徐靜芳
中圖分類號(hào):G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A
對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義,不少學(xué)生是困惑的,即使是數(shù)學(xué)教師對(duì)此也不見得明晰達(dá)理,偶爾也會(huì)有片刻的迷茫。但作為數(shù)學(xué)老師又必須對(duì)自己所教的學(xué)科充滿信心,并以理直氣壯、不容置疑的口吻告誡學(xué)生:“生活處處是數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué)就能在生活中解決很多難題”,以此來警醒學(xué)生,鞭策學(xué)生,督促他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)予以足夠的重視。筆者曾經(jīng)教過一位男生,在進(jìn)入初三的第一次期中考試后找到我,沮喪地說:“老師,我不想學(xué)習(xí)了,老師們現(xiàn)在教的都是‘沒用’的東西。”我思忖了一會(huì)兒,含糊其詞地回應(yīng)他:“就算你學(xué)習(xí)再不好,老師也不許你這么瞧不起自己,老師教的學(xué)生將來都會(huì)對(duì)社會(huì)或多或少有用的?!碑?dāng)時(shí)他就一下笑出了聲,說道:“我不是這個(gè)意思,學(xué)了那么多,真的不知道有什么用,能用在哪里?”且又申明道:“我不是因數(shù)學(xué)成績不好而找借口?!睂?duì)于此類帶有普遍性的質(zhì)疑,我沉默了……
常說的“有用”和“能用”是有一定區(qū)別的?!坝杏谩笔抢硇砸饬x上的價(jià)值判斷,而“能用”則是實(shí)踐運(yùn)用上的價(jià)值體現(xiàn)。博大精深的數(shù)學(xué)知識(shí),能讓初中生認(rèn)識(shí)其“有用”的價(jià)值體現(xiàn),雖只是淺嘗輒止,但數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、深刻性使人獲益匪淺。當(dāng)然,就初中生而言,數(shù)學(xué)的“有用”應(yīng)借助實(shí)踐印證的“能用”來體現(xiàn),唯此,才能激發(fā)廣大同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。筆者曾撰寫過“數(shù)學(xué)與生活”關(guān)聯(lián)度的文章,現(xiàn)以一些學(xué)生在學(xué)習(xí)物理時(shí)遇到的困惑為切入點(diǎn),讓學(xué)生在“能用”的體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的“有用”。
一、數(shù)、理相通,凸現(xiàn)數(shù)學(xué)的“能用”
(一)“能用”情景一
例1、甲、乙兩個(gè)實(shí)心均勻的正方體放在水平地面上,它們對(duì)地面壓強(qiáng)相等,已知甲的密度大于乙的密度,若在兩個(gè)正方體上分別沿水平方向切去相等的高度,剩余部分的質(zhì)量分別為m’甲和m’乙,則( )
A. m’甲一定小于m’乙 B.m’甲一定等于m’乙
C.m’甲一定大于m’乙 D.m’甲可能等于m’乙
此題的答案是A,翻閱學(xué)生作業(yè)時(shí),發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都選對(duì)了,我很高興,也想尋找原因,便好奇地問道:“你們是如何算出來的?”周圍的學(xué)生都異口同聲地說:“極限法?!睂W(xué)生們口中的“極限法”就是取極值的特殊情況:
于是乎,學(xué)生說:“既然切去相等的高度,兩個(gè)正方體就切去相等的h甲,那么正方體甲留下質(zhì)量0,正方體乙還有剩余質(zhì)量,所以就選A了?!?/p>
筆者隨即又問:“如果這是一題解答題,需要你寫解題過程,這時(shí)候是不能用特殊情況代替普遍情況的,怎么辦?”一片肅靜,班中竟然沒有同學(xué)使用計(jì)算方法解決本題。于是我叫來了物理課代表,請(qǐng)他用所學(xué)過的物理知識(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算,且鼓勵(lì)他:“作為課代表,你應(yīng)該具備一題多解的能力,老師相信你!同時(shí)你應(yīng)該明白,理科知識(shí)往往不是獨(dú)立存在的,而是相互聯(lián)系的,聯(lián)系的橋梁時(shí)數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科?!半S即,他用了十分鐘來思考和計(jì)算,最后解決了本題,筆者也順?biāo)浦垩?qǐng)他為全班解答。這就有了下面的算式:
在本題正確解答后,我乘勢(shì)為學(xué)生們梳理了知識(shí)點(diǎn):“除去你們應(yīng)該知道的物理公式,本題涉及的大部分計(jì)算都是運(yùn)用了初二數(shù)學(xué)的分式化簡,最后再結(jié)合不等式中相對(duì)比較難的知識(shí)點(diǎn)——比較代數(shù)式的大小,可見,運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多于物理知識(shí)點(diǎn)。”
之后,筆者請(qǐng)教了物理老師,固體壓強(qiáng)中的切割問題本身就是初中物理的考點(diǎn)之一,也是難點(diǎn)之一,于是再結(jié)合初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用比較少的代數(shù)式比大小知識(shí)點(diǎn)破解此題。對(duì)缺乏知識(shí)遷移、數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)生來說,難度是大的。通過本例題的分析講解,我告訴學(xué)生:“知識(shí)不是獨(dú)立存在的,而是有機(jī)聯(lián)系的。也許你并不知道生活中哪里能讓你使用勾股定理和黃金比例,但當(dāng)你把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通,就會(huì)產(chǎn)生熟能生巧的靈感,頓悟破解的思路和方法,從而收獲學(xué)習(xí)的自信、成功和樂趣。”
(二):“能用”情景二
例2、在圖1(a)所示的電路中,電源電壓為18伏保持不變,電阻R1的阻值為5歐,滑動(dòng)變阻器R2上標(biāo)有“50Ω? 2A”,閉合電鍵S后電壓表示數(shù)如圖1(b)所示。
求通過電阻R1的電流I1;
求此時(shí)滑動(dòng)變阻器R2消耗的電功率P2;
移動(dòng)滑片P,在確保電路中各元件正常工作的前提下,求電壓表示數(shù)的變化范圍,以及滑動(dòng)變阻器R2接入的阻值范圍.
2014年普陀區(qū)初三物理一模卷第21題,其中①、②兩題的解題方法套用所學(xué)的電學(xué)公式即可解決,我們要探究的是本題第③小題:
綜上所述,電壓表示數(shù)的變化范圍8~15V;
滑動(dòng)變阻器R2接入的阻值范圍4~25Ω.
本題第③小題旨在討論電壓表示數(shù)的變化范圍和滑動(dòng)變阻器R2接入的阻值范圍。計(jì)算公式雖是歐姆定律,但從解題思路分析,用到的是數(shù)學(xué)中的分類討論法,即在滑動(dòng)變阻器取不同極值時(shí),對(duì)應(yīng)的電壓或電流如何變化。以及當(dāng)R2最大時(shí),出現(xiàn)電壓大于電壓表量程的情況,這就類似數(shù)學(xué)中的函數(shù)綜合題,自變量x取值不在定義域內(nèi)。分類討論思想作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn),卻滲透進(jìn)了物理題型,且是較大難度的壓軸題。我告訴學(xué)生:“原本大家認(rèn)為獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),甚至懷疑無處‘能用’的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),不僅會(huì)運(yùn)用于實(shí)際生活和科技發(fā)展中,而且會(huì)伴隨學(xué)段的升高,知識(shí)的豐富,難度的增加,越來越多的數(shù)學(xué)知識(shí)可解決理科方面的較難題型。和語文的工具性一樣,數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)理科、發(fā)展科技的基礎(chǔ)性、工具性學(xué)科。數(shù)學(xué)思維與能力決定著學(xué)習(xí)其他某些科目的深度和高度。現(xiàn)在你們應(yīng)該發(fā)現(xiàn),所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)是有用的,并且是‘能用的’?!?/p>
(三)“能用”情景三
(上海2005年)甲、乙兩小車同時(shí)同地同方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),它們的S-t圖像如圖所示。經(jīng)過6秒,兩車的位置關(guān)系是( )
A甲在乙前面0.6米處
B甲在乙前面1.2米處
C在甲前面0.6米處
D在甲前面1.2米處
本題是2005年物理中考真題,在初三總復(fù)習(xí)時(shí),我們都會(huì)對(duì)歷年考點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)復(fù)習(xí)。此時(shí),學(xué)生已學(xué)習(xí)了初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí),從本題的S-t圖形分析,求路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量之間的關(guān)系,能直接、準(zhǔn)確地找到問題的答案。但利用數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想解本題,可以讓解題思路歸于函數(shù)關(guān)系的建構(gòu),從本質(zhì)上揭示勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。很明顯,這兩條線段都是正比例函數(shù)圖形的一部分,將兩個(gè)正比例函數(shù)解析式求出,把t=6代入兩個(gè)正比例函數(shù)解析式中,即可求出對(duì)應(yīng)S的值(即得兩個(gè)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)坐標(biāo))。如此分析,無論題目問的是6秒或8秒,都可以用函數(shù)解析式解出。
筆者告訴學(xué)生,本題原本是物理中的S-t圖像問題,是數(shù)學(xué)中一次函數(shù)y=kx在物理中運(yùn)用,可采用數(shù)形結(jié)合的思想解題。答題情況良好,說明大家確實(shí)能用數(shù)學(xué)方法解決物理問題,同時(shí)也驗(yàn)證了作為初三學(xué)生,你們已具備了一題多解的綜合能力,這是一件多么讓人感到高興的事?。⌒枳⒁獾氖?,當(dāng)遇到較難的物理問題而難以入手時(shí),不妨打開自己的思路,想想能否在數(shù)學(xué)中調(diào)遣攻堅(jiān)克難的“特種兵”,發(fā)揮其能用善戰(zhàn)的奇特作用。
因?yàn)閿?shù)學(xué)是理科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),與理科特別是物理學(xué)科,存在著種種邏輯聯(lián)系,故而筆者在日常教學(xué)中都會(huì)適時(shí)地滲透相關(guān)的物理知識(shí)。除上述三例外,學(xué)習(xí)初一的整式、分式計(jì)算,初二的整式方程、分式方程等內(nèi)容時(shí),會(huì)把物理中的常用字母P、F、S、ρ、g、h等物理量符號(hào)引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。又比如物理電學(xué)中的歐姆定律三個(gè)物理量U、I、R之間的關(guān)系,可出現(xiàn)在初二正比例函數(shù)學(xué)習(xí)中;而物理中計(jì)算并聯(lián)電路的總電阻問題,可運(yùn)用初一分式計(jì)算時(shí)有機(jī)滲透,,那么通過計(jì)算可以得到。
初二向量的平行四邊形法則,初三向量的線性運(yùn)算中畫一個(gè)向量在兩個(gè)指定向量方向上的分向量,這些作圖知識(shí),都應(yīng)該讓學(xué)生多體驗(yàn)、多思考,為在高中物理的力的合成與分解等矢量計(jì)算時(shí)作些鋪墊。
二、讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得能用的實(shí)施要點(diǎn)
為了使掛在嘴上的理性“有用”,切實(shí)成為學(xué)生能感知、體驗(yàn)的“能用”,作為數(shù)學(xué)教師的我們,似應(yīng)關(guān)注若干實(shí)施要點(diǎn)。
(一)教師教學(xué):意識(shí)、設(shè)計(jì)、適切
其一,需要教師對(duì)學(xué)生的學(xué)情有足夠的了解,對(duì)知識(shí)點(diǎn)在課程中的承前啟后作用充分把握,并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科特別是物理中相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和作用做到心中有數(shù)。其二,教師備課必須充分,除精備本學(xué)科外,還須增強(qiáng)跨學(xué)科意識(shí),多與物理等學(xué)科的教師切磋交流,了解相互的教學(xué)進(jìn)度及已學(xué)知識(shí)。在此基礎(chǔ)上,教師才有可能從容地設(shè)計(jì)教學(xué),豐富數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),使數(shù)理等學(xué)科之間實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自由轉(zhuǎn)換和有機(jī)遷移。在實(shí)施該跨學(xué)科教學(xué)時(shí),應(yīng)循序漸進(jìn)、靈活滲透,適切把握。在適切上下功夫,切不可脫離學(xué)生實(shí)際、生搬硬套,或喧賓奪主、偏離主干。
(二)學(xué)生學(xué)習(xí):興趣、方法、自主
“能用”的數(shù)學(xué)必然與實(shí)際問題的解決緊密關(guān)聯(lián),或涉及相關(guān)學(xué)科的知識(shí),屬于應(yīng)用型數(shù)學(xué)的范疇,自然對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)意志提出了較高的要求。出類拔萃的學(xué)生畢竟鳳毛麟角,我們的教學(xué)是面向所有的學(xué)生,這對(duì)我們數(shù)學(xué)教師提出了較高要求,開展數(shù)理相通的適切教學(xué)外,還應(yīng)激發(fā)學(xué)生的探究興趣,使較多學(xué)生掌握一些數(shù)理結(jié)合、探究問題的基本方法,培養(yǎng)自主探究的基本能力,將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維活用于以物理為主的相關(guān)學(xué)科學(xué)習(xí)中。
(三)習(xí)題編制:關(guān)聯(lián)、梯度、應(yīng)用
教師在編制習(xí)題,布置課后作業(yè)時(shí),應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),既要夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,又要在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)(包括遷移運(yùn)用能力)上統(tǒng)籌兼顧。這就要求教師在研析數(shù)學(xué)命題、編制數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí),注重知識(shí)的關(guān)聯(lián)性、梯度性、應(yīng)用性。關(guān)聯(lián)性,和學(xué)生已學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián),和其他學(xué)科相關(guān)知識(shí)相關(guān)聯(lián),和實(shí)際問題相關(guān)聯(lián);梯度性,關(guān)注題目設(shè)計(jì)的層級(jí)和梯度,盡量符合不同能力水平的學(xué)生的需要,使學(xué)生在各自的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)累積遞進(jìn),發(fā)展學(xué)能。應(yīng)用性,習(xí)題編制,除純數(shù)學(xué)的概念、演算外,盡量結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際,并與科技發(fā)展相結(jié)合,與理科中的物理等學(xué)科學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)相結(jié)合,體現(xiàn)其學(xué)以致用的價(jià)值追求。
經(jīng)驗(yàn)證明,只有學(xué)生們認(rèn)為所學(xué)的知識(shí)是“能用的”,他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和內(nèi)驅(qū)力才會(huì)被真正激活,對(duì)于這門公認(rèn)的“難科”才會(huì)真正產(chǎn)生迎難而上、主動(dòng)探究的信心和毅力。
隨著中考改革,對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和思維品質(zhì)提出了更高的要求。筆者以數(shù)理相通為切入點(diǎn),持續(xù)開展的初中生“能用的數(shù)學(xué)”的教學(xué)探究,也算作對(duì)當(dāng)前教學(xué)改革的一種回應(yīng)。筆者的觀點(diǎn)是:既要夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),又要善于打通數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與生活間的認(rèn)知障礙,這將是我們一線數(shù)學(xué)教師需要面對(duì)和突破的一個(gè)重要命題。