基于塊對角化的通信雷達頻譜共存設(shè)計

韓凱峰，黃立濤，陳力，王志勤

（1.中國信息通信研究院移動通信創(chuàng)新中心，北京 100191；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子工程與信息科學(xué)系，安徽 合肥 230026）

1 引言

隨著移動設(shè)備的爆炸性增長以及其他射頻應(yīng)用的迅速擴張，無線電頻譜正變得越來越擁擠[1]。對于6 GHz 以下的頻段，大多數(shù)商業(yè)通信系統(tǒng)工作于此，然而同頻段工作的還有用于氣象觀測和交通控制等任務(wù)的雷達系統(tǒng)[2]。被汽車雷達和高分辨率成像雷達所占據(jù)的毫米波頻段，現(xiàn)在也要將其作為許可頻段分配給5G 網(wǎng)絡(luò)[3]?？梢灶A(yù)見，頻譜擁擠的現(xiàn)象將進一步加劇。為了更加高效地利用頻譜資源，解決通信和雷達同頻共存的問題，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界對通信雷達頻譜共存（CRC,communication-radar coexistence）[4-5]進行了大量的研究。根據(jù)文獻[6]可知，通信雷達頻譜共存指的是通信和雷達系統(tǒng)在同一頻段共存并同時運行，需要設(shè)計其中一套系統(tǒng)的發(fā)射波束或者分別設(shè)計兩者的發(fā)射波束，去消除它們之間的干擾，從而保證兩套系統(tǒng)能正常工作。

由于雷達系統(tǒng)有其特定的性能指標，而傳統(tǒng)的認知無線電技術(shù)[7]只考慮了具有相同性能指標的通信系統(tǒng)間頻譜共存，不能直接用于通信雷達頻譜共存問題。關(guān)于通信雷達頻譜共存，文獻[8]考慮了機會性頻譜共存，它將旋轉(zhuǎn)雷達設(shè)為頻段的主要用戶，通信系統(tǒng)設(shè)為頻段的次要用戶，通信系統(tǒng)工作的前提是其發(fā)射功率不超過雷達所允許的干擾信噪比。值得注意的是，以上的方法僅僅允許通信系統(tǒng)在特定條件下才能正常工作，且只考慮了相控陣雷達，一旦雷達換成全向發(fā)射的多輸入多輸出（MIMO，multiple-input multiple-output）雷達，系統(tǒng)的性能將急劇下降?；贛IMO 通信下的迫0預(yù)編碼[9]，文獻[10]通過不對通信系統(tǒng)進行任何改變，將MIMO 雷達波形投影到雷達與通信系統(tǒng)之間干擾信道矩陣的0 空間上，犧牲MIMO 雷達的一部分性能換取對通信系統(tǒng)的0 干擾，作為MIMO 雷達與通信系統(tǒng)在同一頻段共存的解決方案。文獻[11]在文獻[10]的基礎(chǔ)上，將MIMO 雷達波形投影到干擾信道矩陣0 空間的擴展子空間上，引入了一定量對通信系統(tǒng)的干擾。通過保證MIMO 雷達對通信系統(tǒng)的干擾低于預(yù)先設(shè)定好的閾值，既減少了對MIMO 雷達性能的犧牲，又保證了MIMO 雷達與通信系統(tǒng)在同一頻段正常工作。文獻[12]采用交替優(yōu)化的算法，在通信系統(tǒng)發(fā)射功率和系統(tǒng)容量的約束下，聯(lián)合優(yōu)化MIMO 雷達的采樣方案和MIMO 通信系統(tǒng)的波束成形矩陣，使MIMO 通信系統(tǒng)對MIMO 雷達造成的干擾達到最小化。為了進一步解決更加實際的多用戶情況，文獻[13]考慮了多用戶MIMO 通信系統(tǒng)和MIMO 雷達間的頻譜共存，利用已知的通信用戶間干擾，在通信系統(tǒng)的發(fā)射功率和信干噪比的限制條件下，通過設(shè)計通信系統(tǒng)的波束成形矩陣，從而最大化雷達的檢測概率。文獻[14]考慮了在不完美信道狀態(tài)信息的情況下，多用戶MIMO 通信系統(tǒng)和MIMO 雷達的頻譜共存問題，使設(shè)計出的通信波束成形矩陣更具備穩(wěn)健性。

由于是通信系統(tǒng)在雷達頻段上進行頻譜共享，那么雷達系統(tǒng)作為頻段的擁有者，不能要求其改變自身的工作模式，同時通信系統(tǒng)也不能對其造成干擾。但是上述的相關(guān)工作如文獻[10-11]考慮的是雷達系統(tǒng)接入通信頻段，文獻[12-14]考慮的是重新設(shè)計通信和雷達系統(tǒng)的發(fā)射波形，都不符合這種場景。所以本文考慮將一個多用戶MIMO 下行通信系統(tǒng)接入MIMO 雷達頻段，通過設(shè)計通信系統(tǒng)的波束成形矩陣，在對雷達不造成任何干擾，以及滿足自身發(fā)射功率限制的條件下最大化通信系統(tǒng)的和速率。由于該問題數(shù)學(xué)建模后非凸且不具備解析解，因此本文引入了一種基于塊對角化（BD,block diagonalization）的低復(fù)雜度波束設(shè)計，通過增加用戶間干擾為0 這一約束條件，從而使原問題具備解析解。但是，增加的約束條件會限制通信系統(tǒng)收發(fā)兩端的天線數(shù)。所以本文進一步考慮了在不滿足限制條件的情況下，將塊對角化與子信道正交和用戶選擇這2 種算法結(jié)合，放寬了收發(fā)兩端天線數(shù)的限制，從而使原問題在各種條件下都具備解析解。

在本文中，用大寫粗體字母表示矩陣，小寫粗體字母表示矢量。HH表示矩陣H的共軛轉(zhuǎn)置；標記C 表示復(fù)數(shù)域；標記表示對實數(shù)X向下取整數(shù)；標記(A)+表示當(dāng)A為負數(shù)時取0，A為非負數(shù)時取A；標記len(B)表示集合B中的元素個數(shù)。

2 問題建模

2.1 系統(tǒng)模型

來表示通信系統(tǒng)和雷達系統(tǒng)的發(fā)射接收天線數(shù)的設(shè)置情況。

圖1 通信雷達頻譜共存場景模型

考慮通信用戶間的干擾和雷達對通信用戶的干擾，假設(shè)2 個系統(tǒng)具有相同的符號率，并且在采樣時間方面是同步的，那么在L個符號持續(xù)時間內(nèi)通信用戶j接收到的信號為

那么通信系統(tǒng)的和速率可以表示為

由于MIMO 雷達將會作為頻段的擁有者，故在雷達側(cè)只需要表征通信基站對MIMO 雷達所造成的干擾。根據(jù)文獻[14]中雷達接收到來自通信基站干擾信號的公式，雷達系統(tǒng)接收到的干擾功率可表示為

2.2 問題建模

本文考慮通信系統(tǒng)接入雷達頻段的通信雷達頻譜共存場景，即MIMO 雷達系統(tǒng)具有更高優(yōu)先級。通信系統(tǒng)首先要通過設(shè)計發(fā)射預(yù)編碼矩陣，消除通信信號對雷達系統(tǒng)的干擾才能接入雷達頻段。完成干擾消除的同時，本文選擇了最大化通信系統(tǒng)的和速率作為優(yōu)化目標?？紤]到通信系統(tǒng)和速率的最大值總在通信基站的發(fā)射功率等于門限值時取到，所以在保證對雷達系統(tǒng)不造成任何干擾以及符合通信基站自身功率限制的前提下，通信系統(tǒng)和速率最大化問題可以建模為

其中，Pj是分配給第j個通信用戶的發(fā)射功率大小是基站總的發(fā)射功率大小，Ptotal是基站發(fā)射功率的門限值是由通信用戶j的接收噪聲和雷達系統(tǒng)對通信用戶j的干擾噪聲疊加而成的混合噪聲等效于將通信基站對雷達系統(tǒng)的干擾功率大小置0，即滿足通信系統(tǒng)對雷達系統(tǒng)不造成任何干擾，可以通過將波束成形矩陣W投影到干擾信道G0的0 空間上實現(xiàn)。

3 不同自由度下的塊對角化算法

由于問題 P0非凸，不具備解析解。但是增加一定的約束條件后，可以獲得解析解[15]。受啟發(fā)于文獻[10-11]，本文選擇引入HW是塊對角的，也就是

去完全消除用戶間的相互干擾。假設(shè)中間矩陣定義為

為了完全消除用戶間干擾以及保證通信用戶j能夠接收到數(shù)據(jù)，需要將波束成形矩陣Wj投影到中間矩陣的0空間上，并且0空間的維度必須大于0。也就是通信系統(tǒng)的發(fā)射天線數(shù)需要滿足

才能引入式(7)這一約束條件。式(9)中加入MIMO雷達的接收天線Mr是因為在滿足式(7)完全消除用戶間干擾的同時，必須要保證通信基站對雷達不造成任何干擾，所以還需要將波束成形矩陣投影到信道G0的0 空間上。當(dāng)通信系統(tǒng)的發(fā)射天線數(shù)滿足式(9)時，問題 P0可以寫成

對問題 P1，本文提出了低復(fù)雜度、非迭代的CRC BD 算法來求解。

由于式(9)對天線數(shù)的限制，CRC BD 算法對于所能容納的最多通信用戶數(shù)也有所限制，因此對各個通信用戶的接收天線數(shù)做出了假設(shè)。當(dāng)時，CRC BD 算法所能容納的最多通信用戶數(shù)為

但裝有Nt個發(fā)射天線的基站總可以發(fā)送Nt個無干擾的數(shù)據(jù)流，意味著裝有Nt個發(fā)射天線的基站可以最多容納Nt個用戶。所以當(dāng)通信基站的發(fā)射天線數(shù)無法滿足式(9)、用戶數(shù)時，本文提出了CRC Modified BD 算法，將式(9)放寬為

其中，m j表示第j個通信用戶選取的子信道數(shù)目且因此當(dāng)通信用戶數(shù)

時，還可以引入式(7)使問題 P0具備解析解。

最后本文提出了基于貪心選擇的CRC User Selection 算法，該算法考慮從龐大的用戶集中選取次優(yōu)的用戶子集來滿足CRC BD 算法的天線條件。當(dāng)通信用戶數(shù)

時，仍舊可以引入式(7)使問題 P0具備解析解。

3.1 CRC BD 算法

根據(jù)上述討論，當(dāng)通信基站的發(fā)射天線數(shù)目滿足式(9)，即通信用戶數(shù)滿足式(11)時，問題 P0可以寫成問題 P1，并由CRC BD 算法求解。該算法就是在滿足通信基站功率限制的條件下，找到合適的波束成形向量使基站對雷達的干擾為0 以及通信用戶間的干擾為0，從而最大化通信系統(tǒng)的和速率。所以需要將第j個用戶的波束成形向量Wj置于通信基站到通信用戶信道鏈路和通信基站到MIMO 雷達信道鏈路G0的0 空間上。引入中間矩陣定義為

那么當(dāng)波束成形向量Wj位于矩陣的0空間內(nèi)時，就能滿足通信基站對雷達以及通信用戶間的干擾為0。

3.2 CRC Modified BD 算法

CRC BD 算法的基本思想是將基站到雷達以及基站到各通信用戶之間的信道鏈路相互正交。但是在某些情況下，如通信系統(tǒng)處于低信噪比時，基站到用戶信道鏈路中某幾條子信道的信道增益會趨于0，因此CRC Modified BD 算法僅僅考慮各條信道的主導(dǎo)子信道，即信道增益較大的子信道之間相互正交，引入一定量用戶間干擾的同時，將省下的空間自由度容納更多的通信用戶，從而提升通信系統(tǒng)的和速率。那么問題 P1可以重新寫成

這樣就完成了各條信道主子信道的選取。定義中間矩陣

3.3 CRC User Selection 算法

當(dāng)通信用戶數(shù)K＞Nt-Mr時，上述2 種算法由于分別受限于式(9)和式(12)，將不再滿足必要的收發(fā)天線數(shù)限制條件，但可以應(yīng)用CRC User Selection算法引入式(7)的約束，使原問題 P0具備解析解。此時，問題轉(zhuǎn)換為對通信用戶數(shù)K＞Nt-Mr的多用戶通信系統(tǒng)來說，如何選擇一個用戶子集來滿足CRC BD 算法的天線條件，從而使通信系統(tǒng)和速率最大化。顯而易見，在所有可能的用戶集上進行窮盡搜索，可以得到一個最優(yōu)的用戶子集。然而，如果通信系統(tǒng)中的用戶數(shù)很大，其復(fù)雜性是令人望而卻步的。例如，如果是CRC BD 算法可以同時支持的最大用戶數(shù)，K是用戶總數(shù)，那么窮盡搜索的算法復(fù)雜度大致為而本文提出的CRC User Selection 算法作為一種次優(yōu)算法，將復(fù)雜度降為的同時，性能卻能夠極大地靠近最優(yōu)解。假設(shè)每個用戶都利用其所有的接收天線且通信用戶的接收天線數(shù)量保持一致，都為Nr。那么CRC User Selection 算法就是在保證對雷達系統(tǒng)干擾為0 的情況下，從K個通信用戶中選取最多個用戶組成用戶集S，應(yīng)用CRC BD 算法，從而最大化通信系統(tǒng)的和速率。

令Ω表示未選擇用戶的集合，S表示已選擇用戶的集合。CRC User Selection 算法首先選擇吞吐量最大的單個用戶；然后從剩余的未選擇用戶中，找到與這些被選擇的用戶一起提供最大和速率的用戶。當(dāng)用戶集S選滿了K個用戶，或者新選擇的用戶使通信和速率下降時，該算法就會終止（由于為了滿足用戶間0 干擾的要求，每個用戶的0 空間大小都會減小，因此總吞吐量可能會隨著增加一個用戶而降低[17]）。顯然，所提算法在不超過KK個用戶集上進行搜索，與窮盡搜索方法相比，大大降低了復(fù)雜度。CRC User Selection 算法（算法3）的具體步驟如下。

算法3CRC User Selection 算法

4 仿真實驗

在進行仿真實驗前，首先通過表1 列出不同收發(fā)天線數(shù)和通信用戶數(shù)限制條件下所適配的算法。從表1 中可以觀察到，本文提出的3 種算法能在大部分的場景下求解原問題 P0。

表1 各限制條件下所適配的算法

以下將基于若干常用假設(shè)及不同仿真參數(shù)來進一步仿真驗證本文提出的3 種算法的性能，仿真實驗結(jié)果都是基于1 000 次仿真計算的平均值。首先，假設(shè)所有信道鏈路的信道狀態(tài)信息元素均為獨立且同分布的復(fù)高斯隨機變量，且混合噪聲均值為0、方差為1，上述假設(shè)為相關(guān)研究文獻[12-13]中的常用假設(shè)。其次，在圖2～圖6 中，假設(shè)信道估計非常準確（即信道狀態(tài)信息完美已知），用以驗證3 種算法的有效性。在圖7 中，假設(shè)信道估計結(jié)果存在不同程度的誤差，用以初步驗證本文提出算法的穩(wěn)健性。具體表示為：基于文獻[13]中的信道估計誤差模型，將信道矩陣建模為其中表示估計的信道矩陣；e0和ej分別滿足，表示信道狀態(tài)信息的不確定度。假設(shè)通信基站處對和已知，但對e0和ej具體值未知（僅知其范數(shù)的范圍

圖2 顯示了在CRC BD 算法下，改變通信用戶數(shù)量K后的通信系統(tǒng)和速率與通信基站發(fā)射功率之間的關(guān)系。仿真條件為：當(dāng)K=1時，系統(tǒng)的天線配置為{2,2} × 4；當(dāng)K=2時，系統(tǒng)的天線配置為{2,2,2} × 6；當(dāng)K=3時，系統(tǒng)的天線配置為{2,2,2,2} × 8。天線配置的表示形式含義與式(1)中定義一致，以上天線配置均為滿足CRC BD 算法所必要的天線條件。CRC BD/WF 代表使用注水算法來進行功率分配后的 CRC BD 算法；CRC BD/AVE 代表使用平均功率分配后的CRC BD 算法；CRC BD/R 代表使用隨機功率分配后的CRC BD 算法，基本思想是將總功率大小按照隨機的方式分配給各個通信用戶；CRC BD/A 代表使用基于天線選擇功率分配后的CRC BD 算法，基本思想是根據(jù)信道質(zhì)量的優(yōu)劣來進行功率分配。

圖2 CRC BD 算法下和速率與通信用戶數(shù)的關(guān)系

從圖2 中可以觀察到，本文提出的CRC BD 算法在保證對MIMO 雷達干擾為0 的前提下，隨著通信基站的發(fā)射功率提升，系統(tǒng)的和速率也相應(yīng)增加。并且固定基站的發(fā)射功率后，隨著通信用戶數(shù)量的增加，通信系統(tǒng)的和速率也會穩(wěn)步提升。在相同條件下，當(dāng)CRC BD 算法中功率分配這一步驟采用其他算法時，可以觀察到使用注水算法進行功率分配較其他3 種功率分配算法能取得更好的性能。

圖3 基于圖2 中K=3的CRC BD 算法，固定通信用戶數(shù)和接收天線數(shù)不變，改變通信基站的發(fā)射天線數(shù)。系統(tǒng)的天線配置為{2,2,2,2} × 8、{2,2,2,2} × 10和{2,2,2,2} × 12。從圖3 中可以觀察到，當(dāng)通信基站的發(fā)射功率相同時，隨著通信基站的發(fā)射天線數(shù)增加，應(yīng)用CRC BD 算法后的通信系統(tǒng)和速率也相應(yīng)提升，進一步說明了算法的有效性。同時，隨著發(fā)射天線數(shù)目的增加，平均功率分配下的CRC BD算法和基于天線選擇功率分配下的CRC BD 算法與使用注水算法進行功率分配的CRC BD 算法相比，它們的性能差距不斷縮小。

圖3 CRC BD 算法下和速率與通信基站發(fā)射天線數(shù)的關(guān)系

圖4 顯示了在固定雷達和通信用戶接收天線數(shù)都為兩根的條件下，對CRC Modified BD 算法和使用注水算法進行功率分配后的CRC BD 算法，通過改變通信基站的發(fā)射天線數(shù)，分別選取滿足式(9)和式(12)所能容納的最大用戶數(shù)K，從而進行性能比較。在保證容納最多用戶的前提下，當(dāng)通信基站的發(fā)射天線數(shù)分別為4 根、6 根和8 根時，根據(jù)式(9)，CRC BD 算法的天線配置分別為{2,2} × 4、{2,2,2} × 6和{2,2,2,2} × 8；根據(jù)式(12)，CRC Modified BD 算法的天線配置分別為{2,2,2} × 4、{2,2,2,2,2} × 6和{2,2,2,2,2,2,2} × 8。從圖4 中可以觀察到，在相同的條件下，CRC Modified BD 放寬了CRC BD 的天線限制條件，通過引入一定量的用戶間干擾，從而可以容納更多的通信用戶，因此取得了更好的性能。

圖4 CRC Modified BD 算法下和速率與通信基站發(fā)射功率的關(guān)系

圖5 考慮了當(dāng)通信用戶數(shù)遠大于CRC BD 算法所能容納的最多用戶數(shù)時，應(yīng)用 CRC User Selection 算法后得到的系統(tǒng)性能與最優(yōu)解之間的差距。天線配置為{2,2,2,2} × 8，此時通信系統(tǒng)能容納的最多用戶數(shù)那么CRC User Selection算法就是要從一個大用戶集中最多選取3位通信用戶最大化通信系統(tǒng)的和速率。Optimum 代表最優(yōu)解（即窮舉式算法）；C-max 代表從大用戶集中選取信道容量最大的前3 位通信用戶；F-max 代表從大用戶集中選取信道狀態(tài)最好的前3 位通信用戶；Random 代表從大用戶集中隨機選取3 位通信用戶，作為算法性能基線。根據(jù)仿真結(jié)果，所提算法能夠?qū)崿F(xiàn)的通信系統(tǒng)和速率約為最優(yōu)解的95%左右。并且在低信噪比的情況下，所提算法實現(xiàn)了幾乎與最優(yōu)解相同的性能，這是因為算法的第一步是對速率最大的用戶進行波束成形，對于低信噪比情況下CRC BD算法的和速率而言是漸近最優(yōu)的。對于高信噪比，盡管所提算法因搜索范圍縮小很難找到最優(yōu)的用戶子集，但由于每一步迭代都是基于使通信系統(tǒng)的和速率達到最大化，因此它仍可以在低計算復(fù)雜度的情況下，性能接近最優(yōu)解。而F-max 算法和C-max 算法僅分別選取了信道質(zhì)量最好的和信道容量最高的前個用戶，所以性能只是優(yōu)于隨機選取算法。

圖5 CRC User Selection 算法下和速率與總通信用戶數(shù)的關(guān)系

圖6 比較了各個用戶選擇算法的計算復(fù)雜度。從圖6 觀察可得，最優(yōu)解運行一次算法的時間隨著總通信用戶數(shù)的增加，呈指數(shù)級增長趨勢。而本文所提算法雖是一種迭代算法，但運行一次算法的時間隨著總通信用戶數(shù)的增加呈線性增長，同時還能達到最優(yōu)解性能的95%，說明本文提出的CRC User Selection 算法具備可行性，且復(fù)雜度相對較低。由于其他2 種用戶選擇算法是非迭代的算法，只需要根據(jù)各個通信用戶信道的容量或者信道的質(zhì)量來選取前個通信用戶，涉及的僅是排序算法，因此計算復(fù)雜度較低，但也帶來較大的性能損失。

圖2～圖6 中的仿真實驗均基于信道估計結(jié)果非常準確（即信道狀態(tài)信息完美已知），但由于在實際情況下信道估計并非完美，存在不同程度的誤差。為此，圖7 仿真驗證了不同程度的信道估計誤差對CRC BD 算法性能所產(chǎn)生的影響。由于CRC Modified BD 算法與CRC User Selection 算法在有信道估計誤差的情況下具有類似結(jié)果，因此不進行重復(fù)驗證。參數(shù)設(shè)置如下：信道估計誤差模型基于式(29)，天線配置條件為{2,2,2,2} × 8，假設(shè)信道不確定度范數(shù)的范圍。其中，Perfect CSI 代表信道估計信息非常準確（即δ2=0，信道狀態(tài)信息完美已知），隨著δ2的增大，信道估計誤差增大。觀察圖7 發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信道估計誤差較?。ㄈ绂?≤0.1）時，CRC BD 算法性能并未有明顯下降（系統(tǒng)和速率下降在0.5 dB 以內(nèi)），具有一定的穩(wěn)健性。隨著信道估計誤差增大，算法性能下降較明顯（如δ2=1.0 時，系統(tǒng)和速率下降超過1 dB），因此在后續(xù)研究中，需要針對性設(shè)計能夠適應(yīng)非完美信道估計下的穩(wěn)健算法。

圖6 各用戶選擇算法運行一次時長與總通信用戶數(shù)量的關(guān)系

圖7 CRC BD 算法在信道估計不完美情況下的性能分析

5 結(jié)束語

本文提出了一種在通信與雷達同頻共存場景下基于塊對角化的波束設(shè)計方案。首先根據(jù)具體場景建立了優(yōu)化問題，提出了塊對角化的結(jié)構(gòu)，引入通信用戶間干擾為0 的約束，使非凸的原優(yōu)化問題具備解析解。其次提出了2 種改進算法，放寬了引入約束所帶來的關(guān)于收發(fā)天線數(shù)的限制條件。最后通過仿真驗證說明了所提算法的可行性及性能效果。本文所提算法性能接近最優(yōu)結(jié)果，且具備解析解、計算復(fù)雜度較低，能夠簡化發(fā)射機和接收器結(jié)構(gòu)，實際工程應(yīng)用價值較高。下一步，將聚焦研究分析信道估計誤差對算法性能的定量影響并設(shè)計針對非完美信道估計下的最優(yōu)穩(wěn)健算法。