像移補償裝置運動學(xué)建模及解耦分析

盧明明， 金鈺博， 楊雪梅， 劉長青

(長春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

像移補償裝置是一種檢測機(jī)載相機(jī)成像質(zhì)量的設(shè)備，具有像移誤差補償功能。裝置由臺體和三個軸框架組成，可以近似看成三軸轉(zhuǎn)臺，是一個要求非常高的非線性系統(tǒng)[1]。目前，隨著三軸平臺技術(shù)的不斷發(fā)展成熟，不僅在國防和軍事領(lǐng)域占據(jù)首要地位，而且在人們?nèi)粘Ｉ钪械淖饔靡苍絹碓酵怀?，逐漸成為一個國家國防、經(jīng)濟(jì)實力與軍事實力的重要標(biāo)志[2-3]。同時，它也為一些機(jī)載設(shè)備的有效性驗證提供可靠的實驗平臺。隨著航天、航空工業(yè)的發(fā)展，像移補償裝置的應(yīng)用范圍越來越廣。

像移補償裝置作為檢測機(jī)載相機(jī)成像質(zhì)量的設(shè)備，具有像移誤差補償功能的優(yōu)劣性直接關(guān)系到仿真和測試實驗的可靠性與置信度，是保證航空航天產(chǎn)品精度及性能的基礎(chǔ)[4]。

航空、航天相機(jī)拍攝時，由于載機(jī)的運動、相機(jī)的擺動、溫度等因素影響，曝光時目標(biāo)物體與感光介質(zhì)間存在相對運動，致使成像模糊和拖尾效應(yīng)，即像移[5]。雖然將相機(jī)搭載于飛機(jī)上通過多次飛行測試相機(jī)的成像性能是最直接的方法，但由于完成一次飛行任務(wù)需要消耗巨大的人力、財力、時間和資源。為減少飛行次數(shù)、提高試驗效率、節(jié)省資源，進(jìn)行實驗室內(nèi)動態(tài)模擬成像試驗就顯得尤為重要[6-7]。

像移補償裝置通過對其三個軸架施以不同的運動來模擬飛機(jī)各種飛行動作和姿態(tài)，即橫滾運動、俯仰運動和偏航運動[8]。裝置運動時各個框架間存在慣量以及動力學(xué)耦合，直接影響控制的動、靜態(tài)指標(biāo)以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9-10]。當(dāng)裝置各軸架同時工作時，各軸架不僅受到自身框架產(chǎn)生的力矩，還會受到其他框架的干擾力矩，框架間存在非線性動力學(xué)耦合，會影響到控制系統(tǒng)精度和動態(tài)性能，嚴(yán)重時會導(dǎo)致整個控制系統(tǒng)的失控，因此需要進(jìn)行解耦設(shè)計[11]。文中在分析像移補償裝置框架間耦合問題的基礎(chǔ)上，給出各軸架的運動學(xué)方程，利用李導(dǎo)數(shù)算子理論驗證了其可解耦性，并對其進(jìn)行解耦；最后運用Matlab對轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)仿真，證明了解耦的有效性。

1 像移補償裝置機(jī)械結(jié)構(gòu)分析

像移補償裝置由臺體和三個軸架組成，三個軸架為橫滾軸架、偏航軸架與俯仰軸架。三個軸架的機(jī)械系統(tǒng)主要由俯仰、航向、橫滾軸系結(jié)構(gòu)組成。其中，橫滾軸的結(jié)構(gòu)是U形，俯仰軸與航向軸的結(jié)構(gòu)是O形。光學(xué)系統(tǒng)安裝在航向軸系內(nèi)，并能隨航向軸繞航向軸偏航；掃描鏡結(jié)構(gòu)與俯仰軸系統(tǒng)一起繞俯仰軸旋轉(zhuǎn)；兩部分作為一個整體安裝在外框內(nèi)，并與橫滾軸系統(tǒng)一起轉(zhuǎn)動。整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 像移補償裝置整體結(jié)構(gòu)

像移補償裝置三維視圖如圖2所示。

圖2 像移補償裝置三維視圖

由圖2可知，像移補償裝置的三個軸在運動過程中并不相互獨立，而是相互影響。因此，利用裝置運動學(xué)建模,并對其進(jìn)行解耦具有非常重要的意義。

2 三軸架運動學(xué)建模

設(shè)定x,y,z為俯仰軸架所固連的坐標(biāo)系，x′,y′,z′為偏航軸架所固連的坐標(biāo)系，x″,y″,z″為橫滾軸架所固連的坐標(biāo)系，φ、α、φ分別為三個軸電機(jī)轉(zhuǎn)角，M1表示偏航軸對俯仰軸作用力矩，M2表示橫滾軸對偏航軸作用力矩，M3表示偏航軸對橫滾軸作用力矩，其中M1,M2,M3在XYZ,X′Y′Z′,X″Y″Z″坐標(biāo)系分別投影。

設(shè)定i,j,k和i′,j′,k′分別為俯仰軸XYZ和偏航軸X′Y′Z′坐標(biāo)軸上的單位向量，當(dāng)俯仰軸相較偏航軸轉(zhuǎn)動一個角度φ時，對自變量x做三角變換，sin(X)=sX,cos(X)=cs，根據(jù)i′,j′在XYZ內(nèi)的投影，可求出i′,j′與i,j的關(guān)系為：

i′=icφ-jsφ,

j′=isφ+jcφ,

k′=k。

(1)

當(dāng)偏航軸相對于橫滾軸轉(zhuǎn)過一個角度α?xí)r，i″,j″,k″為橫滾軸X″Y″Z″三個坐標(biāo)軸上的單位向量，根據(jù)投影求出i″,j″與i′,j′的關(guān)系為：

i′=icα-k″cα,

k′=i″sα+k″cα,

j′=j″。

(2)

設(shè)定T為偏航軸的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，T′為俯仰軸的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，T″為橫滾軸的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，其中T,T′,T″分別位于XYZ,X′Y′Z′,X″Y″Z″坐標(biāo)系內(nèi)，G1,G2,G3分別代表三個軸架所受的重力，G,G′,G″均位于X″Y″Z″坐標(biāo)系內(nèi)，俯仰軸的重心在XYZ坐標(biāo)系內(nèi)表示為(x1,y1,z1)，偏航軸的重心在X′Y′Z′坐標(biāo)系內(nèi)表示為(x2,y2,z2)，可得到以下矩陣：

2.1 俯仰軸架運動學(xué)建模

表示。

設(shè)

ω1=ωX1i1+ωY1j1+ωz1k1。

對ω1進(jìn)行求導(dǎo)可得，

其中i,j,k向XYZ內(nèi)投影后皆為零向量，所以有

根據(jù)剛體定點運動方程

推導(dǎo)出動力學(xué)模型，將式(1)、式(2)聯(lián)立代入可得

(3)

由于G1=G1K″，由式(1)、式(2)可有

G1=G1(-i′sα+k′cα)=

G1[-(icφ-jsφ)sα+kcα]=

-cφsαG1i+sφsαG1j+cαG1k。

所以將G1向XYZ投影可有

G1=-cφsαG1i+sφsαG1j+cαG1k=

(4)

根據(jù)式(3)可以得到

(5)

將式(5)代入式(3)后整理,可得俯仰軸運動微分方程

(6)

2.2 偏航軸架運動學(xué)建模

設(shè)

ω2=ωX2i′+ωY2+ωZ2k′。

對ω2求導(dǎo)可有

(7)

其中

由俯仰軸的剛體定點運動微分方程可知

將相應(yīng)的參數(shù)代入后可得

(8)

又由G2=G2k″，所以由式(2)可有

G2=G2(-i′sα+k′cα)，

所以將G2向X′Y′Z′投影有

(9)

M1=MX1i+MY1j+MZ1k=

MX1(i′cφ+j′sφ)+MY1(-i′sφ+j′sφ)+MZ1k′=

(MX1cφ-MY1sφ)i′+(MX1sφ+MY1cφ)j′+MZ1k′=

將上式繼續(xù)整理：

(10)

聯(lián)合式(9)、式(10)可得

(11)

將式(11)代入式(8)可得偏航軸運動學(xué)微分方程

2.3 橫滾軸架運動學(xué)建模

設(shè)

ω3=ωX3i″+ωY3j″+ω23k″,

對ω3進(jìn)行求導(dǎo),有

由俯仰軸的剛體運動微分方程可得

代入后可得

(12)

M2=MX2i′+MY2j′+MZ2k′=

MX2(i″cα-k″sα)+

MY2j″+MZ2(i″sα+k″cα)=

(MX2cα+MZ2sα)i″+

j″+(-MX2sα+MZ2cα)k″=

所以有

(13)

可以得出

(14)

(15)

3 三軸架運動學(xué)耦合仿真分析

由上可知，像移補償裝置受驅(qū)動力矩作用，為驗證像移補償裝置存在耦合性，采取觀察一軸運動時對其余兩軸耦合情況進(jìn)行分析的方法，即令一軸運動，通過仿真方法得到其余兩軸角度和角速度耦合曲線。

1)令偏航軸運動，觀察俯仰軸與橫滾軸運動時的耦合情況。

給定偏航電壓為40 V，俯仰軸與橫滾軸電壓為0 V，頻率為10 Hz，偏航、俯仰、橫滾軸架的初始位置分別為：φ=90°,α=0°,φ=0°，受到耦合驅(qū)動力矩作用下的角位置與角速度的變化曲線如圖3所示。

(a) 滾轉(zhuǎn)角度

(b) 滾轉(zhuǎn)角速度

(c) 俯仰角度

(d) 俯仰角速度圖3 偏航軸驅(qū)動力矩作用下俯仰軸與橫滾軸變化曲線

由圖3可知，橫滾軸的耦合角度比較顯著，已經(jīng)超過0.6°；俯仰軸的耦合角度也達(dá)到了1.5°。

2)令俯仰軸運動，觀察偏航軸與橫滾軸運動時的耦合情況。

給定俯仰軸電壓為24 V，偏航軸與橫滾軸的電壓為0 V，頻率為10 Hz，俯仰、偏航、橫滾軸架的初始位置分別為：φ=90°,α=0°,φ=0°，受到俯仰軸驅(qū)動力矩作用下偏航軸與橫滾軸變化曲線如圖4所示。

(a) 橫滾角度

(b) 橫滾角速度

(c) 偏航角度

(d) 偏航角速度圖4 俯仰軸驅(qū)動力矩作用下偏航軸與橫滾軸變化曲線

由圖4可知，耦合引起的橫滾軸滾轉(zhuǎn)角速度誤差可達(dá)10%，而且偏航軸角度與角速度的耦合都比較明顯。

3)令橫滾軸運動，觀察偏航軸與俯仰軸運動時的耦合情況。

給定橫滾軸電壓為30 V，偏航軸與俯仰軸的電壓為0 V，頻率為10 Hz；俯仰、橫滾、偏航軸架的初始位置分別為：φ=0°,α=0°,φ=90°，受橫滾軸驅(qū)動力矩作用下偏航軸與俯仰軸變化曲線如圖5所示。

(a) 偏航角度

(b) 偏航角速度

(c) 俯仰角度

(d) 俯仰角速度圖5 橫滾軸驅(qū)動力矩作用下偏航軸與俯仰軸變化曲線

由圖5可知，偏航角度誤差可達(dá)50°，俯仰已達(dá)到60°，而且偏航角速度整體偏向負(fù)方向，俯仰角速度明顯加快，耦合明顯。

從圖3～圖5可以看出，給任意一軸施加驅(qū)動力矩時，另外兩個軸都受耦合影響，以上可以證明像移補償裝置各軸系之間存在嚴(yán)重耦合現(xiàn)象。所以要想實現(xiàn)像移補償裝置的精密控制，就要找到抑制外界干擾對像移補償裝置系統(tǒng)性能影響的辦法，因此需要對像移補償裝置進(jìn)行解耦。

4 解耦仿真分析

基于李導(dǎo)數(shù)解耦后得出如下三個SISO系統(tǒng)，即俯仰軸、偏航軸、橫滾軸。

同樣在像移補償裝置受到驅(qū)動力矩的情況下，三個軸架在施加驅(qū)動力矩作用下仿真得到的系統(tǒng)耦合關(guān)系分別如圖6～圖8所示。

(a) 俯仰

(b) 橫滾圖6 偏航軸驅(qū)動力矩下的俯仰耦合與橫滾耦合曲線

圖6仿真結(jié)果顯示，單獨給偏航軸施加驅(qū)動力矩時，對于解耦后的等效系統(tǒng)而言，橫滾軸和俯仰軸的角位置與角速度幾乎為零，由此可知，橫滾軸和俯仰軸并未受到偏航軸的耦合影響。

(b) 俯仰圖7 俯仰軸驅(qū)動力矩下的偏航耦合和俯仰耦合曲線

從圖7可以看出，對于解耦后的系統(tǒng)而言，單獨給俯仰角施加驅(qū)動力矩指令時，偏航軸的角度與角速度在0處波動，橫滾軸的角度與角速度也同樣在0處波動，由此可知，俯仰軸并未對偏航與橫滾軸帶來影響，即耦合消失。

(b) 俯仰圖8 橫滾軸驅(qū)動力矩下偏航耦合與俯仰耦合曲線

從圖8可以看出，單獨給橫滾軸施加驅(qū)動力矩指令時，對解耦后的系統(tǒng)來說，俯仰的角度與角速度在0處波動，偏航的角度與角速度也同樣在0處波動，由此可知，橫滾軸并未對偏航與橫滾軸產(chǎn)生影響，即耦合消失。

5 結(jié) 語

針對像移補償裝置運動時存在耦合情況，對裝置進(jìn)行耦合分析，提出了李導(dǎo)數(shù)解耦，并對解耦后的系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。

根據(jù)李導(dǎo)數(shù)算子完成了解耦控制器的設(shè)計，最后對解耦后的系統(tǒng)進(jìn)行仿真，在對系統(tǒng)進(jìn)行解耦后結(jié)果表明，無論單獨給哪個軸施加驅(qū)動力矩，另外兩個軸幾乎沒有變化。由此表明，解耦之后各軸之間干擾消失，解耦狀況良好，實現(xiàn)了三個軸之間的相互獨立運動，不再相互影響。