β擾動(dòng)的食餌有病的隨機(jī)食餌與捕食者系統(tǒng)的漸近行為

劉振文， 鄭凱鴻

(吉林建筑科技學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部， 吉林 長春 130022)

0 引 言

傳染病的傳播發(fā)生在人與人，人與動(dòng)物或動(dòng)物與動(dòng)物之間。對(duì)于疾病流行規(guī)律的把握是對(duì)疾病防控的關(guān)鍵，傳染病動(dòng)力學(xué)研究很好地處理了這類問題[1-2]。種群動(dòng)力學(xué)揭示了種群的內(nèi)在發(fā)展規(guī)律，學(xué)者們對(duì)于傳染病動(dòng)力學(xué)和種群動(dòng)力學(xué)的研究已有相當(dāng)多的成果，對(duì)于這兩者相結(jié)合的生態(tài)流行病模型的研究也受到越來越多的關(guān)注[3-8]。Yanni Xiao等[9]建立了如下生態(tài)流行病模型

(1)

考慮到自然界中生態(tài)系統(tǒng)會(huì)受到環(huán)境噪聲的干擾，導(dǎo)致系統(tǒng)中某些參數(shù)發(fā)生變化，文中修正文獻(xiàn)[8]提出的系統(tǒng)(1)。首先，令

得到確定性系統(tǒng)

(2)

對(duì)系統(tǒng)(2)中β進(jìn)行擾動(dòng)，令系統(tǒng)中的β為

則系統(tǒng)(2)化為

(3)

式中：B(t)----布朗運(yùn)動(dòng);

σ2----環(huán)境白噪聲的強(qiáng)度,σ2>0。

1 系統(tǒng)(3)的隨機(jī)漸近行為

1.1 系統(tǒng)(3)的正解存在唯一性

證明 對(duì)t≥0，考慮系統(tǒng)

(4)

(5)

則

S(t)+I(t)≤

(6)

式中：D3=S(0)+I(0)。

若證明這個(gè)解是幾乎必然全局的，就等價(jià)于證明τe=∞幾乎必然成立。選擇足夠大的k0≥0，使得S(0),I(0)和Y(0)全部位于區(qū)間[1/k0,k0]內(nèi)，對(duì)每一個(gè)整數(shù)k≥k0，定義

或

max{S(t),I(t),Y(t)≥k}}。

(7)

P{τ∞≤T}>ε,

(8)

則存在一個(gè)整數(shù)k1≥k0,使得

P{τ∞≤T}≥ε,

(9)

(10)

所以上述函數(shù)的非負(fù)性是顯然的。使用Itǒ公式，有

(11)

其中

(12)

首先, 令

滿足

其次, 取a′>0充分小和合適的b′>0,滿足

和

和

則有

(13)

因此

(14)

則推得

E[V(S(τkΛT),I(τkΛT),Y(τkΛT))]≤

(15)

當(dāng)k≥k1時(shí)，令Ωk={τk≤T} 且由式(9), 有P(Ωk) ≥ε，注意到對(duì)每一個(gè)ω∈Ωk, 在S(τk,ω),I(τk,ω)和Y(τk,ω)中至少有一個(gè)達(dá)到k或1/k,因此

V′(S(τkΛT),I(τkΛT),Y(τkΛT))≥

(16)

E[1Ωk(w)V′(S(τkΛT),I(τkΛT),Y(τkΛT))]≥

εh′(k),

(17)

從定理可以得到

I(t)>0,Y(t)>0,S(t)+I(t)≤K},

(18)

是系統(tǒng)(3)的正不變集，從現(xiàn)在開始總是假設(shè)初始值(S(0),I(0),Y(0))∈Г。

1.2 系統(tǒng)(3)的漸近性質(zhì)

1.2.1 確定性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E1=(K，0,0)

顯然系統(tǒng)(2)一定有有界平衡點(diǎn)E1=(K，0,0)。但E1=(K，0,0)不是系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)。此時(shí)我們給出系統(tǒng)(3),解得收斂率。

定理2令(S(t),I(t),Y(t))為系統(tǒng)(3)滿足初始條件 (S(0),I(0),Y(0))的解。若如下條件成立

1)Kβ>c;

則有

和

幾乎必然成立。

證明 由隨機(jī)比較定理有，I≤X，這里X是方程

(19)

即

(20)

由Itǒ公式，則

(21)

有

log(X(t))=log(X(0))+

KσB(t)。

(22)

令

F(t)=logX(0)+KσB(t),

(23)

則

幾乎必然成立。所以

(24)

其中，選取足夠大的噪聲強(qiáng)度σ2,使得

即I(t)以指數(shù)幾乎必然趨于0。換句話說，已感染者依概率1死亡。同樣有

dlogY=(kPI-d)dt,

(25)

則

(26)

所以

(27)

即Y(t)以指數(shù)幾乎必然趨于0。換句話說，捕食者依概率1死亡。

(28)

這里σ2充分小，且

(29)

定義

(30)

由Itǒ公式和式(27)可得

(31)

式中：Q=σSIdB(t)。

其中

(32)

(33)

其中

(34)

(35)

其中

kPR2Y+d(R-1)Y≤

kPR2Y,

(36)

則

(37)

定義

(38)

則

σ(F-1)Q。

(39)

令

(40)

則由Itǒ公式

(41)

其中

+k(σ)=

k(σ)=

(42)

其中

(43)

(44)

(45)

因此

(46)

其中

(47)

下面定義

(48)

其中V3=Y，從式(9)知道

LV3≤kPR2Y,

(49)

所以有

(50)

最后，定義

V=MV1+V4。

(51)

(52)

這樣得到

(53)

其中

(54)

σ2充分小，且

dV=LVdt+σ[MR1I+R1SI+FR2SI+

(55)

將上式兩邊從0到t積分得

(56)

這是一個(gè)實(shí)值連續(xù)局部鞅，且M(0)=0，而

(57)

則由強(qiáng)大數(shù)定律有

(58)

再由式(55)有

(59)

進(jìn)一步有

(60)

定理得證。

從式(32)可以看出,系統(tǒng)(3)的解與E2在時(shí)間均值下的不同之處在于只與白噪聲的強(qiáng)度有關(guān),噪聲強(qiáng)度越弱，系統(tǒng)(3)的解越穩(wěn)定，所以當(dāng)σ充分小時(shí)，可以認(rèn)為有一種近似穩(wěn)定性。