一類寄生蟲感染的食餌-捕食者模型的數(shù)值分析

尤鴻明

(1.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362000； 2.福建省大數(shù)據(jù)管理新技術(shù)與知識(shí)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 泉州 362000； 3.智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 泉州 362000)

自20世紀(jì)90年代以來，人們對(duì)食餌-捕食者模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)作了許多研究[1-2].隨后，有許多學(xué)者也對(duì)被寄生蟲感染的食餌-捕食者模型作了大量的研究并取得了一些有趣的結(jié)果[3-5]. 特別是，Chattopadhyay等在文[3]中提出了種群的持續(xù)性和滅絕條件，并確定了周期解的Hopf分支條件.Hethcote等在文[4]中分析了四個(gè)被寄生蟲感染的捕食者-食餌模型，進(jìn)一步證明了模型全局穩(wěn)定性結(jié)果.通過修改一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的易感染模型，Spencer等[5]分析了生產(chǎn)力如何在一個(gè)穩(wěn)定的寄主-寄生蟲模型中調(diào)節(jié)捕食者飽和和選擇性覓食行為所誘導(dǎo)的復(fù)雜行為.然而，大多數(shù)關(guān)于寄主-寄生蟲捕食相互作用的理論研究假設(shè)行會(huì)內(nèi)的食餌是寄生物種，而不是具有獨(dú)立成體階段的寄生蟲.Nakazawa等[6]提出了一個(gè)寄主-寄生蟲捕食相互作用的模型，其中成蟲寄生蜂密度以線性功能反應(yīng)被明確表示出來，并討論了正平衡點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性.而在本文考慮寄生蜂密度以一般形式g(y)表達(dá)，由于寄生蟲以及寄主表達(dá)的變化，我們的模型必然比以前的模型更加復(fù)雜和普遍.

1 模型引入及分析

考慮以下模型:

(1)

其中：S、I、P和Q分別代表未寄生寄主、寄生寄主、寄生蜂和捕食者的密度，γ和K分別代表S的自然增長(zhǎng)率和承載能力.參數(shù)a12、a13和a23分別表示寄生效率、對(duì)未寄生寄主的捕食效率和對(duì)寄生寄主的捕食效率.參數(shù)η是從單個(gè)宿主中出現(xiàn)的寄生蜂數(shù)量，δ是捕食者繁殖的轉(zhuǎn)化率.在這里，我們?cè)O(shè)置捕食者消費(fèi)未寄生或寄生的寄主的轉(zhuǎn)換率是相同的.最后，dP和dQ分別是寄生蜂和捕食者的死亡.

(2)

以及對(duì)應(yīng)的特征方程為

P(λ)=λ4+a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0.

其中:a3=dp+γ1z*+g′(y*)+x*,a2=α1α2p*x*+(dp-α2ηx*)+g′(y*)+β1β2x*z*+dpγ1z*+

根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，E*是漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)

(3)

由以上的內(nèi)容，我們得到下面的定理.

定理 2假設(shè)模型(2)的正平衡點(diǎn)E*存在.如果式(3)成立，那么E*是漸近穩(wěn)定的.

2 數(shù)值模擬

取g(y)=hy，對(duì)式(2)的正平衡點(diǎn)E*的x*和z*可以由以下線性子系統(tǒng)顯式求解：

因此，可以直接計(jì)算出正平衡點(diǎn)：

(4)

當(dāng)前，技能競(jìng)賽的重要性尚未得到普遍認(rèn)可，激勵(lì)機(jī)制的建立和完善顯得更為重要。我們采取物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)和精神獎(jiǎng)勵(lì)相結(jié)合的原則，科學(xué)合理地設(shè)置獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)與辦法，具體如下。

首先，將參數(shù)設(shè)置為α2=4，β1=5,γ1=4,γ2=2,h=1,η=1,dz=3,dp和β2范圍分別為[0.1,5.0]和[0.0,5.0].然后,利用Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則,將各平衡點(diǎn)的存在域以及穩(wěn)定域進(jìn)行劃分.結(jié)果見圖1～5.

圖1 α1=0.1穩(wěn)定域劃分圖 圖2 α1=0.25穩(wěn)定域劃分圖Fig.1 α1=0.1 stable domain division diagram Fig.2 α1=0.25 stable domain division diagram

圖3 α1=0.35穩(wěn)定域劃分圖 圖4 α1=0.55穩(wěn)定域劃分圖Fig.3 α1=0.35 stable domain division diagram Fig.4 α1=0.55 stable domain division diagram

圖5 α1=0.75穩(wěn)定域劃分圖 Fig.5 α1=0.75 stable domain division diagram

其中，每個(gè)平面圖的水平軸和垂直軸分別表示dp和β2.圖1～5分別取參數(shù)α1為0.1,0.25,0.35,0.55,0.75.3綠色區(qū)域表示E*穩(wěn)定；2藍(lán)色區(qū)域和1深粉色區(qū)域表示E*存在但不穩(wěn)定，并且E1在2藍(lán)色區(qū)域穩(wěn)定以及E3在1深粉色區(qū)域存在但不穩(wěn)定；E*在4黃色、5黑色、6橙色、7淺粉色和8紅色區(qū)域均不存在, 但是在8紅色區(qū)域E2穩(wěn)定，在6橙色區(qū)域E2存在但不穩(wěn)定，在7淺粉色區(qū)域E1穩(wěn)定，在5黑色區(qū)域E3穩(wěn)定，在4黃色區(qū)域E3存在但不穩(wěn)定.

通過以上的劃分，我們發(fā)現(xiàn)E*存在于三個(gè)區(qū)域，分別是1深粉、2藍(lán)色和3綠色區(qū)域，并且在圖1～2中，這三種區(qū)域都比較明顯地劃分出來.接下來, 我們固定α1=0.25(圖2)，dp=1.接著對(duì)應(yīng)三個(gè)區(qū)域分別取β2=1(2藍(lán))，β2=3.2(1深粉)，β2=4.9(3綠).因此，我們會(huì)得到以下三種情況：

圖6 β2=1(x-y-z)周期解示意圖 圖7 β2=1(p-t)周期解示意圖Fig.6 β2=1(x-y-z) dynamics of (2) Fig.7 β2=1(p-t) time courses of p

圖8 β2=3.2(x-y-z)周期解示意圖 圖9 β2=3.2(p-t)周期解示意圖Fig.8 β2=3.2(x-y-z) dynamics of (2) Fig.9 β2=3.2(p-t) time courses of p

圖10 β2=4.9(x-y-z)周期解示意圖 圖11 β2=4.9(p-t)周期解示意圖Fig.10 β2=4.9(x-y-z) dynamics of (2) Fig.11 β2=4.9(p-t) time courses of p