實(shí)交錯(cuò)代數(shù)上slice正則函數(shù)的逼近定理

陳英偉， 陳燦虎, 張寶興

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050061)

0 引 言

交錯(cuò)代數(shù)可看作非交換代數(shù)結(jié)構(gòu)中四元數(shù)、八元數(shù)和Clifford數(shù)等的推廣，具有2個(gè)重要性質(zhì).對(duì)a,x,y∈,由交錯(cuò)性易導(dǎo)出如下Moufang等式[1]:

a(x(ay))=(axa)y, ((xa)y)a=x(aya), (ax)(ya)=a(xy)a.

另一個(gè)重要性質(zhì)是Artin定理[1],此定理表明的任意2個(gè)元生成的子代數(shù)都是可交換的.

在復(fù)分析中，Runge[2]在1885年首次給出如下定理.

定理A令K是復(fù)平面C中的一個(gè)緊子集，設(shè)f是定義在K的一個(gè)開(kāi)集上的全純函數(shù).若E為CK中的有界連通分支中至少含有一個(gè)復(fù)數(shù)的集合，則存在一列有理函數(shù)(rn)n∈N，且其極點(diǎn)都在E中，此函數(shù)列在K上一致收斂到f.

復(fù)平面上另一個(gè)重要定理為Carleman逼近定理[3].

定理B令函數(shù)f:R→C和h:R→(0,+∞)均為R上的連續(xù)函數(shù)，那么存在一個(gè)整函數(shù)G:R→C使得對(duì)所有的x∈R,有

‖f(x)-G(x)‖

Runge逼近定理已推廣到四元數(shù)[4-5],本文中，筆者的一個(gè)目的是得出更廣泛的實(shí)交錯(cuò)代數(shù)情形下的slice正則函數(shù)，另一個(gè)目的是在實(shí)交錯(cuò)代數(shù)的slice正則函數(shù)的結(jié)構(gòu)下研究Caleman型逼近定理.Caleman型定理表明，任何定義于R上的連續(xù)函數(shù)可由在R上的slice正則整函數(shù)任意逼近.

1 預(yù)備知識(shí)

先給出文中有關(guān)slice函數(shù)和slice正則函數(shù)的一些基本定義和結(jié)論[6-8].

反對(duì)合x(chóng)→xc是由到的實(shí)線性映射,滿足下列性質(zhì)：

(xc)c=x, ?x∈,

(xy)c=ycxc, ?x,y∈,

xc=x, ?x∈R.

t(x)∶=x+xc∈,

x的(平方)范數(shù)為

n(x)∶=xxc∈.

定義1交錯(cuò)代數(shù)中的二次錐面Q是由下式給出的實(shí)錐面

Q∶=R∪{x∈|t(x)∈R,n(x)∈R,4n(x)>t(x)2}.

假設(shè)二次錐面Q≠R等價(jià)地，即≠?.注意到對(duì)任意I≠±J的I,J∈,有Q=UJ∈SCJ和CI∩CJ=R.對(duì)任意x∈QR,則可記x=α+βJ,其中α，β∈R,且J∈.因此，這時(shí)定義實(shí)部和虛部是有意義的.

Ren等[9]首次引入了正則二次錐面,它一般比二次錐面小，但在其上的slice正則函數(shù)具有一些非常好的性質(zhì).

引理1[6]令S是的純虛球面，M是的導(dǎo)出S的子集,則存在上的范數(shù)‖·‖,使得對(duì)x∈M,有

由于

S∶={x∈|‖x‖=1}

引理2[10]若令

C

則對(duì)任意x,y∈,有

‖xy‖≤C‖x‖‖y‖,

(1)

并且，對(duì)任意x,y∈,其中x∈Q或者y∈Q,有

c‖x‖‖y‖≤‖xy‖.

此引理可用來(lái)估計(jì)有理函數(shù)逼近中slice正則函數(shù)的收斂性.

給定D為C中的開(kāi)集，在復(fù)共軛下不變.令

其中x=α+iβ∈D,[x]=α+β.

易知ΩD是Q的相對(duì)開(kāi)子集，則此集合ΩD是slice函數(shù)定義的自然定義域，由于在-1平方根運(yùn)算下保持不變，其被稱為的循環(huán)域.

定義3定義在一個(gè)開(kāi)集D?C上且在復(fù)共軛下保持不變的函數(shù)F:D→C被稱為stem函數(shù)，如果F=F1+iF2中-值F1,F2滿足偶-奇對(duì)，即

每一個(gè)stem函數(shù)F=D→AC可通過(guò)

f(x)∶=F1(z)+JF2(z),?x∈ΩD∩CJ

誘導(dǎo)出一個(gè)(左)slice函數(shù)

如果F1和F2是R實(shí)值的，則稱slice函數(shù)f保slice的.若F=F1+iF2≠0,那么其逆為

引理3(表示公式)[7]令f是軸對(duì)稱slice域Ω?Q上的正則函數(shù)，I,J∈,則對(duì)所有y=u+vI∈Ω,下式成立.

α(u,v)+Iβ(u,v).

其中α，β僅依賴于u,v∈R,且u+vJ∈ΩJ,但不依賴于J∈.

將ΩD上的slice正則函數(shù)的函數(shù)空間記為

軸對(duì)稱slice域可作為slice正則函數(shù)的天然定義域[7-8].

記

引理4(分裂引理) 令f是定義在對(duì)稱slice域ΩD?Q上的一個(gè)正則函數(shù).令J∈或S,并存在中與J可交換的分裂基

使得‖Kj‖=1對(duì)每一個(gè)j∈{1,…,h}成立,則存在全純函數(shù)Fj:ΩJ→CJ,j=1,…,h,

2 Runge定理

在下文中，令Zf表示slice函數(shù)f的零點(diǎn)集合.

引理5設(shè)F:D?C→A是一個(gè)stem函數(shù)，且滿足FcF是一個(gè)保slice的函數(shù)，并在D的一個(gè)緊子集上不為0.令ΩD={x=u+Jv|z=u+iv∈D,J∈是一個(gè)slice正則函數(shù),則f的slice正則逆為定義在上的函數(shù)

證易知stem函數(shù)((FcF)-1Fc)(z)=α(z)+iβ(z)中的α,β滿足Cauchy-Riemann條件，這可從偶-奇對(duì)的F,Fc得到.另外，有

((FcF)-1Fc)F=(FcF)-1(FcF)=1.

最后，由FcF保slice知，F(xiàn)cF是一個(gè)實(shí)的stem函數(shù)，故

有

引理6令Ω∶=ΩD表示Q中一個(gè)軸對(duì)稱slice域.一個(gè)slice正則函數(shù)f:Ω→A是有理的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意J∈和中滿足‖Kj‖=1的分裂基{K0=1，J，K1，JK1,…，Kh,JKh},存在h+1個(gè)有理函數(shù)Rj:ΩJ→CJ使得，對(duì)任意u+Jv∈ΩJ∶=Ω∩CJ,有

(2)

fJ(u+Jv)=(AcA)-1AcB(u+Jv)=

(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1(αcγ-βcδ+J(αcδ+βcγ))(u+Jv).

選擇與J可交換的的一個(gè)分裂基{1，J,K1，JK1，…，Kh,JKh}.注意多項(xiàng)式αcγ-βcδ+J(αcδ+βcγ)可寫(xiě)成

其中多項(xiàng)式Pj:ΩJ→CJ.

由于函數(shù)(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1是保slice的，其系數(shù)屬于CJ,直接可得

Rj(u+Jv)=(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1Pj(u+Jv).

易知Rj：ΩJ→CJ是一個(gè)有理函數(shù).

反之，假設(shè)對(duì)于一個(gè)給定的J∈,由分裂引理知，限制在CJ上的fJ可記為(2).每一個(gè)有理函數(shù)Rj：ΩJ→CJ均可寫(xiě)成

(Qc(y)Q(y))-1Qc(y)P(y).

由表達(dá)式可知函數(shù)f在Ω上是一個(gè)有理函數(shù)，可表示為

α(u,v)+Jxβ(u,v),x=u+Jxv,

接下來(lái)，說(shuō)明f的形式為f=a-1b.每一個(gè)有理函數(shù)Rj:ΩJ→CJ均可記為

其中Pj,Qj為多項(xiàng)式.于是有

則有

類似可得

因此，

Q的系數(shù)屬于的子代數(shù)CJ,QcQ為不等于0的實(shí)函數(shù).

定義6令f是Q給出一個(gè)循環(huán)開(kāi)子集Ω上的slice正則函數(shù).稱點(diǎn)y∈Q為f的奇異點(diǎn)，若存在R>0使得∑(y,0,R)?Ω,這時(shí)f可有一個(gè)洛朗展開(kāi)

對(duì)f來(lái)說(shuō)，點(diǎn)y被稱為極點(diǎn)，若存在m≥0使得a-k=0對(duì)所有k>m成立.

引理7[10]交錯(cuò)代數(shù)中一個(gè)有理函數(shù)的奇異點(diǎn)是形如u+v的孤立球面.

定理1令K是中軸對(duì)稱的緊集，記E為中每一個(gè)連通分支中有一個(gè)點(diǎn)的集合,則對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱開(kāi)集Ω?K,每一個(gè)f∈SR(Ω),對(duì)任意ε>0,都存在一個(gè)球面上的有理函數(shù)r,其極點(diǎn)在集合E中，且對(duì)z∈K,有

‖f(z)-r(z)‖<ε.

證首先考慮函數(shù)f在復(fù)平面CJ上的限制.由分裂引理知，對(duì)每一個(gè)J∈S(的一個(gè)純虛球面)，存在的一組分裂基K1,…,Kh∈S,滿足‖Kj‖=1,及存在全純函數(shù)Fj:ΩJ→CJ,j=1,…，h使得

{K0∶=1，K1，…,Kh，J，JK1，…，JKh}

根據(jù)復(fù)平面上的Runge定理[11]知，有h+1個(gè)極點(diǎn)在E?CJ中的有理函數(shù)Rj(u+Jv),使得

(3)

由于Ω?CJ關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則表示公式可將r(u+Jv)延拓到整個(gè)Ω,且

現(xiàn)在考慮‖f(x)-r(x)‖.由表示公式，有

‖f(x)-r(x)‖

根據(jù)分裂引理和引理2中的(1),可得

‖f(x)-r(x)‖

因此，由(3)可得

‖f(x)-r(x)‖≤ε.

‖f(x)-rn(x)‖

如果K是Ω中的軸對(duì)稱緊集，由假設(shè)可保證存在N∈N使得對(duì)所有n≥N,有K?Kn,則

‖f(x)-rn(x)‖

3 Carleman定理

本節(jié)考慮交錯(cuò)代數(shù)中的Carleman型逼近定理.用ΩC表示一個(gè)可交換集，其可記為

其中任意x=a+iβ∈C,[x]=α+β.易知ΩC∈Q.

若函數(shù)f在整個(gè)ΩC中是slice正則的，則稱其為一個(gè)整函數(shù).

每一個(gè)slice正則整函數(shù)有如下的冪級(jí)展開(kāi)

此展開(kāi)在ΩC中處處收斂，并且在ΩC中任一緊子集上一致收斂.

經(jīng)計(jì)算可知，由于收斂半徑是無(wú)窮的，故

Carleman型定理揭示了任何定義在R上-值的連續(xù)函數(shù)，都在實(shí)軸R上可由slice正則整函數(shù)一致逼近，且具有任意的逼近階.

定理4令f:R→和h:R→(0,+∞)是R上的連續(xù)函數(shù),則存在全純函數(shù)G:ΩC→,對(duì)所有x∈R,有

‖f(x)-G(x)‖

定理4需要一些輔助引理并參考了文獻(xiàn)[12]中復(fù)情形的做法.

引理8設(shè)函數(shù)f:R→在R上連續(xù)，則存在一個(gè)無(wú)零點(diǎn)的整函數(shù)g：ΩC→,滿足對(duì)所有x∈R,有g(shù)(x)∈R和g(x)>‖f‖.

證記Cn=max{‖f(x)‖| |x|≤n+1,x∈R},n∈N.

顯然，對(duì)所有x∈R,均有h(x)≥0,則對(duì)于|x|<1,有

h(x)≥C0≥‖f(x)‖.

而對(duì)1≤n≤|x|

即對(duì)所有的x∈R,有h(x)>‖f(x)‖.

最后，令g(w)=eh(w)來(lái)得到所需的整函數(shù).由于ew,h(w)都是保slice的，故其2個(gè)slice正則函數(shù)的部分也是slice正則的.

引理9令[a,b]是R中的區(qū)間，并且slice函數(shù)f:[a,b]→是一個(gè)連續(xù)函數(shù).對(duì)任k∈N,令

則對(duì)任意ε>0,有一致收斂

證考慮函數(shù)f在復(fù)平面CJ上的限制.令J∈,且

{K0∶=1，J，K1，JK1，…，Kh，JKh}

f的連續(xù)性蘊(yùn)含了Fj為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù).

該結(jié)論對(duì)復(fù)值函數(shù)成立[12],對(duì)每一個(gè)j,通過(guò)在被積函數(shù)中寫(xiě)Fj(t)而不是f(t),如(4)定義Fj，k(x),則對(duì)每一個(gè)ε>0,有

引理10設(shè)f:R→在R上連續(xù)，則對(duì)每一個(gè)n∈Z,均存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)fn:R→,其支撐在[-1,1]上，滿足對(duì)所有x∈R,有

證類似引理9的證明，可給出函數(shù)

則函數(shù)Fj,n(x)可構(gòu)造為

引理11設(shè)slice函數(shù)f:R→在R上連續(xù)，在[-1,1]上有緊支撐.記

T={w∈ΩC:|Re(w)|>3,|Re(w)|>2‖Im(w)‖}.

對(duì)任意ε>0,存在整函數(shù)F:ΩC→,使得對(duì)所有x∈R,有‖f(x)-F(x)‖<ε，并且對(duì)w∈T,有‖F(xiàn)(w)‖<ε.

證對(duì)任意k∈N,令

易知，函數(shù)e-k2(w-t)2是slice正則的，并且當(dāng)對(duì)其右乘f(t),其仍然保slice正則的，這是由于slice正則函數(shù)可組成上的右向量空間，并且在[-1,1]上有緊支撐，故f也一樣.因此fk(w)可被寫(xiě)為冪級(jí)數(shù)，并對(duì)所有k∈N,其是slice正則整函數(shù).

則對(duì)所有的w∈T,有

‖fk(w)‖

引理12設(shè)slice函數(shù)f:R→在R上連續(xù)，則存在整函數(shù)F:ΩC→,使得對(duì)所有x∈R,有

‖f(x)-F(x)‖< 1.

證對(duì)于n∈Z,取引理10中的一個(gè)fn,由引理11,對(duì)每一個(gè)fn,都有一個(gè)整函數(shù)Fn,滿足

‖fn(x)-Fn(x)‖< 2-|n|-2,‖F(xiàn)n(x)‖<2-|n|.

令N∈N,那么選擇w使得‖w‖≤N且|n|>3N+3,則有

‖Re(w-n)‖≥|n|-‖Re(w)‖>2N+3>3,

‖Im(w-n)‖=‖Im(w)‖

一致收斂到某個(gè)函數(shù)F,就像對(duì)所有J∈Q,其在任意復(fù)平面CJ上的限制一樣.故對(duì)滿足‖w‖≤N的w,有

因此，F(xiàn)是一個(gè)整函數(shù).另外，對(duì)任意x∈R,有

‖f(x)-F(x)‖

定理4的證明由引理8,存在無(wú)零點(diǎn)的整函數(shù)h:ΩC→,其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，并滿足對(duì)所有x∈R,有引理12意味著存在一個(gè)整函數(shù)F:ΩC→,使得

‖h(x)f(x)-F(x)‖A<1,x∈R.

函數(shù)h(x)是實(shí)值的，故

選擇G(w)=h(w)-*F(w),得證.

在R中的緊子區(qū)間上使用多項(xiàng)式一致逼近的Weierstrass逼近定理很容易從Carleman定理得到.

推論1設(shè)[a,b]是R上任意緊子區(qū)間，f:[a,b]→是連續(xù)的,則對(duì)任意ε>0,存在多項(xiàng)式P:[a,b]→滿足

‖f(x)-P(x)‖<ε, ?x∈[a,b].

即

注 由于四元數(shù)及八元數(shù)為實(shí)交錯(cuò)代數(shù)中的一種特殊情況，在四元數(shù)及八元數(shù)情形，可以得到類似的Runge和Carleman型逼近定理.