)且dA=eA時,由式(4)和式(5)可知(A-dAP)2=0, 即A是廣義二次冪零的.因此,不失一般性,當(dāng)A∈Ωn(P)時總約定dA≠eA.
引理3設(shè)P2=P∈Cn ×n,A∈Cn ×n且AP=PA=A, 則有可逆矩陣G與W, 且使得:
P=Gdiag(Ir,0)G-1,r(P)=r;A=Gdiag(A1,0)G-1,A1∈Cr ×r;
(7)
A∈Ωn(P;dA,eA) ?A1∈Ωr(Ir;dA,eA);
(8)
A=Wdiag(dAIt,eAIr -t,0)W-1∈Ωn(P;dA,eA),r(P)=r, 當(dāng)dA≠eA時.
(9)
(A-dAP)(A-eAP)=Gdiag((A1-dAIr)(A1-eAIr),0)G-1.
(10)
于是由式(4)、(5)知式(8)成立.
引理4設(shè)P為給定的冪等矩陣,A∈Cn ×n且AP=PA=A, 則有:
2)當(dāng)A∈Ωn(P;dA,eA)時,則A-dAP是由eA-dA確定的數(shù)量冪等矩陣,且A-dAP是以eA-dA和0為特征值的可對角化矩陣.
證明1)由AP=PA=A知,當(dāng)dA≠eA時有:
(A-dAP)(A-eAP)=(A-dAP)[(A-dAP)-(eA-dA)P]=
2)由上述證明1)得(A-dAP)2=(eA-dA)(A-dAP), 即A-dAP是由eA-dA確定的數(shù)量冪等矩陣.再由引理3及式(8)、(9)知A-dAP是以eA-dA和0為特征值的可對角化矩陣.
引理5[20]設(shè)F∈Cm ×n,G∈Cm ×p,K∈Cq ×n, 則有:
(11)
r(F,G)=r(F)+r(G-FF(1)G)=r(G)+r(F-GG(1)F).
(12)
定理1設(shè)C∈Cm ×n,P2=P∈Cm ×m,Q2=Q∈Cn ×n, (a,b)∈Γ, 則有:
r(aPC+bCQ)=r(PC+CQ)
(13)
(14)
(15)
知
(16)
當(dāng)(a,b)∈Γ時,由
和式(16)有
注意到
且
于是有:
(17)
定理1說明,相對于文獻(xiàn)[5,定理4.5]中的廣義Jordan積的秩等式(2)、(3),在約束(a,b)∈Γ之下,r(aPC+bCQ)具有不變性.
定理2設(shè)P2=P∈Cm ×m,Q2=Q∈Cn ×n,C∈Cm ×n且復(fù)數(shù)dA,eA,dB,eB∈C使得A∈Ωm(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB).若(a,b)∈Γ, 則有:
r[a(eB-dB)AC+b(eA-dA)CB-(a(eB-dB)dAPC+b(eA-dA)dBCQ)]=
r[(eB-dB)AC+(eA-dA)CB-((eB-dB)dAPC+(eA-dA)dBCQ)]
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
證明由式(10)知
(23)
注意到dA≠eA,dB≠eB的約定,據(jù)此有:
x(eB-dB)AC+y(eA-dA)CB-[x(eB-dB)dAPC+y(eA-dA)dBCQ]=
x(eB-dB)(A-dAP)C+y(eA-dA)C(B-dBQ)=
由上式可得:
r[x(eB-dB)AC+y(eA-dA)CB-(x(eB-dB)dAPC+y(eA-dA)dBCQ)]=
(24)
于是由式(13)—(15)和式(23)—(24)知,當(dāng)(a,b)∈Γ且取x=a,y=b時有:
r[a(eB-dB)AC+b(eA-dA)CB-(a(eB-dB)dAPC+b(eA-dA)dBCQ)]=
r[(eB-dB)AC+(eA-dA)CB-((eB-dB)dAPC+(eA-dA)dBCQ)].
由上式可知式(18)成立.再由
由式(13)、式(14)中的第1式和式(18)知式(19)成立.
類似的由式(13)、式(14)中的第2式和式(18)知式(20)成立.再由
和式(13)-(15)、(18)、(20)知式(21)、(22)成立.
在定理2中取P=Q=In即可得到文獻(xiàn)[7]中的基本結(jié)論(文獻(xiàn)[7]中的式(14)).
推論1設(shè)P2=P,Q2=Q∈Cn ×n,且有復(fù)數(shù)dA,eA,dB,eB∈C使得A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB).若(a,b)∈Γ, 則有:
r[a(eB-dB)A+b(eA-dA)B-(a(eB-dB)dAP+b(eA-dA)dBQ)]=
r[(eB-dB)A+(eA-dA)B-((eB-dB)dAP+(eA-dA)dBQ)]
(25)
(26)
(27)
(28)
=r[A-dAP]+r[((eA-dA)I-(A-dAP))(B-dBQ)((eA-dA)I-(A-dAP))]
(29)
=r[B-dBQ]+r[((eB-dB)I-(B-dBQ))(A-dAP)((eB-dB)I-(B-dBQ))].
(30)
((eA-dA)I-(A-dAP))(B-dBQ)(I-(A-dAP)(1)(A-dAP))=
(31)
(I-(B-dBQ)(1)(B-dBQ))(A-dAP)((eB-dB)I-(B-dBQ))=
(32)
于是由式(11)、(12)、(31)和式(32)有:
r[A-dAP]+r[((eA-dA)I-(A-dAP))(B-dBQ)((eA-dA)I-(A-dAP))],
r[B-dBQ]+r[((eB-dB)I-(B-dBQ))(A-dAP)((eB-dB)I-(B-dBQ))].
再由式(27)、(28)可得式(29)、(30)成立.
在推論1中取P=Q=In即可得文獻(xiàn)[7]中的基本結(jié)論(文獻(xiàn)[7]中的式(27)).
在定理2中取A=B即可得廣義二次矩陣與任意矩陣的廣義Jordan積的秩的不變性.
推論2設(shè)P2=P∈Cn ×n,C∈Cn ×n, 且有復(fù)數(shù)dA,eA∈C使得A∈Ωn(P;dA,eA).若(a,b)∈Γ, 則有:
r[aAC+bCA-dA(aPC+bCP)]=r[AC+CA-dA(PC+CP)]
(33)
(34)
(35)
證明在定理2中取A=B, 由此得P=Q, 于是由式(18)可得式(33)成立.再由式(19)、(21)可得式(34)、(35)成立.
文獻(xiàn)[3]給出了與數(shù)量λ和μ有關(guān)的數(shù)量冪等矩陣A與B的和、差、換位子、 Jordan積的秩等式,文獻(xiàn)[9]得到了與數(shù)量λ和μ無關(guān)的數(shù)量冪等矩陣的秩等式.以下本文將給出數(shù)量冪等矩陣與任意矩陣線性組合的Jordan積的秩不變性.
定理3設(shè)A∈Cn ×n是由非零數(shù)e確定的數(shù)量冪等矩陣,即A2=eA,C∈Cn ×n, 則有:
(36)
式(36)說明數(shù)量冪等矩陣A(即A2=eA)與任意矩陣的Jordan積的秩等式的不變性不僅與組合系數(shù)無關(guān),而且與數(shù)e也無關(guān).因此,定理3推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]中定理9的結(jié)論.