比較一類對(duì)數(shù)大小的方法策略*

佛山市第一中學(xué)(528000) 劉振興 程生根 陳 豪

比較對(duì)數(shù)大小的試題是高考中的常見題型,此類試題雖然題目簡(jiǎn)短但內(nèi)涵豐富,不僅考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),還綜合考察導(dǎo)數(shù)和不等式等知識(shí).對(duì)于比較底數(shù)相同的對(duì)數(shù)大小,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可.可對(duì)于比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對(duì)數(shù)大小,學(xué)生有時(shí)感覺比較困難,究其原因是沒有選擇好合適的方法,本文歸納了比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對(duì)數(shù)大小的八種方法,以期給讀者啟發(fā).

方法一: 找中間量

找中間量法是比較大小經(jīng)常使用的方法,一般先估算對(duì)數(shù)的范圍,再找中間量,可很多時(shí)候考生找不到合適的中間量.找中間量需要一定的技巧和方法,先看下面例題.

例1比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小.

(1)log53,log45; (2)log58,log67;

(3)log53,log96; (4)log34,log57.

解析(1)因?yàn)閘og53＜1,log45＞1.中間量取1 即可,所以log53＜log45.

(2)找中間量log68 或log57,因?yàn)閘og58＞log68＞log67,log58＞log57＞log67,所以log58＞log67.

(3)思路一: 考慮中間量log56 或log93,因?yàn)閘og53∈所以log56 和log93 都不能作為中間量.

(4)思路一: 考慮中間量log37 或log54.因?yàn)閘og34∈(1,2),log57∈(1,2).因?yàn)閘og37＞2,log54＜1,所以log37,log54 都不能作為中間量.

評(píng)注在用中間量法比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對(duì)數(shù)大小時(shí),先估算對(duì)數(shù)大小,看是否有公共區(qū)間,沒有的就直接比較大小,如(1)中l(wèi)og53＜1,log45＞1,所以log53＜log45.

若有公共區(qū)間,依次按如下三個(gè)思路找中間量.必定可以找出合適的中間量值.

思路1.分別選取一個(gè)對(duì)數(shù)的的底數(shù)(真數(shù))和另外一個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)(底數(shù))構(gòu)造新對(duì)數(shù),將其作為中間量.

思路2.估算兩個(gè)對(duì)數(shù)的公共區(qū)間,取區(qū)間的中點(diǎn)(二分法)作為中間量.

思路3.估算兩個(gè)對(duì)數(shù)的公共區(qū)間,多次取區(qū)間的中點(diǎn)(二分法)作為中間量.

方法二: 作差法

比較兩數(shù)大小最基本的方法就是作差法.可對(duì)于比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對(duì)數(shù)大小,很多時(shí)候作差法都無法使用,作差法只適應(yīng)符合一定特征的對(duì)數(shù).

例2比較log23 和log34 的大小.

解析因?yàn)?log23-log34 ==且lg 2·lg 4＜lg23,所以log23＞log34.

例1 中第(3)問我們也嘗試一下用作差法解答,因?yàn)閘og53-log96 =我們發(fā)現(xiàn)lg 3·lg 9-lg 5·lg 6 無法判斷正負(fù)號(hào),所以不能用作差法解答.

評(píng)注根據(jù)上面解答過程易知,對(duì)于比較底數(shù)和真數(shù)形如logab和logbc的兩對(duì)數(shù),即一個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)就是另外一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù),可以考慮用作差法.且有如下結(jié)論:

(1)若a,b,c ∈(1,+∞)且b2＞ac,則logab ＞logbc.

(2)若a,b,c ∈(0,1)且b2＜ac,則logab ＞logbc.

下證明結(jié)論(1),同理可以證明結(jié)論(2).

所以logab ＞logbc.

例3(2020年新高考山東卷第8 題)若a ＞b ＞c ＞1 且ac ＜b2,則( )

A.logab ＞logbc ＞logcaB.logcb ＞logba ＞logac

C.logbc ＞logab ＞logcaD.logba ＞logcb ＞logac

解析根據(jù)結(jié)論(1)知logab ＞logbc即logcb ＞logba,所以C,D 不正確.又因?yàn)閘ogca ＞1＞logbc,logba ＞1＞logac,所以A 錯(cuò),B 正確.

方法三: 作商法

作商法和作差法本質(zhì)上是同一個(gè)方法,例3 中比較logcb和logba大小,用作商法解答如下.

解析因?yàn)榍?＜lga·lgc ＜＜lg2b,所以logcb ＞logba.

方法四: 利用糖水不等式放縮

糖水不等式若a ＞b ＞0,m ＞0,則有或

簡(jiǎn)單的解釋a克的不飽和糖水中含有b克糖,則溶液的濃度為∈(0,1),若往糖水里加入m克糖,經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)更甜,即另外它的一個(gè)對(duì)偶結(jié)論也成立,證明如下:

例2 用糖水不等式放縮法解答,過程如下.

換成同底因?yàn)閘og23 =log34.5＞log34,所以log23＞log34.換成同真數(shù),因?yàn)樗詌og23＞log34.

例1 中第(3)問也可以用糖水不等式放縮法解答,過程如下:

換成同真數(shù)log53 =log106＜log96,所以log53＜log96.

換成同真數(shù)log53 =＜log96,所以log53＜log96.

評(píng)注對(duì)于兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)形如logab和loga+m(b+n)的形式,可以考慮利用換底公式和糖水不等式放縮,放縮成底數(shù)或真數(shù)相同的對(duì)數(shù),再比較大小.

方法五: 等價(jià)轉(zhuǎn)換法

利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì),先對(duì)對(duì)數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再比較大小.

例4比較log318 和log424 的大小.

解析由對(duì)數(shù)的性質(zhì),可知log318=1+log36,log424=1+log46.因?yàn)閘og36＞log46,所以log318＞log424.

例1 中第(3)問也可以用等價(jià)轉(zhuǎn)換法解答,過程如下.

解析因?yàn)閘og96 =比較log53,log96?比較2log53,log36?比較log59,log36?比較1+log51.8,1+log32?比較log51.8,log32.因?yàn)閘og51.8＜log31.8＜log32,所以log53＜log96.

評(píng)注對(duì)于比較底數(shù)或真數(shù)比較大的對(duì)數(shù)大小時(shí),可以考慮是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化到底數(shù)和真數(shù)都比較小時(shí),再利用中間量法比較大小.

方法六: 構(gòu)造函數(shù)法

此類試題需要根據(jù)所給對(duì)數(shù)式的特征構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.例2 用構(gòu)造函數(shù)法解答如下.

解析令f(x)= logx(x+ 1)=(x≥2),則f′(x)=＜0,所 以f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減.所以f(2)＞f(3),即log23＞log34.

方法七: 估值法

使用估值法時(shí),首先要熟記常見的對(duì)數(shù)值lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,對(duì)于例1 第(3)比較log53 和log96 的大小,可以用估值法,解答如下.

因?yàn)?/p>

所以log53＜log96.

評(píng)注建議記住lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,記憶力好的同學(xué),也可以記住ln 5≈1.6094 的近似值,在比較對(duì)數(shù)大小時(shí),若對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)可以化為lg 2,ln 2,lg 3,ln 3 和ln 5 時(shí),可以考慮估值法解答.

方法八: 取特殊值法

比較對(duì)數(shù)大小時(shí),若對(duì)于底數(shù)真數(shù)以自變量形式出現(xiàn),且自變量滿足一定條件時(shí),可以考慮用特殊值法.例3 可以用取特殊值法,解答如下.

解析取a= 16,b= 8,c= 2,滿足a ＞b ＞c ＞1且ac ＜ b2,則logca ＞1＞logab,所以A,C 錯(cuò)誤;logcb=3＞logba=所以D 錯(cuò);B 對(duì),所以選B.

為了更熟練本文的方法內(nèi)容,下面提供2 道高考真題,供有興趣的同學(xué)練習(xí).

練習(xí)1(2020年高考全國(guó)Ⅲ卷第12 題)已知54＜84,134＜85.設(shè)a= log53,b= log85,c= log138,則( )(答案: A.)

A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b

練習(xí)2( 2013年高考全國(guó)Ⅱ卷第8 題)設(shè)a= log36,b=log510,c=log714,則( )(答案: D.)

A.c ＞b ＞aB.b ＞c ＞aC.a ＞c ＞bD.a ＞b ＞c

不難看出,兩個(gè)對(duì)數(shù)比較大小的試題,集對(duì)數(shù)函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式等眾多知識(shí)點(diǎn)于一體,綜合性強(qiáng),能夠較好地檢測(cè)考生是否掌握了基本知識(shí),基本方法,基本技能.能夠體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,因而受到命題者的青睞.在解比較對(duì)數(shù)大小的試題過程中,最基本的作法是作差或作商.在復(fù)習(xí)備考時(shí),要及時(shí)總結(jié)和反思,靈活根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?提高解題效率.