有向通信拓?fù)湎潞Ｉ蠠o人集群分布式編隊(duì)控制

侯岳奇，梁曉龍*，張諾，陶浩，龔俊斌

1 空軍工程大學(xué) 空管領(lǐng)航學(xué)院 航空集群技術(shù)與作戰(zhàn)運(yùn)用實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710051

2 中國人民解放軍31005部隊(duì)，北京 100094

3 中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

0 引 言

隨著無人航行平臺(tái)的迅速發(fā)展和任務(wù)需求的不斷拓展，多平臺(tái)的編隊(duì)控制技術(shù)受到廣泛關(guān)注。國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在編隊(duì)控制方面展開了積極的研究，并在不同應(yīng)用場景下取得了大量研究成果，包括無人機(jī)集群[1]、無人艇集群[2]和無人車集群[3]。根據(jù)實(shí)現(xiàn)思想的不同，經(jīng)典的編隊(duì)控制方法主要可以總結(jié)為以下3種：基于領(lǐng)航?跟隨者[4]的方法、基于行為[5]的方法和虛擬結(jié)構(gòu)法[6]。這些經(jīng)典編隊(duì)控制方法雖然各有優(yōu)缺點(diǎn)，但都難以滿足編隊(duì)控制分布式、自主化和集群化的需求。

近年來，基于一致性的方法通過圖論理論描述集群平臺(tái)之間的通信拓?fù)?，并逐漸融合了其他經(jīng)典方法，目前已發(fā)展成為編隊(duì)控制的主要方法。當(dāng)前一致性編隊(duì)控制問題研究主要集中在一致性控制協(xié)議設(shè)計(jì)及其穩(wěn)定性分析上。Dong等[7]采用內(nèi)/外環(huán)結(jié)構(gòu)建立了編隊(duì)控制框架，并基于一致性理論討論了時(shí)延、拓?fù)淝袚Q[8]、外部擾動(dòng)[9]等條件下無人機(jī)集群時(shí)變編隊(duì)控制的穩(wěn)定性和充要條件。Antonelli等[10]針對一階系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)控制問題進(jìn)行研究，討論了不同通信拓?fù)?、包含飽和輸入約束等多種情況下的編隊(duì)全局收斂性，并用輪式機(jī)器人進(jìn)行了驗(yàn)證。Zhao等[11]對由無人機(jī)和無人車組成的異構(gòu)集群時(shí)變編隊(duì)控制問題進(jìn)行了研究，結(jié)果顯示編隊(duì)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂了。上述研究均是針對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)展開，而針對離散時(shí)間系統(tǒng)方面的研究則相對較少。Zhang等[12]通過多步預(yù)測控制策略，實(shí)現(xiàn)了高階線性離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)能夠快速收斂至固定編隊(duì)。Xu等[13]對具有一致通信時(shí)延和固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的二階離散系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題予以了研究。但文獻(xiàn)[12-13]所研究的都是固定編隊(duì)控制問題，所得結(jié)論并不能應(yīng)用于時(shí)變編隊(duì)情況。

由當(dāng)前研究進(jìn)展可以看出，一致性方法在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)編隊(duì)控制問題中已得到廣泛研究，但在實(shí)際應(yīng)用中，因海上無人集群系統(tǒng)通常無法給出連續(xù)的控制指令，故將連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)論應(yīng)用到離散系統(tǒng)中會(huì)存在因控制參數(shù)不合理而使得系統(tǒng)不收斂的情況。針對離散時(shí)間系統(tǒng)編隊(duì)控制問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究主要集中在固定編隊(duì)控制方面，難以滿足海上無人集群的應(yīng)用需求。為此，本文擬基于虛擬領(lǐng)航者思想，采用內(nèi)/外環(huán)分層編隊(duì)控制結(jié)構(gòu)，將一致性編隊(duì)控制方法應(yīng)用到海上無人集群時(shí)變編隊(duì)控制之中。首先，基于離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)建模，采用基于位置和速度誤差反饋的分布式控制協(xié)議；然后，在有向通信拓?fù)錀l件下，證明控制協(xié)議的穩(wěn)定性，并給出期望構(gòu)型可行性條件和控制協(xié)議參數(shù)及控制器更新周期約束條件；最后，仿真驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)及問題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

本文符號(hào)說明：1N(0N)表示所有元素均為1(0)的列向量，在不引起歧義的情況下，用1(0)表示元素全為1(0)的相應(yīng)維數(shù)的矩陣或向量；IN表示N階單位矩陣；i 為虛數(shù)單位，即 i2=1。

考慮由N個(gè)平臺(tái)組成海上無人集群，包含無人艇和無人機(jī)，記為U1,U2,···,UN，記ZN={1,2,···,N}為平臺(tái)編號(hào)集合。集群的通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇梢杂眉訖?quán)圖G=(W,E,A)來描述，其中W={ω1,ω2,···,ωN}為圖G的節(jié)點(diǎn)集，E={(ωi,ωj):ωi,ωj∈W}為邊集，A=[aij]N×N，為鄰接矩陣。若Ui能 夠接收到Uj的信息，則稱Uj為Ui的 鄰居，則在圖G中存在一條由節(jié)點(diǎn)ωj指 向節(jié)點(diǎn)ωi的 有向邊 (ωj,ωi)∈E。ai j為平臺(tái)Uj的 信息對平臺(tái)Ui的 權(quán)重因子，若 (ωj,ωi)∈E，則aij＞0 ，否則，aij=0 。若對 ?i,j∈ZN，有aij=aji，則稱G為無向圖，否則，G為有向圖。若存在一個(gè)有序的有向邊序列( ωi,ωi1),(ωi1,ωi2),···,(ωim,ωj)∈E，則稱圖G中存在由節(jié)點(diǎn)ωi到 ωj的有向路徑。若圖G中存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且與其他任意節(jié)點(diǎn)之間都存在有向路徑，則稱圖G包含一個(gè)有向生成樹。圖G的拉普拉斯矩陣L=[lij]N×N定義為：

下文將給出分析海上無人集群編隊(duì)控制問題需要用到的基本引理1。

引理1[14]：對于包含N個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向圖G，其拉普拉斯矩陣L具有如下性質(zhì)：

1) 拉普拉斯矩陣L至少有一個(gè)零特征值，1N為特征值0對應(yīng)的特征向量，即L1N=0N；

2) 僅當(dāng)圖G包含有向生成樹時(shí)，0是L的代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值，其他非零特征值均具有正實(shí)部；

3) 若圖G為無向圖且是連通的，則0是L的代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值，其他非零特征值均為正實(shí)數(shù)。

1.2 系統(tǒng)模型

海上無人集群主要由無人艇集群和無人機(jī)集群組成，其運(yùn)動(dòng)空間涵蓋海面和空中。本文所指的無人機(jī)為旋翼無人機(jī)，其運(yùn)動(dòng)速度與無人艇基本匹配。由于平臺(tái)特性和運(yùn)動(dòng)環(huán)境的差異，因此無人機(jī)與無人艇的動(dòng)力學(xué)模型不同。對于海上無人集群中的各平臺(tái)，考慮到位置控制的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)大于姿態(tài)控制，在僅考慮位置和速度的編隊(duì)控制中，可以把控制器解耦成內(nèi)環(huán)和外環(huán)的分層結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)[1]，如圖1所示。

圖1 內(nèi)/外環(huán)分層編隊(duì)控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Inner/outer loop layered control structure of formation

在內(nèi)/外環(huán)結(jié)構(gòu)中，外環(huán)為編隊(duì)構(gòu)型控制層，可以根據(jù)期望構(gòu)型、鄰居狀態(tài)、參考航跡等信息計(jì)算本機(jī)的控制輸入，從而使運(yùn)動(dòng)平臺(tái)以期望的速度到達(dá)期望的位置；內(nèi)環(huán)控制則根據(jù)編隊(duì)控制層的輸出，結(jié)合動(dòng)力學(xué)特性，對姿態(tài)/舵面、油門/推力進(jìn)行控制。這種分層控制結(jié)構(gòu)的相關(guān)理論和應(yīng)用已經(jīng)較為成熟，使得相關(guān)研究的重點(diǎn)可以集中到任務(wù)決策方法和外環(huán)控制律的設(shè)計(jì)及其穩(wěn)定性分析上，從而提高了算法對于異構(gòu)集群的兼容性。本文主要針對外環(huán)控制進(jìn)行研究和分析，因此，在編隊(duì)控制層面上，將無人艇和無人機(jī)視為是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，每個(gè)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)模型可以近似地采用二階積分器來描述，如式（2）所示。

在依靠跨域通信網(wǎng)絡(luò)的編隊(duì)控制中，狀態(tài)信息需要通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行周期性的交互和更新?？紤]到通信網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臄?shù)字采樣和時(shí)間離散特性，采用差分近似法對式（2）進(jìn)行離散化處理，得到二階離散時(shí)間系統(tǒng)形式如下：

式中：xi(t)∈Rn，vi(t)∈Rn， 分別為t時(shí) 刻平臺(tái)Ui的位置和速度矢量，其中n為集群平臺(tái)運(yùn)動(dòng)空間維數(shù)；ui(t)∈Rn，為加速度控制輸入；t=t0+kδ，為控制器更新時(shí)刻，其中t0≥0和 δ＞0分別為初始時(shí)刻和控制器更新周期，k=0,1,2···。因上述離散系統(tǒng)在各維度上是解耦的，故所有結(jié)論均可從一維擴(kuò)展到高維情況。本文選取n=1的情況進(jìn)行研究。

1.3 問題描述

海上無人集群在執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)，通常需要保持一定的隊(duì)形并按照期望航跡編隊(duì)航行，以實(shí)現(xiàn)無人集群協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)和通信穩(wěn)定連接。例如，在協(xié)同搜索、巡邏任務(wù)過程中，海上無人集群通常保持固定的編隊(duì)以增大探測范圍；在查證、定位任務(wù)過程中，需要多域多平臺(tái)持續(xù)環(huán)繞敵方平臺(tái)，此時(shí)，便需要保持時(shí)變編隊(duì)。期望航跡通常由多條直線段銜接組成，假設(shè)存在一個(gè)虛擬領(lǐng)航者U0按照期望航跡勻速運(yùn)動(dòng)，其期望航跡可以描述為以下離散系統(tǒng)：

式中：x0(t)∈Rn，v0(t)∈Rn，分別為t時(shí)刻期望航跡的位置和速度矢量； δ＞0，為航跡信息更新周期，與控制器更新周期相等。虛擬領(lǐng)航者并非實(shí)體平臺(tái)，其航跡信息不受其他個(gè)體航行信息的影響。在有向通信拓?fù)渲?，集群?nèi)部分個(gè)體能夠直接獲取虛擬領(lǐng)航者的期望航跡信息。

在不同的任務(wù)中，可能需要集群保持固定或時(shí)變編隊(duì)?？紤]到理論研究工作的適用性，本文針對集群時(shí)變編隊(duì)控制問題展開了研究，得到的編隊(duì)控制器可同時(shí)適用于固定編隊(duì)和時(shí)變編隊(duì)控制。時(shí)變期望構(gòu)型參數(shù)可用如下有界函數(shù)表示：

式中：fx(t)，fv(t)和fa(t)分別為編隊(duì)參考向量的位置、速度和加速度分量；fxi(t)，fvi(t)和fai(t)分別為集群個(gè)體Ui相 對于虛擬領(lǐng)航者U0的期望位置、速度和加速度矢量差。按照上述定義，虛擬領(lǐng)航者U0的 編隊(duì)參考向量為fx0(t)=fv0(t)=fa0(t)=0。對于時(shí)變編隊(duì)控制問題，上述參數(shù)是隨時(shí)間變化的，而對于固定編隊(duì)控制問題，其固定期望構(gòu)型參數(shù)fx(t)為 常向量，fv(t)=fa(t)=0N+1。有關(guān)海上無人集群編隊(duì)控制的定義如下所示。

定義1：若集群實(shí)現(xiàn)了期望時(shí)變編隊(duì)構(gòu)型f(t)，并保持了對期望航跡的跟蹤，則稱集群實(shí)現(xiàn)了期望構(gòu)型和航跡跟蹤。集群實(shí)現(xiàn)編隊(duì)跟蹤控制穩(wěn)定的充要條件為：對任意平臺(tái)Ui(i∈ZN)，有下式成立：

2 編隊(duì)控制協(xié)議設(shè)計(jì)

為便于描述，本節(jié)選取n=1的情況進(jìn)行了研究，所得結(jié)論能夠通過Kronecker積推廣至高維情況。令集群位置向量為x(t)=[x0(t),x1(t),···,xN(t)]T，速度向量為v(t)=[v0(t),v1(t),···,vN(t)]T，控制輸入為u(t)=[u0(t),u1(t),···,uN(t)]T，代入式（3），整理得到離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為

針對海上無人集群在有向通信拓?fù)湎碌姆植际骄庩?duì)跟蹤控制問題，對于任意平臺(tái)Ui(i∈ZN)，采用如下基于鄰居位置、速度信息的分布式控制協(xié)議：

式中， α,β＞0，分別為位置和速度反饋系數(shù)。為便于推導(dǎo)，將上述控制協(xié)議推廣到i=0的情況，容易得到u0(t)=0。 將控制協(xié)議式（8）代入u(t)中，整理得到

將式（9）代入式（7），系統(tǒng)狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為如下形式：

首先，令 ψxi(t)=xi(t)?fxi(t)?x0(t)，ψvi(t)=vi(t)?fvi(t)?v0(t)， 當(dāng)i=0時(shí)，ψx0(t)=ψv0(t)=0。令ψx(t)=[ψx0(t),ψx1(t),···,ψxN(t)]T，ψv(t)=[ψv0(t),ψv1(t),···,ψvN(t)]T，ψ(t)=[(t),(t)]T，則海上無人集群實(shí)現(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件式（6）可以轉(zhuǎn)化為

3 穩(wěn)定性分析

定理1：具有有向通信拓?fù)涞暮Ｉ蠠o人集群在控制協(xié)議式（8）的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)對于任意i∈ZN，期望構(gòu)型滿足如下可行性條件：

且以下線性離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明：根據(jù) ψ(t)的定義，可得

則有

將式（14）代入式（10），可得

由式（3），可得

根據(jù)拉普拉斯矩陣的性質(zhì)，有L1N+1=0N+1，則有

將式（16）～式（18）代入式（15），可得

海上無人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件式（11）可以等價(jià)于

漸近穩(wěn)定，且滿足可行性條件

可以很容易地驗(yàn)證式（21）等價(jià)于式（12），結(jié)論得以驗(yàn)證。

注釋1：由定理1可知，在控制協(xié)議式（8）的作用下，并非任意的期望構(gòu)型都可以實(shí)現(xiàn)。式（12）稱為期望構(gòu)型的可行性條件，表示期望構(gòu)型的位置、速度和加速度分量必須滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。不僅如此，該可行性條件還給出了設(shè)計(jì)時(shí)變編隊(duì)構(gòu)型的數(shù)學(xué)準(zhǔn)則，在設(shè)計(jì)期望時(shí)變編隊(duì)構(gòu)型時(shí)，需嚴(yán)格遵守該準(zhǔn)則。

在滿足可行性條件式（12）情況下，只要線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）漸近穩(wěn)定，海上無人集群系統(tǒng)便可實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制和航跡跟蹤。為便于后文推導(dǎo)，令線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）中的系統(tǒng)矩陣為

顯然，線性離散時(shí)間系統(tǒng)（13）的穩(wěn)定性與矩陣Γ的性質(zhì)有關(guān)。有關(guān)線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）漸近穩(wěn)定的充要條件在下文給出，在該過程中，需要用到以下結(jié)論。

引理2：0是拉普拉斯矩陣L的代數(shù)重?cái)?shù)m的特征值，則1是矩陣Γ的代數(shù)重?cái)?shù)2m的特征值。

證明：記拉普拉斯矩陣L的特征值為τi(i=1,···,N)， 設(shè)矩陣Γ 的 特征值為μ，則由特征值的定義，可知

則可求得矩陣Γ的特征值為

令 μi1,2=1，則有

因 α＞0 ，且僅當(dāng) τi=0時(shí)，上式成立，即僅當(dāng)τi=0 時(shí)， μi1,2=1，故結(jié)論得以驗(yàn)證。

定理2：當(dāng)期望構(gòu)型滿足可行性條件式（12）時(shí)，在控制協(xié)議式（8）作用下，具有有向通信拓?fù)涞暮Ｉ蠠o人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件是：矩陣Γ特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)為2，其他特征值均在單位圓內(nèi)。

證明：對于充分性而言，虛擬領(lǐng)航者不接收其他集群個(gè)體的信息，故系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣L可以表示為

式中，Llf和Lff為矩陣L的 子塊。令 ξ =[1,0]T，則有

式中，ξT為 矩陣L屬于特征值0的左特征向量。

根據(jù)線性方程組 (I2(N+1)?Γ)x=02(N+1)，可以很容易地驗(yàn)證其解空間的維數(shù)為1，即矩陣Γ特征值1的幾何重?cái)?shù)為1。并且，矩陣Γ特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)為2，故存在可逆矩陣P， 使P?1ΓP=J，其中J為 Γ的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，可表示為如下形式：

將式（32）代入線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）中，記初始時(shí)刻為t0，可得

因?yàn)?ψx0(t)=ψv0(t)=0，則有

將式（34）代入式（33），可得

線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）漸近穩(wěn)定，由定理1可知，海上無人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤，定理的充分性得以驗(yàn)證。

對于必要性，采用反證法進(jìn)行證明。假設(shè)矩陣Γ特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)大于2，則至少有1個(gè)特征值的幅值大于1，即，故可進(jìn)一步推導(dǎo)得到。線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）非漸近穩(wěn)定，顯然與海上無人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤相矛盾，定理的必要性得以驗(yàn)證。

注釋2：由定理2可知，當(dāng)矩陣Γ特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)為2，其他特征值均在單位圓內(nèi)時(shí)，線性離散時(shí)間系統(tǒng)式（13）漸近穩(wěn)定。而矩陣Γ的特征值取值與拉普拉斯矩陣L、 參數(shù) α,β和控制器更新周期δ 相關(guān)。下文將進(jìn)一步推導(dǎo)兩者之間的關(guān)系。

定理3：當(dāng)期望構(gòu)型滿足可行性條件式（12）時(shí)，在控制協(xié)議式（8）的作用下，具有有向通信拓?fù)涞暮Ｉ蠠o人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件是：通信拓?fù)渚哂幸蕴摂M領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹，且參數(shù) α,β和控制器更新周期 δ滿足下式：

式中，λi為 拉普拉斯矩陣L除0以外的所有特征值，Re(λi)和 Im(λi)分別為其實(shí)部和虛部。

證明：對于必要性，由定理2可知，海上無人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件是：矩陣L特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)為2，其他特征值均在單位圓內(nèi)。結(jié)合引理2可知，拉普拉斯矩陣L僅有一個(gè)零特征值，記為 λ1=0 。 令 μ?1=s，由式（23），可得

矩陣Γ除特征值1外，其他特征值均在單位圓內(nèi)，則有 Re(s)＜0。 設(shè)si1,si2為式（37）的一對根，則si1+si2=?βδλi，故有

根據(jù)引理1第2)條可知，通信拓?fù)浒邢蛏蓸?。由于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者不接收其他集群個(gè)體的信息，只要通信拓?fù)浒邢蛏蓸洌摂M領(lǐng)導(dǎo)者必為生成樹的根節(jié)點(diǎn)，因此，通信拓?fù)渚哂幸蕴摂M領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹。

將 σ=iω代入式（39），可得

由Hermite-Biehler定理可知，二次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 γ(σ)是Hurwitz穩(wěn)定的，且僅當(dāng)下列條件成立時(shí)：

1）m(ω)=0 有2個(gè)不同的根，設(shè)為m1＜m2；

2)n(ω)=0 的單根n1滿 足m1＜n1＜m2；

3）m(0)n′(0)?m′(0)n(0)＞0。

將上述條件代入式（41），可得

求解不等式組（42），可得

定理的必要性得以驗(yàn)證。

對于充分性，因?yàn)橥ㄐ磐負(fù)渚哂杏邢蛏蓸?，由引?的第2)條可知，拉普拉斯矩陣L僅有一個(gè)零特征值。根據(jù)引理2，可得矩陣Γ特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)為2。通過必要性的證明過程可知，當(dāng)α,β,δ 的取值滿足式（36）時(shí)，g(μ)的 解滿足 |μ|＜1，即矩陣Γ除特征值1外，其他特征值均在單位圓內(nèi)。由定理2可知，海上無人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤，定理的充分性得以驗(yàn)證。

注釋3：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制協(xié)議參數(shù) α,β、控制器更新周期δ和拉普拉斯矩陣L的特征值λi直接相關(guān)。在固定通信拓?fù)湎?，可以直接求得拉普拉斯矩陣L的特征值λi，進(jìn)一步確定符合不等式組（36）的 α,β,δ取值，可使系統(tǒng)穩(wěn)定[15]。文獻(xiàn)[16]指出，在拒止環(huán)境中，通信組網(wǎng)鏈路的可靠性將大幅下降，通信鏈路頻繁斷開，因此需要研究切換拓?fù)淝闆r下的編隊(duì)控制。針對通信拓?fù)渥兓那闆r，可能會(huì)導(dǎo)致不等式組(36)不成立，此時(shí)，需要重新確定參數(shù)取值，確保編隊(duì)控制的穩(wěn)定性。

本文提出的編隊(duì)控制方法同樣適用于無向通信拓?fù)淝闆r，下面，將不加證明地給出如下結(jié)論。

推論：當(dāng)期望構(gòu)型滿足可行性條件式（12）時(shí)，在控制協(xié)議式（8）的作用下，具有無向通信拓?fù)涞暮Ｉ蠠o人集群能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型和航跡跟蹤的充要條件是：無向通信拓?fù)溥B通且參數(shù) α,β和控制器更新周期 δ滿足

4 仿真分析

本節(jié)將通過數(shù)值仿真對所提出的編隊(duì)控制方法進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)定海上無人集群由1個(gè)虛擬領(lǐng)航者、2架無人機(jī)和7艘無人艇組成，并假設(shè)平臺(tái)在編隊(duì)航行過程中高度不變，只考慮水平面的運(yùn)動(dòng)。仿真中涉及到的位置、速度、加速度的單位分別為m，m/s和m/s2。集群平臺(tái)之間的有向通信拓?fù)鋱DG如圖2所示。

圖2 海上無人集群通信拓?fù)涫疽鈭DFig.2 The communication topology of UMV swarms

顯然，有向通信拓?fù)浒蕴摂M領(lǐng)航者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹。編隊(duì)隊(duì)形信息矩陣為

設(shè)計(jì)海上無人集群的期望構(gòu)型如圖3所示，其中7艘無人艇組成楔形編隊(duì)，2架無人機(jī)在無人艇編隊(duì)上空并排航行。

圖3 海上無人集群期望構(gòu)型示意圖Fig.3 The expected formation of UMV swarms

航行過程中，當(dāng)虛擬領(lǐng)航者運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向時(shí)，期望構(gòu)型參數(shù)是實(shí)時(shí)變化的。根據(jù)虛擬領(lǐng)航者的位置、速度信息和隊(duì)形信息矩陣Fd，可以計(jì)算得到實(shí)時(shí)的期望構(gòu)型位置參數(shù)。結(jié)合定理1給出的編隊(duì)可行性條件式（12），可令

通過式（46），可實(shí)時(shí)迭代求出期望構(gòu)型的位置、速度和加速度信息。根據(jù)文獻(xiàn)[15]給出的參數(shù)選擇方法，首先計(jì)算拉普拉斯矩陣的特征值，設(shè)置 α=0.2,β=0.4。代入不等式方程組（36）中，可計(jì)算得到控制器更新周期的約束條件為δ＜0.5657。為兼顧系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間和通信代價(jià)，這里取 δ=0.5。

圖4給出了仿真中海上無人集群編隊(duì)軌跡的俯視圖和側(cè)視圖，其中紅色細(xì)實(shí)線為虛擬領(lǐng)航者，正方形和圓圈分別為無人機(jī)和無人艇。由圖4(a)可以看到，集群在初始位置時(shí)并沒有形成期望編隊(duì)，存在一定的位置偏差，但在編隊(duì)控制器的作用下，逐漸生成期望編隊(duì)。生成期望編隊(duì)后，在虛擬領(lǐng)航者直線運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)的情況下，海上無人集群均能始終保持期望編隊(duì)。由圖4(b)可以看到，無人機(jī)在500 m高度飛行，能夠與水面無人艇保持期望編隊(duì)，驗(yàn)證了所提編隊(duì)控制器的有效性。為了更加清晰地展現(xiàn)編隊(duì)控制過程，圖5給出了不同時(shí)間段的集群編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖4 海上無人集群編隊(duì)軌跡圖Fig.4 The formation path of UMV swarms

圖5 海上無人集群編隊(duì)過程圖Fig.5 The formation process of UMV swarms

由圖5可見，在初始時(shí)刻，集群編隊(duì)軌跡存在一定的波動(dòng)，這是因?yàn)榧涸诔跏嘉恢脮r(shí)并未形成期望的編隊(duì)，存在一定的位置偏差。當(dāng)集群編隊(duì)航行1 000 m后，編隊(duì)生成并基本保持穩(wěn)定。若編隊(duì)在直線段航行時(shí)，編隊(duì)誤差幾乎接近于0；而在轉(zhuǎn)彎段時(shí)，1號(hào)艇的軌跡與虛擬領(lǐng)航者并沒有完全重合，存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。為了直觀分析編隊(duì)誤差隨時(shí)間變化的情況，圖6給出了編隊(duì)位置誤差和編隊(duì)速度誤差隨時(shí)間變化的曲線。

由圖6可見，集群初始狀態(tài)與期望編隊(duì)存在一定的偏差，故在初始時(shí)刻位置和速度誤差較大，至150 s左右時(shí)位置和速度誤差基本能夠收斂至0。當(dāng)虛擬領(lǐng)航者開始執(zhí)行轉(zhuǎn)彎動(dòng)作時(shí)，編隊(duì)位置誤差會(huì)出現(xiàn)一個(gè)10 m的波動(dòng)，然后在轉(zhuǎn)彎過程中保持5 m的穩(wěn)態(tài)誤差。而在虛擬領(lǐng)航者開始或結(jié)束轉(zhuǎn)彎時(shí)，編隊(duì)速度誤差會(huì)出現(xiàn)一個(gè)10 m/s的波動(dòng)，約在5 s內(nèi)收斂至0。圖7給出了仿真中海上無人集群各個(gè)平臺(tái)速度隨時(shí)間變化的曲線，圖中Vx，Vy分別為X，Y方向的速度。

圖6 編隊(duì)位置和速度誤差隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Time histories of formation position and velocity error

由圖7可見，在初始時(shí)刻，因編隊(duì)誤差導(dǎo)致控制量較大，從而使得初始時(shí)刻的速度變化較為劇烈，且存在一定的超調(diào)。隨著編隊(duì)誤差的逐漸降低，海上無人集群平臺(tái)的速度與虛擬領(lǐng)航者逐漸趨于一致。當(dāng)虛擬領(lǐng)航者轉(zhuǎn)彎時(shí)，其他平臺(tái)的速度會(huì)發(fā)生較為劇烈的變化，并迅速趨于穩(wěn)定。在轉(zhuǎn)彎過程中，各平臺(tái)的速度并沒有與虛擬領(lǐng)航者保持一致。因?yàn)樵谵D(zhuǎn)彎過程中需要保持編隊(duì)，而這會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)彎半徑不同，從而使得轉(zhuǎn)彎過程中的速度存在一定的差異。在直線段航行時(shí)，所有平臺(tái)的航行速度與虛擬領(lǐng)航者的速度保持一致，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的編隊(duì)保持。

圖7 海上無人集群速度隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Time histories of velocity of UMV swarms

5 結(jié) 語

本文研究了海上無人集群一致性分布式編隊(duì)控制問題，采用基于位置和速度反饋誤差的控制協(xié)議，分別給出了無向及有向通信拓?fù)錀l件下控制協(xié)議參數(shù)和控制器更新周期的約束條件，所得結(jié)論適用于固定和時(shí)變編隊(duì)控制。結(jié)果表明，集群實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制穩(wěn)定的條件較為嚴(yán)格。當(dāng)有向通信拓?fù)浯嬖谝蕴摂M領(lǐng)航者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹，且控制協(xié)議參數(shù)、拉普拉斯矩陣的特征值和控制器更新周期需耦合滿足一定的約束條件時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制的穩(wěn)定。本文研究沒有考慮通信時(shí)延的影響，這將在后續(xù)的工作中進(jìn)一步深入探討。