一類部分信息下帶有勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題

張盼盼, 王光臣

(山東大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院,山東濟南 250061)

1 引言

隨機控制理論在眾多領(lǐng)域中都有著重要應(yīng)用,其中在金融領(lǐng)域的一個重要應(yīng)用是求解最優(yōu)投資消費問題.文獻[1]首次在連續(xù)時間金融框架下研究了無摩擦市場假設(shè)下的最優(yōu)投資消費問題,并將其歸結(jié)為一類隨機最優(yōu)控制問題,運用動態(tài)規(guī)劃方法求出了最優(yōu)策略的顯式解.之后,眾多學(xué)者對文獻[1]中提出的經(jīng)典模型進行了改進,以使得模型更貼近實際.事實上,金融市場中存在著很多不可直接觀測的信息,如股票收益率以及股票價格模型中的布朗運動等,這就使得在部分信息下考慮最優(yōu)投資消費問題成為一個重要改進方向.

文獻[2]首次提出投資消費策略應(yīng)是股票價格生成的信息流適應(yīng)的,并分別求解了最大化消費過程期望效用與最大化終端財富期望效用兩個部分信息下的最優(yōu)投資消費問題.文獻[3]在幾何布朗運動股票模型下研究了最大化終端財富期望效用的最優(yōu)投資消費問題,其股票模型中的布朗運動和平均收益率是不可觀測的過程,并用OU過程來刻畫平均收益率.文獻[4]中股票價格采用因子模型,即股票收益率和波動率是經(jīng)濟因子的函數(shù),因子由擴散過程刻畫,該問題可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準隨機控制問題,作者采用上解-下解方法證明了HJB方程解的存在唯一性.文獻[5]在文獻[4]的基礎(chǔ)上,研究了因子過程不可觀測的最優(yōu)投資消費問題,結(jié)合Kalman濾波理論,分別用動態(tài)規(guī)劃方法和鞅方法得到了最優(yōu)策略的顯式解.文獻[6]采用非線性濾波技術(shù)和凸分析理論獲得了部分信息下的最優(yōu)投資消費策略,并給出了信息價值的估算公式.文獻[7]研究了部分信息下的均值-方差投資組合問題,采用粒子系統(tǒng)表示獲得了濾波問題的解析解和數(shù)值解.文獻[8]考慮了通貨膨脹不可觀測情形下的最優(yōu)投資消費問題,通過求解Zakai方程得到了非線性濾波的顯式表達,進而得到最優(yōu)策略的顯式解.

上述文獻均在特定情形下考慮相應(yīng)類型部分信息下的最優(yōu)投資消費問題,受制于技術(shù)原因,其部分信息來源單一,模型中只有一個不可觀測的過程.與現(xiàn)存文獻相比,本文創(chuàng)新之處在于研究了股票收益率和勞動力收入均為不可觀測過程的情形,首次在多種部分信息來源下求解最優(yōu)投資消費問題.

本文首先在完備信息模型下,運用動態(tài)規(guī)劃方法,給出了帶有勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題的最優(yōu)策略和值函數(shù);其次,將完備信息模型進一步擴展為部分信息模型,通過濾波技術(shù)將部分信息下的隨機最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為完備信息下的隨機最優(yōu)控制問題,之后求解HJB方程以及證明驗證定理,得到了部分信息下帶有勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題的最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式表達;最后,進行數(shù)據(jù)仿真,對比兩類模型所得最優(yōu)策略的差異,驗證了部分信息模型在有效利用市場信息方面的優(yōu)越性.

2 完備信息模型

本文的主要數(shù)學(xué)符號定義如下:AT表示A的轉(zhuǎn)置矩陣,A?1表示A的逆矩陣,tr(A)表示A的跡, ˙f表示f的導(dǎo)數(shù),Rn表示n維實值歐式空間,R表示實數(shù)集,R+表示非負實數(shù)集,Sn+表示n階非負定矩陣集,Cn表示n次連續(xù)可微函數(shù)集,1表示元素全為1的n維列向量.令(Ω,F,Ft,P)是一個帶有信息流Ft的完備概率空間,(B(1)(t),B(2)(t),B(3)(t),B(4)(t))是該空間上的(2n+2)維標(biāo)準布朗運動,其中B(1)(t),B(3)(t)維數(shù)是n,B(2)(t),B(4)(t)維數(shù)是1,E是P下的期望,L2F(0,T;Rn)是取值于Rn的Ft適應(yīng)的平方可積過程空間,MF(0,T;Rn)是取值于Rn的Ft適應(yīng)的隨機過程空間.

首先在完備信息模型下,研究考慮勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題.

2.1 問題描述

金融市場及勞動力市場的風(fēng)險環(huán)境用(Ω,F,Ft,P)刻畫,在該金融市場中,可進行投資的n支股票的價格過程S(t)=(S1(t)S2(t)··· Sn(t))T滿足

其中diag{S(t)}是以S(t)為對角元素的對角矩陣,μ(t)=(μ1(t)μ2(t)··· μn(t))T是股票回報率向量,σ=(σij)n×n是股票波動率矩陣.在完備信息模型下,μ(t)是取值于Rn的一致有界函數(shù).投資者的勞動力收入Y(t)滿足

其中:α ∈R是收入增長率,β>0是收入波動率.在完備信息模型下,全部信息流

令π(t)=(π1(t)π2(t)··· πn(t))T為一個投資策略,πi(t)是t時刻投資于第i支股票的投資比例,i=1,2,··· ,n,則投資于無風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例為1?πT(t)1.假設(shè)市場中的無風(fēng)險利率為常數(shù)r,c(t)X(t)是t時刻的瞬時消費率.在自融資條件下,投資者的財富過程為

其中:D≥0是效用折現(xiàn)率,K>0是勞動力收入對效用的敏感指數(shù),K越大,勞動力收入對效用的影響越大,R ∈(0,1),1?R是投資者的相對風(fēng)險厭惡指數(shù).在折現(xiàn)期望效用式(4)的定義中,消費和終端財富的效用函數(shù)選用冪函數(shù)形式,勞動力收入對效用的影響選用負指數(shù)形式,以使得HJB方程能夠解出顯式解.

定義完備信息模型下的容許策略集為

在完備信息下,考慮勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題為

問題1 尋找容許策略(π(·),c(·))∈A[s,T],依據(jù)勞動力收入方程式(2)和財富方程式(3),最大化期望效用式(4).

2.2 問題求解

問題1是一個完備信息下的隨機最優(yōu)控制問題,運用動態(tài)規(guī)劃方法,對問題1進行求解.

假設(shè)1σ,α,β,r,D,K有界且σ是可逆矩陣.

定義問題1的值函數(shù)為

注1當(dāng)n=1,s=0,μ(t)≡μ時,問題1的最優(yōu)策略

3 部分信息模型

在完備信息模型中,設(shè)定股票回報率向量μ(t)和勞動力收入Y(t)都是可觀測的,但在現(xiàn)實中,投資者在選擇最優(yōu)投資消費策略時,往往很難直接觀測到股票回報率向量和勞動力收入,能觀測到的信息僅僅是股票價格和勞動力收入的一部分,例如工資收入.本節(jié)將在更貼合實際的部分信息模型下,研究考慮勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題.

3.1 問題描述

在本節(jié)中,股票價格過程S(t)仍滿足式(1),但其中的股票回報率向量μ(t)不再是取值于Rn的一致有界函數(shù),而是一個n維隨機過程,滿足如下隨機微分方程:

其中ˉμ是n維列向量,表示股票回報率的長期均值,a是對角矩陣且對角元素均為正數(shù),表示股票回報率向其長期均值回歸的強度,b是n階可逆矩陣,表示回歸的波動率.該模型也稱OU過程,被廣泛用于股票回報率的刻畫.

在本節(jié)中,假定僅能觀測到勞動力收入的一部分,例如工資收入.事實上,投資者通過勞動獲得的全部報酬,很難被直接觀測到.一方面,精確計算勞動力收入耗時耗力,得不償失;另一方面,有些勞動力收入無法以數(shù)值衡量,如各種福利待遇.令k ∈(0,1)是可觀測部分占勞動力收入的比例,則Y(t)的觀測方程為

在部分信息模型下,全部信息流Ft=σ{B(1)(u),B(2)(u),B(3)(u),B(4)(u):0 ≤u≤t},而觀測信息流Gt=σ{S(u),～Y(u) : 0 ≤u≤t}, 且S(t)和～Y(t)是兩個獨立的觀測過程,定義

由于μ(t)與～Y(t)獨立,Y(t)與S(t)獨立,故μ(t)和Y(t)關(guān)于觀測信息流的條件期望和條件協(xié)方差為

在初始時刻為s,初始狀態(tài)為X(s)=x,Mμ(s)=mμ,MY(s)=mY的條件下,定義部分信息下投資者的折現(xiàn)期望效用為

部分信息模型下的容許策略集C[s,T]是B[s,T]的一個子集,其定義將在第3.4節(jié)中給出.在部分信息下,考慮勞動力收入的最優(yōu)投資消費問題為

問題2 尋找容許策略(π(·),c(·))∈C[s,T],依據(jù)勞動力收入方程式(2)和財富方程式(3),最大化期望效用式(8).

3.2 濾波問題

問題2是一個部分信息下的隨機最優(yōu)控制問題,需要先求解μ(t)與Y(t)的濾波問題,將問題2轉(zhuǎn)化為完備信息下的隨機最優(yōu)控制問題,再用動態(tài)規(guī)劃方法求解.

其中?A=(a11a22··· ann)T.lnS(t)是高斯過程,且lnS(t)與S(t)生成的信息流一致,故以式(9)和式(7)為觀測方程.由經(jīng)典的Kalman線性濾波理論(文獻[10]中定理10.3),可得以下定理和引理.

定理2 在假設(shè)1-2下,Mμ(t)和MY(t)分別是隨機微分方程式(10)和式(12)的解,V μ(t)∈Sn+和V Y(t)≥0分別是里卡蒂方程式(11)和式(13)的解.

引理1 (BS(t),B～Y(t))是P下Gt適應(yīng)的(n+1)維標(biāo)準布朗運動.

由BS(t)定義,得財富方程式(3)的Gt適應(yīng)表達形式

令～E是?P下的期望.由Girsanov定理[12]得如下引理.

引理2 (B(1)(t),B(2)(t),B(3)(t),～B(4)(t))是?P下的(2n+2)維標(biāo)準布朗運動.

經(jīng)過對μ(t)和Y(t)的濾波,問題2轉(zhuǎn)化為

問題2′尋找容許策略(π(·),c(·))∈C[s,T],依據(jù)系統(tǒng)方程式(19),最大化期望效用式(18).

3.3 HJB方程及其顯式解

問題2′是(Ω,F,Gt,Pπs)上的完備信息下的隨機最優(yōu)控制問題,運用動態(tài)規(guī)劃方法,對問題2′進行求解.

定義問題2′的值函數(shù)為

3.4 驗證定理

其中第1個等號由文獻[13]中引理5.2.1得到,第2個等號由對ζ(t)用伊藤公式,積分取期望得到.

然后證明,(π?(t),c?(t))是容許策略,且

4 數(shù)據(jù)仿真及分析

本節(jié)將在n=1,s=0情形下,從真實市場數(shù)據(jù)中獲取模型參數(shù),比較完備信息模型和部分信息模型所獲得的最優(yōu)投資消費策略和最大期望效用的差異.

用文獻[14]中方法估計完備信息模型中參數(shù)μ,σ,a,b.由2020 年下半年和2021 年上半年五糧液(000858)收盤價數(shù)據(jù)得μ=0.5770,σ=0.4053.由2013-2020年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入數(shù)據(jù)得α=0.2481,β=0.0527.模型中的主觀性系數(shù)R,D,K,x,y由投資者的個人情況決定,這里統(tǒng)一設(shè)定為R=0.3,D=0.01,K=0.1,x=10,y=5.時間單位為年,投資期限為3年,即T=3.市場中的最高3年期定存利率為3.85%,即r=0.0385.根據(jù)注1中公式計算得到完備信息模型下的最優(yōu)投資消費策略和最大期望效用為

為直觀表現(xiàn)兩類模型所得最優(yōu)策略的差異,本文以圖像形式展示上述仿真計算結(jié)果.其中圖1 是Mμ(t)的一條仿真軌跡,圖2是兩類模型所得最優(yōu)投資策略的對比圖,圖3是兩類模型所得最優(yōu)消費策略的對比圖.比較發(fā)現(xiàn),完備信息模型的最優(yōu)策略是確定性函數(shù),即在初始時刻就已制定好整個投資區(qū)間上的最優(yōu)策略,而部分信息模型的最優(yōu)策略是Mμ(t)的反饋形式,隨著股票回報率估計值的更新而不斷更新投資區(qū)間上的最優(yōu)策略.之所以出現(xiàn)這樣的差別,是因為部分信息模型充分刻畫了市場中存在的未知信息,隨著時間的推移,投資者所獲得的信息增多,其最優(yōu)策略會隨著獲得的信息增多而不斷進行更新.同時,注意到部分信息模型的值函數(shù)要大于完備信息模型的值函數(shù),這說明部分信息模型可以更有效地利用市場信息以獲得更大的期望效用.

圖1 Mμ(t)仿真軌跡Fig.1 The simulation trajectory of Mμ(t)

圖2 最優(yōu)投資策略對比圖Fig.2 Comparison of optimal investment strategies

圖3 最優(yōu)消費策略對比圖Fig.3 Comparison of optimal consumption strategies

5 結(jié)論

本文研究了一類部分信息下的最優(yōu)投資消費問題,首次考慮了股票收益率和勞動力收入均為不可觀測過程的情形.綜合運用Kalman濾波和非線性濾波理論,得到了Zakai方程的顯式解,運用測度變換技術(shù),對折現(xiàn)期望效用進行化簡,將一類部分信息下的隨機最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為完備信息下的隨機最優(yōu)控制問題.通過多次變量變換,將HJB方程等價轉(zhuǎn)化為一個二階線性偏微分方程,并獲得了其經(jīng)典解.通過驗證定理,得到了該類部分信息下最優(yōu)投資消費問題的最優(yōu)策略和值函數(shù).最后,從仿真結(jié)果來看,本文所構(gòu)建的部分信息模型及獲得的相應(yīng)最優(yōu)策略要優(yōu)于傳統(tǒng)的完備信息模型及獲得的相應(yīng)最優(yōu)策略.后續(xù),將在本文基礎(chǔ)上,進一步研究股票市場與勞動力市場間存在相關(guān)性的情形,即文中B(1)(t)與B(2)(t)間有相關(guān)系數(shù)的情形.