基于加權(quán)平方誤差損失函數(shù)的魯棒TOA源定位算法

弓艷榮，劉 鵬

(內(nèi)蒙古電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，呼和浩特 010070)

0 引言

源定位技術(shù)是通過發(fā)射端發(fā)射信號(hào)，接收端通過測(cè)量信號(hào)的到達(dá)時(shí)間(time of arrival, TOA)[1]、接收信號(hào)強(qiáng)度(received signal strength, RSS)[2]以及到達(dá)角度等參數(shù)，估計(jì)發(fā)射端位置的技術(shù)。

目前，針對(duì)非視距(non-line-of-sight, NLOS)和視距(line-of-sight, LOS)的混合(LN-M)場(chǎng)景下的源定位算法[2-6]可分為基于優(yōu)化的約束最小二乘法和基于穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)定位兩類。前者具有較高的定位精度，但它的復(fù)雜度高于基于穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)定位算法。因此，文中著重關(guān)注基于穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)定位算法。

多數(shù)的LN-M場(chǎng)景下的源定位算法采用中值概念，如最小中值平方(least median squares, LMEdS)[7]，M-估計(jì)[8-9]等。但測(cè)距信號(hào)的抽樣值在正態(tài)分布條件下，抽樣均值(sample mean, SMN)是一個(gè)有效估計(jì)策略，其性能優(yōu)于抽樣中值(sample median, SMIN)策略。

然而，當(dāng)出現(xiàn)異常抽樣值時(shí)，即抽樣值服從t分布、雙重指數(shù)分布等重尾分布時(shí)，抽樣均值的準(zhǔn)確性迅速下降，劣于SMIN。因此，將基于抽樣均值的加權(quán)平方誤差(weighted square error, WSE)損失函數(shù)用于LOS場(chǎng)景。相反，在LN-M場(chǎng)景下就采用基于抽樣中值的WSE損失函數(shù)。因此，通過最小化這兩個(gè)場(chǎng)景下的WSE損失函數(shù)的和可實(shí)施源定位。為此，提出加權(quán)平方誤差損失函數(shù)的魯棒定位算法WSE-RS。

1 源定位的形式化表述及預(yù)備知識(shí)

假定網(wǎng)絡(luò)內(nèi)有M個(gè)接收器(傳感節(jié)點(diǎn))，一個(gè)發(fā)射器(源節(jié)點(diǎn))。令[xiyi]T為第i個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)的位置,[xy]T為源節(jié)點(diǎn)位置。

接收端通過測(cè)量源節(jié)點(diǎn)傳輸信號(hào)的到達(dá)時(shí)間TOA可估測(cè)與源節(jié)點(diǎn)的距離。在LOS/NLOS混合環(huán)境下，可建立式(1)所示的測(cè)量等式。第i個(gè)接收器所測(cè)量到源節(jié)點(diǎn)的距離為：

(1)

式中：di表示源節(jié)點(diǎn)(發(fā)射器)與第i個(gè)接收器間的真實(shí)距離；ni,j表示對(duì)噪聲變量的第j個(gè)抽樣值[10]。且i=1,2,…,M;j=1,2,…,P。ni,j服從LOS和NLOS的高斯混合分布，可表示為：

(2)

1.1 基于抽樣中值的最小二乘估計(jì)

用最小二乘法[11]求解式(1)。對(duì)式(1)兩邊平方，可得：

(3)

AX+qj=bj

(4)

ri,j中的異常值嚴(yán)重降低了算法性能。因此，用中值濾除異常值的影響。利用最小化平方誤差和實(shí)現(xiàn)LS定位估計(jì)：

(5)

式中：med(b1:P)=[med(b1,1:P),med(b2,1:P),…,med(bM,1:P)]T。med()表示計(jì)算中值的函數(shù)，即對(duì)P個(gè)抽樣值進(jìn)行排序，取中間值。例如，med(b1,1:P)表示計(jì)算b1中P個(gè)抽樣值的中值。傳統(tǒng)的LS估計(jì)是計(jì)算所有抽樣值的平方誤差和，而式(5)是計(jì)算節(jié)點(diǎn)抽樣值中值的平方誤差和。

1.2 基于抽樣中值的高斯-牛頓估計(jì)法

采用高斯-牛頓估計(jì)法進(jìn)行源定位。先建立最小化平方誤差的表達(dá)式：

(6)

再利用泰勒級(jí)數(shù)展開算法在參考點(diǎn)x0處對(duì)測(cè)距值進(jìn)行線性處理：

d=f(X)≈f(x0)+G(X-x0)

(7)

(8)

利用基于抽樣中值的LS估計(jì)位置作為x0，可對(duì)X進(jìn)行估計(jì)：

X(k+1)=X(k)+(G(k)TG(k))-1G(k)T[med(r1:P)-f(X(k))]

(9)

式中：X(k)表示第k次迭代的X估計(jì)；med(r1:P)=[med(r1,1:P),med(r2,1:P),…,med(rM,1:P)]T。

2 WSE-RS算法

將LOS/NLOS的混合場(chǎng)景劃分為L(zhǎng)OS場(chǎng)景、LOS/NLOS場(chǎng)景。ε=0表示LOS場(chǎng)景；0<ε≤1表示LOS/NLOS場(chǎng)景。當(dāng)傳感節(jié)點(diǎn)處于LOS/NLOS場(chǎng)景時(shí)，就利用抽樣中值構(gòu)建損失函數(shù)；當(dāng)傳感節(jié)點(diǎn)處于LOS場(chǎng)景，就利用基于抽樣均值構(gòu)建損失函數(shù)。

2.1 LOS場(chǎng)景與LOS/NLOS場(chǎng)景的識(shí)別

(10)

2.2 基于抽樣均值的WSE損失函數(shù)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)處于LOS場(chǎng)景，WSE-RS算法就利用抽樣均值構(gòu)建WSE損失函數(shù)：

(11)

將式(11)擴(kuò)展到多個(gè)節(jié)點(diǎn)得：

(12)

式中：NLOS表示屬于LOS節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)集。

2.3 基于抽樣中值的WSE損失函數(shù)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)處于LOS/NLOS時(shí)，WSE損失函數(shù)為：

(13)

2.4 基于高斯-牛頓的LN-M場(chǎng)景下的位置估計(jì)

分別計(jì)算出在LOS、LOS/NLOS場(chǎng)景下的WSE損失函數(shù)，并通過最小化這兩個(gè)損失函數(shù)之和，實(shí)現(xiàn)對(duì)源節(jié)點(diǎn)定位：

(14)

通過求解式(15)可得源節(jié)點(diǎn)X的估計(jì)：

(15)

圖1給出WSE-RS算法估計(jì)源節(jié)點(diǎn)位置的簡(jiǎn)要過程。先識(shí)別場(chǎng)景，再分別計(jì)算兩個(gè)場(chǎng)景下的損失函數(shù)，最后依據(jù)式(15)估計(jì)源節(jié)點(diǎn)位置。

圖1 WSE-RS算法框架

3 性能仿真

在Windows 7操作系統(tǒng)、8 GB內(nèi)存、core i7 CPU的PC上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。利用MATLAB軟件建立仿真平臺(tái)。在20 m×20 m區(qū)域內(nèi)部署7個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)位于區(qū)域中心，另6個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)分別分布于區(qū)域的邊界上，如圖2所示。10個(gè)源節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布于區(qū)域內(nèi)。節(jié)點(diǎn)的通信半徑為10 m。

圖2 7個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)和10個(gè)源節(jié)點(diǎn)的部署

選擇基于抽樣中值的最小二乘估計(jì)(LS-SM)和基于抽樣中值的高斯-牛頓估計(jì)(GN-SM)作為參照，并分析它們的均方根誤差RMSE的平均值，其表達(dá)式為：

(16)

3.1 LOS噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差對(duì)ARMSE的影響

首先，分析LOS噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差σ1對(duì)ARMSE的影響。σ1變化范圍為0.5～4，ε=0.3，σ2=10，μ2=5。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 LOS噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差σ1對(duì)ARMSE的影響

從圖3可知，方差σ1的增加，增加了MSE的均值。原因在于：方差σ1測(cè)距誤差越大，降低了定位精度。相比于LS-SM算法、GN-SM算法，提出的WSE-RS算法降低了定位誤差。這是由于WSE-RS算法通過損失函數(shù)識(shí)別LOS場(chǎng)景和LOS/NLOS場(chǎng)景，并利用最小化兩個(gè)場(chǎng)景下的損失函數(shù)之和，估計(jì)節(jié)點(diǎn)的位置。

3.2 NLOS噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差σ2對(duì)ARMSE的影響

分析σ2對(duì)ARMSE均值的影響，其中σ2從2至10變化，如圖4所示。

圖4 NLOS噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差σ2對(duì)ARMSE的影響

從圖4可知，提出的WSE-RS算法的定位精度仍優(yōu)于LS-SM算法和GN-SM算法。LS-SM算法的定位精度最差，原因在于：LS-SM算法只通過最小二乘估計(jì)源節(jié)點(diǎn)位置，并沒有考慮到LOS場(chǎng)景與LOS/NLOS場(chǎng)景的區(qū)別；而GN-SM算法是在LS-SM算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代，定位精度得到提高。此外，對(duì)比圖4(a)和圖4(b)不難發(fā)現(xiàn)，圖4(b)的定位精度劣于圖4(a),有兩個(gè)原因：1)ε越大，意味著發(fā)生LOS/NLOS場(chǎng)景的概率越大，測(cè)距精度越低；2)σ1的增加，加大了測(cè)距誤差。

3.3 抽樣數(shù)q對(duì)ARMSE的影響

分析抽樣數(shù)q對(duì)ARMSE的影響，其中ε=0.3,σ1=0.25,σ2=0.10,μ2=5。

圖5為RMSE均值隨抽樣數(shù)q的變化曲線，其中抽樣數(shù)q從10至40變化。從圖5可知，抽樣數(shù)q的增加提高了定位精度，原因在于：抽樣數(shù)q越大，獲取的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境以及測(cè)距信息越多，這有利于定位精度的提高。此外，相比于LS-SM算法和GN-SM算法，提出的WSE-RS算法在定位精度方面存在優(yōu)勢(shì)。

圖5 抽樣數(shù)q對(duì)ARMSE的影響

3.4 算法的復(fù)雜度性能

最后，分析算法的復(fù)雜度。用算法的運(yùn)算時(shí)間表征算法的復(fù)雜度性能。運(yùn)算時(shí)間越長(zhǎng)，表明算法的復(fù)雜度越高。

表1給出了LS-SM算法、GN-SM算法和WSE-RS算法的運(yùn)算時(shí)間。從表中可知，LS-SM算法的運(yùn)算時(shí)間最短，只有0.7 ms。而WSE-RS算法的運(yùn)算時(shí)間達(dá)到2.1 ms。這說明，WSE-RS算法是以高的復(fù)雜度換取高的定位精度。

表1 算法的復(fù)雜度

4 總結(jié)

針對(duì)LOS/NLOS混合場(chǎng)景降低了TOA測(cè)距精度，提出基于加權(quán)平方誤差損失函數(shù)的魯棒定位算法(WSE-RS)。WSE-RS算法充分考慮到LOS場(chǎng)景與LOS/NLOS場(chǎng)景的特性，分別采用抽樣均值與抽樣中值構(gòu)建WSE的損失函數(shù)。并通過高斯-牛頓法估計(jì)源節(jié)點(diǎn)位置。

仿真結(jié)果表明，相比于基于LS和高斯-牛頓算法，WSE-RS算法提高了定位精度，但是WSE-RS算法的復(fù)雜度較高。后期，將進(jìn)一步分析優(yōu)化算法，降低算法的復(fù)雜度。