考慮媒體報道效應(yīng)的SEIQR傳染病模型的研究

李錄蘋,孔麗麗

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

傳染病伴隨著人類文明進程而來，并對人類文明產(chǎn)生深刻和全面的影響，甚至比戰(zhàn)爭、革命、暴動的影響還要更猛烈。因此傳染病的研究吸引了眾多數(shù)學(xué)工作者的目光，成為了一個熱門的研究課題。近年來，隨著社會網(wǎng)絡(luò)媒體對傳染病的傳播途徑和防治手段的宣傳使得人們對疾病的傳播方式有了進一步認識，從而有效地控制了疾病的發(fā)展。因此，在傳染病的研究過程中考慮媒體報道對傳染病的影響是非常必要的。目前，已經(jīng)有一些研究媒體報道對傳染病模型影響的文章出現(xiàn)[1-6]?？紤]在媒體正面報道和負面報道同時影響下的SEIQR傳染病模型。

1 建立模型

建立如下具有媒體報道影響和飽和恢復(fù)率的SEIQR傳染病模型

這里S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)分別為t時刻易感者，潛伏者，染病者，隔離者，恢復(fù)者的數(shù)量。用N(t)表示時刻總?cè)丝跀?shù)，則N(t)=S(t) +E(t) +I(t) +Q(t) +R(t)。Λ 為易感者的常數(shù)輸入率，μ為各類人群的自然死亡率，βe(m2-m1)I為媒體報道對傳染病傳播的影響(其中em2I表示媒體負面報道使傳染病基本傳播率增加，e-m1I表示媒體正面報道使傳染病基本傳播率減少)。為傳染病的平均潛伏期，r為染病者的隔離率，為染病者的因病死亡率，為隔離者的因病死亡率，k為傳染病的飽和恢復(fù)率，為隔離者的康復(fù)率。

2 基本再生數(shù)和無病平衡點的存在性

將系統(tǒng)(1)中的微分方程相加得總?cè)丝贜(t)的微分方程。容易證明閉集D1=為系統(tǒng)(1)的正向不變集。

令x=(E,I,Q,R,S)T，則系統(tǒng)(1)可表示為

因此，A(x)，B(x)在E0處的雅可比矩陣分別為

3 無病平衡點的穩(wěn)定性

定理1若R0＜1，系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定；若R0＞1，則E0不穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)(1)在E0處的雅可比矩陣為

由此得系統(tǒng)(1)在E0處的特征方程為

如果方程(2)的所有特征根均具有負實部，則E0局部漸近穩(wěn)定。顯然，方程(2)恒有三個負實根λ1=λ2=-μ＜0,λ3=-(μ+r1+k) ＜0。

其它特征根由下面方程確定

整理得

其中

當(dāng)R0＜1 時，有p＞0，q＞0,則由Hurwitz 判據(jù)知方程(3)的根具有負實部。綜上所述當(dāng)R0＜1 時，E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0＞1 時，這里p＞0，q＜0，方程(3)存在一個正特征根，所以E0是不穩(wěn)定的。

定理2若R0＜1 且m2＜m1，則系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0在D0內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

證明構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)V=E，計算V沿系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)m2-m1時，有

從而，當(dāng)R0＜1時，有≤0；而0當(dāng)且僅當(dāng)I=0。由Lyapunov-Lasalle 不變集原理知，當(dāng)0 時，D1中所有軌線均趨于最大正向不變集M={I=0}，并且當(dāng)I=0時，有E=0。因此

當(dāng)t→+∞，則,Q→0,R→0。因此，D1中所有軌線均趨于E0。所以當(dāng)R0＜1時，E0全局吸引。

再結(jié)合定理1的結(jié)論知，當(dāng)R0＜1且m2＜m1時，E0在D1內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。