雙Lévy跳擴(kuò)散模型下的歐式期權(quán)定價(jià)

南嘉欣 王 利

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100029)

引 言

金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題是金融界的熱門(mén)研究問(wèn)題，而由利率市場(chǎng)變化引發(fā)的衍生產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題成為目前金融理論研究和實(shí)踐研究的一個(gè)熱點(diǎn)。Deng等[1]研究了Vasicek利率模型下的零息債券和無(wú)紅利股票期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題；Carr等[2]研究了Lévy跳擴(kuò)散過(guò)程下的期權(quán)定價(jià)并給出定價(jià)公式；郭精軍等[3]研究了Vasicek隨機(jī)利率和標(biāo)的資產(chǎn)服從次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)定價(jià)公式；錢(qián)曉松[4]選取不同計(jì)價(jià)單位以及相應(yīng)的概率測(cè)度，簡(jiǎn)化了一些期權(quán)定價(jià)中復(fù)雜的理論，得到了連續(xù)隨機(jī)利率模型下歐式期權(quán)的定價(jià)公式。由于Lévy過(guò)程具有左極右連及無(wú)限可分的特性，可以更好地刻畫(huà)金融市場(chǎng)中隨時(shí)都在發(fā)生的小幅跳躍行為及罕見(jiàn)的大幅波動(dòng)行為，因此本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上研究了當(dāng)利率與標(biāo)的資產(chǎn)均由帶Lévy跳的隨機(jī)模型給出時(shí)的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。

1 帶Lévy跳的利率與標(biāo)的資產(chǎn)模型

1.1 帶Lévy跳的Vasicek利率模型

設(shè)有一個(gè)概率空間(Ω,F,Ft{0≤t≤T},Q)，F(xiàn)t是t時(shí)刻的滿足通常條件的域流，即Ft是右連續(xù)且單調(diào)增的，Q是風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度。Vasicek[5]于1977年提出的利率結(jié)構(gòu)模型為

dr(t)=k(ε-r(t))dt+vdW(t),t≥0

(1)

式中，r(t)為短期利率，W(t)為布朗運(yùn)動(dòng)，k、ε、v均為大于0的常數(shù)，其中k為拉力，ε為利率的長(zhǎng)期平均水平。之后，Bj?rk等[6]將其推廣至由泊松點(diǎn)過(guò)程和布朗運(yùn)動(dòng)兩個(gè)不確定因素聯(lián)合驅(qū)動(dòng)的利率結(jié)構(gòu)模型，即利率r(t)滿足如下隨機(jī)微分方程

(2)

1.2 標(biāo)的資產(chǎn)

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，考慮期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S(t)為[7]

(3)

(4)

2 泊松隨機(jī)測(cè)度

(5)

引理2[7](Doleans-Dade指數(shù)公式) 若{X(t)}t≥0是一個(gè)跳擴(kuò)散過(guò)程，那么X的Doleans-Dade指數(shù)公式有如下形式

(6)

這個(gè)過(guò)程是滿足初始條件ZX(0)=1的隨機(jī)微分方程dZX(t)=ZX(t-)dX(t)的解。

(7)

{W1(t)}t≥0,{W2(t)}t≥0,{N1(t)}t≥0,{N2(t)}t≥0,(Uj)j≥1是相互獨(dú)立的，利率由式(2)給出，以標(biāo)的資產(chǎn)S(t)與零息債券b(t,T)兩種計(jì)價(jià)單位來(lái)對(duì)歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

3 定理及證明

定理在市場(chǎng)利率和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格分別由式(2)、(3)給出的雙Lévy跳的市場(chǎng)環(huán)境中，到期時(shí)間為T(mén)，執(zhí)行價(jià)格為K，歐式看漲期權(quán)在零時(shí)刻的價(jià)格

(8)

(9)

(10)

證明到期時(shí)間為T(mén)且執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)格C(0,S(0))滿足

C(0,S(0))=EQ[B-1(T)(S(T)-K)+]=EQ[B-1(T)S(T)I{S(T)≥K}]-KEQ[B-1(T)I{S(T)≥K}]

(11)

(12)

定義Y(t)=b(t,T)/S(t)和Z(t)=S(t)/b(t,T)，先分別求出Y(t)、Z(t)在測(cè)度QS和Qb下的表達(dá)式,再分別計(jì)算QS(S(T)≥K)與Qb(S(T)≥K)。

引理4由Girsanov’s定理，經(jīng)由測(cè)度變換

(13)

(14)

引理5在測(cè)度QS下，Y(T)具有如下表達(dá)式

(15)

證明由It公式，對(duì)于b(t,T)和1/S(t)分別有

(16)

又在測(cè)度QS下有

(17)

且Y(t)=b(t,T)/S(t)，再由It公式可得

(18)

(19)

(20)

再由引理2可得到Y(jié)(T)即為式(15)。

引理6在測(cè)度Qb下，Z(T)表達(dá)式為

(21)

證明類似地，對(duì)Z(t)=S(t)/b(t,T)有

(22)

(23)

(24)

再由引理2可得Z(T)即為式(21)。

在得到Y(jié)(T)和Z(T)的表達(dá)式后，對(duì)式(12)中QS(S(T)≥K)進(jìn)行如下計(jì)算。

(25)

將Y(T)的表達(dá)式(式(15))代入式(25)，整理得到

(26)

(27)

同理，對(duì)于式(12)中Qb(S(T)≥K)有

(28)

將Z(T)的表達(dá)式(式(21))代入式(28)，整理得到

(29)

(30)

綜合式(11)、(27)、(30)，即可整理得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式(8)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究利率和資產(chǎn)均服從Lévy跳擴(kuò)散模型下的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。在計(jì)算過(guò)程中利用帶跳的測(cè)度變換公式完成測(cè)度變換，利用Lévy-It型積分公式與Doleans-Dade指數(shù)公式完成計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)換的計(jì)算。該模型可以更好地捕捉市場(chǎng)中的利率波動(dòng)以及適應(yīng)利率市場(chǎng)環(huán)境，并且使用計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)化原理使得定價(jià)問(wèn)題變得簡(jiǎn)便。