一類凸多目標半無限規(guī)劃的Mond-Weir型對偶

簡相棟，王文東，甄艷秋

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

利用廣義凸函數(shù)研究數(shù)學(xué)規(guī)劃中的對偶問題一直是凸規(guī)劃中一個非常重要的研究內(nèi)容。文獻[1，2]提出了一類新的廣義凸函數(shù)即G-不變凸，同時在這些新的廣義凸性條件下研究了一類多目標規(guī)劃問題的最優(yōu)性與對偶性，隨后趙潔等在文獻[3-7]中研究了一類帶有支撐函數(shù)的多目標規(guī)劃問題的對偶性。本文在以上文獻的基礎(chǔ)上，借助次線性泛函的性質(zhì)[8]和Minch對稱梯度[9]將廣義凸性進行推廣，建立研究了一類帶有支撐函數(shù)的多目標規(guī)劃問題的Mond-Weir型對偶問題，結(jié)合K-T最優(yōu)性必要條件證明得到了一些弱對偶定理、強對偶定理以及嚴格逆對偶定理，改進和推廣了文獻[3-7]的結(jié)果。

1 基本定義

定義1[8](次線性函數(shù))設(shè)F:X×X×Rn→R是關(guān)于第三變元的次線性函數(shù)，如果滿足對于?x1,?x2∈X，有

F(x1,x2;α1+α2)≤F(x1,x2;α1)+(x1,x2;α2)，

?α1,α2∈Rn；

F(x1,x2;rα)=rF(x1,x2;α)，?r∈R+,α∈Rn。

定義2[10]如果有f(x+h)-f(x-h)=2hTfs(x)+o(‖h‖)，稱函數(shù)f(x)在x是對稱梯度，并記作

fs(x)。

定義3[11]設(shè)x0∈X，如果不存在x∈X，使得

f(x)

定義4 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…，k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1，…，k有

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)。

定義5 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1,…,k有

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)。

定義6 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…,k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1，…，k有

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈K處是廣義對稱G-(F,α,ε)-偽凸函數(shù)。

2 Mond-Weir對偶性條件

考慮下面多目標半無限規(guī)劃

其中f=(f1,f2,…,fk):X→Rk以及g:X×U→Rm對于?u∈U是定義在X上的對稱函數(shù)，X?Rn是一非空開子集，U?Rm是一個無限參數(shù)集。令K={1，2，3，…，k}，M={1，2，3，…，m},Ifi(x),i=1，…，k表示fi的值，Ci是Rn中對于每一個i∈K,j∈M的緊凸集，記X0={X∈X|g(x,uj)0,X?Rm}為(MP)的可行解集，U*={uj|j∈△,J(x0)?△是相應(yīng)指標集}是U的任意可數(shù)子集，△={j|g(x,u)0,x∈X0,uj∈U},J(x0)={j|g(x0,uj)=0}，函數(shù)G=(G1,…,Gk):R→RK，每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1,…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)。s(x|Ci)表示X上的支撐函數(shù)，其定義如下：

s(x|Ci)=max{〈wi,x〉|wi∈Ci},i∈K。

對于(MP)問題，其Mond-Weir型對偶規(guī)劃如下：

K-T-(必要條件)：

定理1 (弱對偶)假設(shè)x,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解，如果滿足下列條件：

(i)fi在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)；

(ii)g(x,uj)在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)；

(iv)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K，

s(y|Ci)=yTwi,wi∈Ci,i∈K。

則F(x)≮G(y)。

證明反證法。假設(shè)

F(x)

fi(x)+s(x|Ci),

由條件(iv)得fi(x)+xTwi

又因為函數(shù)G=(G1，…,Gk):R→Rk，每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1，…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，則有

G(fi(x)+xTwi)

由條件(i)結(jié)合上式可知

上式兩邊同乘以λi再求和得

(1)

又因為條件(ii)可得

Gj(g(x,uj))-Gj(g(y,uj))

(2)

給(2)式兩邊同時乘以β1并且求和可得

(3)

因為設(shè)x是規(guī)劃(MP)的任一可行解，(y,λ,β)是規(guī)劃(DMP)的可行解，則

g(x,uj)g(y,uj),j∈△。

由于每一個Gi,j∈△是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，所以有

Gj(g(x,uj))Gj(g(y,uj)),j∈△。

由條件(ii)中bj>0和條件(iv)知

j∈△。

結(jié)合(3)式知

(4)

將(1)式和(2)式相加結(jié)合條件(iii)整理得

(5)

由F的性質(zhì)以及K-T條件知

這與(5)式矛盾，故F(x)≮G(y)。

定理2 (弱對偶)假設(shè)x,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解，如果滿足下列條件：

(i)fi在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-偽凸函數(shù)；

(ii)g(x,uj)在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)；

(iv)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K，

s(y|Ci)=yTwi,wi∈Ci,i∈K。

則F(x)≮G(y)。

證明反證法。假設(shè)

F(x)

fi(x)+s(x|Ci),

由條件(iv)得fi(x)+xTwi

又因為函數(shù)G=(G1，…，Gk)R→Rk，每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1，…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，則有

Gi(fi(x)+xTwi)

由條件(i)結(jié)合上式可知

上式兩邊同乘以λi再求和得

(6)

因為設(shè)x是規(guī)劃(MP)的任一可行解，(y,λ,β)是規(guī)劃(DMP)的可行解，則

g(x,uj)g(y,uj),j∈△。

由于每一個Gi,j∈△是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，所以有

Gj(g(x,uj))Gj(g(y,uj)),j∈△。

結(jié)合條件(ii)知

εj0,j∈△，

(7)

給(7)式兩邊同時乘以βj并且求和可得

(8)

將(6)式和(8)式相加結(jié)合條件(iii)整理得

(9)

由F的性質(zhì)以及K-T條件知：

這與(9)式矛盾，故F(x)≮G(y)。

證明因為x是規(guī)劃(MP)的一個有效解，并且在x處K-T條件滿足，則

βjg(y,uj)0，j∈△，

f(x)

也就是F(x)

定理4 (嚴格逆對偶)假設(shè)x0,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解且f(x0)=f(y)，如果滿足下列條件：

(i)fi在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)；

(ii)g(x,uj)在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)；

則x0=y。

證明反證法。假設(shè)x0≠y，因為x0,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解，所以

βjg(x0,uj)0βjg(y,uj),j∈△，

也就是

βjg(x0,uj)-βjg(y,uj)0,j∈△。

由于βj0，則g(x0,uj)g(y,uj),j∈△，

根據(jù)每一個Gi,j∈△是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，結(jié)合上式整理知

βj(Gj(g(x,uj))-Gj(g(y,uj)))0,j∈△。

又根據(jù)條件(ii)知

βjεj0，

(10)

對(10)式兩邊求和得

又因為f(x0)=f(y)，

而且根據(jù)條件(i)可知

上式兩邊同乘以λi再求和得

(11)

由(DMP)的約束條件可得

(12)

將(10)式和(11)式相加結(jié)合條件(iii)整理得

(13)

由F的性質(zhì)以及K-T條件知

gs(x0,uj)),

gs(x0,uj))≥0，

這與(13)式矛盾，故x0=y。