軟基水閘底板脫空反演的響應(yīng)面模型優(yōu)化

劉雙平，柯賢勇，李火坤，李輝，唐義員，涂源，方靜

(南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西 南昌 330031)

長期處于激振交替、動靜懸殊的工作環(huán)境中的軟基水閘容易出現(xiàn)底板脫空[1]，目前，基于動力學(xué)特性對水閘結(jié)構(gòu)進(jìn)行反分析被廣泛研究[2-4]。尋找準(zhǔn)確可靠的響應(yīng)面模型代替有限元模型，是進(jìn)行軟基水閘底板脫空反演的關(guān)鍵。

響應(yīng)面方程是決定脫空參數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間非線性關(guān)系的重要因素，當(dāng)響應(yīng)面方程過于簡單時，響應(yīng)面模型難以保證其精度；當(dāng)響應(yīng)面方程過于復(fù)雜時，響應(yīng)面模型的效率會降低[5]。于景飛等[6]采用線性多項式函數(shù)構(gòu)建響應(yīng)面方程，對大跨徑混凝土斜拉橋進(jìn)行了優(yōu)化預(yù)測研究；Fang等[7]指出參數(shù)間相互效應(yīng)對響應(yīng)面模型總方差的貢獻(xiàn)非常小；張運濤等[8]基于逐步回歸的方法對變量的選取進(jìn)行顯著性分析,提高了所選取不含交叉項二次多項式響應(yīng)面模型的精度和計算效率，并將其運用于大跨連續(xù)剛構(gòu)橋長期變形預(yù)測；李延強(qiáng)等[9]采用F檢驗法進(jìn)行參數(shù)的顯著性分析，以二次多項式擬合響應(yīng)面模型，對比了考慮交叉項和不考慮交叉項對斜拉橋模型的修正結(jié)果；宗周紅、劉杰等[10-11]采用高階響應(yīng)面模型應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)的損傷識別。張建偉等[12]采用基于方差分析的F檢驗法，對響應(yīng)面模型參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗，并將優(yōu)化后的響應(yīng)面模型應(yīng)用于某大型渡槽結(jié)構(gòu)的有限元模型修正；蒙偉等[13]分析了F檢驗和t檢驗的特點，采用了一種能直觀方便地判斷回歸模型和回歸系數(shù)顯著性的p值法檢驗，并將其應(yīng)用于初始地應(yīng)力場的反演分析。

為獲得軟基水閘底板脫空反演中最佳的響應(yīng)面模型，本文提出了一種基于顯著性檢驗的響應(yīng)面模型優(yōu)選與優(yōu)化方法。首先，采用拉丁超立方抽樣(LHS)獲得脫空參數(shù)樣本集，并將其輸入水閘有限元模型計算相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)集，以此構(gòu)建表征脫空參數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間非線性關(guān)系的多種不同形式的響應(yīng)面模型；其次，對不同形式的響應(yīng)面模型進(jìn)行F檢驗，綜合考慮精度和效率，優(yōu)選形式最佳的響應(yīng)面模型；然后，對形式最佳的響應(yīng)面模型進(jìn)行t檢驗，優(yōu)化響應(yīng)面模型的參數(shù)，剔除對模態(tài)參數(shù)影響不足的脫空參數(shù)及其組合(贅余項)以獲得最佳的響應(yīng)面模型；最后，將最佳的響應(yīng)面模型應(yīng)用于軟基水閘物理模型的底板脫空反演，驗證方法的有效性。

1 響應(yīng)面模型優(yōu)選與優(yōu)化

1.1 拉丁超立方抽樣試驗設(shè)計

試驗樣本的選取方法與數(shù)量關(guān)系到響應(yīng)面模型的精度和效率，以及分析結(jié)果的準(zhǔn)確性[14]。采用拉丁超立方抽樣試驗設(shè)計，能夠以少量的脫空參數(shù)樣本，全面而準(zhǔn)確地反映軟基水閘底板脫空的分布情況。采用LHS生成脫空參數(shù)樣本集思路如下[15-16]：

然后，根據(jù)脫空參數(shù)的概率分布情況，對每一個子區(qū)間進(jìn)行獨立的等概率抽樣，第j個子區(qū)間抽樣獲取的脫空參數(shù)值dij滿足以下關(guān)系：

(1)

式中：dij表示第i個脫空參數(shù)在第j個子區(qū)間的抽樣值；r表示服從[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)；m表示脫空參數(shù)的個數(shù)，即抽樣維度；n表示子區(qū)間數(shù)，即抽樣組數(shù)。

最后，將各子區(qū)間生成的樣本點匯總成樣本集，對各脫空參數(shù)的抽樣值隨機(jī)組合形成多維脫空參數(shù)樣本集。

1.2 響應(yīng)面模型

有限元模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，單元龐大，難以進(jìn)行反分析計算。合理構(gòu)建脫空參數(shù)與模態(tài)參數(shù)(固有頻率和節(jié)點振型)之間的響應(yīng)面模型代替有限元模型，是進(jìn)行軟基水閘底板脫空反演的基礎(chǔ)。本文采用的響應(yīng)面方程為基于Taylor展開的多項式函數(shù)，響應(yīng)面方程如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：α表示頻率響應(yīng)面方程的待定系數(shù)。

響應(yīng)面模型的構(gòu)建思路：首先，通過LHS獲取脫空參數(shù)樣本集；其次，將脫空參數(shù)樣本集輸入有限元模型中，計算相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)集；然后，根據(jù)脫空參數(shù)集和模態(tài)參數(shù)集，以上述7種不同形式的多項式函數(shù)構(gòu)建響應(yīng)面方程組；最后，根據(jù)多元回歸分析確定響應(yīng)面方程組的待定系數(shù)，從而建立7種不同形式的響應(yīng)面模型。

1.3 顯著性檢驗

為獲得軟基水閘底板脫空反演中最佳的響應(yīng)面模型，采用顯著性檢驗對響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)選與優(yōu)化。首先，基于回歸模型的顯著性檢驗(F檢驗)，對上述7種不同形式的響應(yīng)面模型進(jìn)行顯著性分析，優(yōu)選形式最佳的響應(yīng)面模型；隨后，基于回歸系數(shù)的顯著性檢驗(t檢驗)，對形式最佳的響應(yīng)面模型的回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性分析，優(yōu)化響應(yīng)面模型的參數(shù)，得到最佳的響應(yīng)面模型。

1.3.1F檢驗

H0:αi=αii=αiii=αiiii=αij=αijk=αiij=0

(10)

式中：H0表示頻率響應(yīng)面模型的檢驗狀態(tài)。

利用方差分析法，計算上述7種響應(yīng)面方程的F統(tǒng)計量，公式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

1.3.2t檢驗

H0:αI=0，I∈{i,ii,iii,iiii,ij,ijk,iij}

(15)

式中：H0表示頻率響應(yīng)面模型回歸系數(shù)的檢驗狀態(tài)。

可由以下公式計算響應(yīng)面方程中每一項回歸系數(shù)的TI值：

(16)

(17)

(18)

(19)

1.4 響應(yīng)面模型評價指標(biāo)

在響應(yīng)面方程形式持續(xù)復(fù)雜化的過程中，響應(yīng)面模型的精度必然會一步步提高，與此同時，擬合響應(yīng)面以及進(jìn)行軟基水閘底板脫空反演的效率必然會有所降低。因此，在優(yōu)選形式最佳的響應(yīng)面方程時，需綜合考慮精度和效率兩方面的影響。本文采用3個精度評價指標(biāo)和1個效率評價指標(biāo)來衡量響應(yīng)面模型的優(yōu)劣。

1.4.1 精度評價指標(biāo)

(20)

(21)

相對均方根誤差RMSE′反映響應(yīng)面模型模態(tài)參數(shù)的輸出值與有限元模型模態(tài)參數(shù)的計算值之間的誤差，其表達(dá)式如下：

(22)

相對均方根誤差RMSE′絕對值(經(jīng)歸一化之后的振型存在負(fù)值)越小，表明響應(yīng)面模型模態(tài)參數(shù)的輸出值與有限元模型模態(tài)參數(shù)的計算值之間的誤差越小，響應(yīng)面模型精度越高。

以上兩種評價指標(biāo)均表示響應(yīng)面模型的整體精度，而每一組脫空參數(shù)樣本點對應(yīng)的響應(yīng)面模型模態(tài)參數(shù)的輸出值與有限元模型模態(tài)參數(shù)的計算值之間的相對誤差Rsp，能夠有效地評價響應(yīng)面模型點對點的擬合精度，其表達(dá)式如下：

(23)

對所有的脫空參數(shù)樣本點對應(yīng)的模態(tài)參數(shù)由式(23)遍歷，設(shè)定閾值為5‰[17]。對LHS的所有樣本點，超出閾值的個數(shù)越少，Rsp max越小，響應(yīng)面模型精度越高。

1.4.2 效率評價指標(biāo)

效率是檢驗響應(yīng)面模型的擬合過程以及在代替有限元模型進(jìn)行軟基水閘底板脫空反演過程中耗時是否經(jīng)濟(jì)合理的重要指標(biāo)。考慮到不同計算機(jī)之間的差異性，計算耗時并不適合直接作為效率評價指標(biāo)。在利用多元回歸分析擬合響應(yīng)面方程中，待定系數(shù)越多，擬合效率越低，此外，在進(jìn)行軟基水閘底板脫空反演中，響應(yīng)面模型的參數(shù)越多，反演效率越低，因此，以響應(yīng)面方程展開后的項數(shù)K作為響應(yīng)面模型的效率評價指標(biāo)是合理可行的。響應(yīng)面方程展開后的項數(shù)K越小，響應(yīng)面模型效率越高。

1.5 響應(yīng)面模型優(yōu)化流程

基于顯著性檢驗的軟基水閘底板脫空反演中響應(yīng)面模型優(yōu)選與優(yōu)化流程圖如圖1所示。

圖1 軟基水閘底板脫空反演中響應(yīng)面模型優(yōu)選與優(yōu)化流程圖Fig.1 Flowchart of response surface model selection and optimization in the inversion for the floor void of sluice on the soft foundation

2 軟基水閘物理模型驗證

2.1 軟基水閘物理模型基本概況

以某水閘工程為背景實例，制作一單孔軟基水閘室內(nèi)物理模型[4]。基于水閘物理模型，采用人工掏空的方式對水閘模型底板順?biāo)鞣较蜻M(jìn)行了單側(cè)型和雙側(cè)型隨機(jī)脫空模擬，并測量脫空縱深，如圖2所示。在描述底板脫空范圍的數(shù)學(xué)模型中[3]，采用5個參數(shù)描述單側(cè)脫空(即m=5)；10個參數(shù)描述雙側(cè)脫空(即m=10)。脫空模擬共分為3種工況：其中，工況一和工況二為單側(cè)脫空，工況三為雙側(cè)脫空。不同工況下的脫空參數(shù)di如表1所示。

(a) 物理模型脫空

表1 水閘物理模型底板脫空工況及脫空參數(shù)Tab.1 Void conditions and void parameters of the sluice physical model bottom plate

2.2 構(gòu)建響應(yīng)面模型

根據(jù)水閘物理模型尺寸，結(jié)合工程經(jīng)驗，將底板脫空的抽樣范圍確定為上游側(cè)[0,0.65]m，下游側(cè)[0,0.4]m。單側(cè)脫空和雙側(cè)脫空的抽樣維度分別為5和10，采用LHS生成2 000組脫空參數(shù)樣本。將脫空參數(shù)樣本集輸入水閘有限元基準(zhǔn)模型中，計算與之相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)，提取前四階頻率和振型，分別構(gòu)建脫空參數(shù)與頻率和振型之間的響應(yīng)面模型。

2.3 優(yōu)選與優(yōu)化響應(yīng)面模型

2.3.1 優(yōu)選響應(yīng)面模型的形式

以雙側(cè)脫空，頻率響應(yīng)面模型為例，對響應(yīng)面模型進(jìn)行F檢驗，F(xiàn)統(tǒng)計量及其臨界值如表2所示，可知，7種響應(yīng)面方程的F統(tǒng)計量遠(yuǎn)大于臨界值，表明7種響應(yīng)面模型均能準(zhǔn)確有效地代替有限元模型。此外，第三階響應(yīng)面模型的F統(tǒng)計量比其余三階都小，表明第三階模態(tài)參數(shù)樣本變異性更大，對脫空參數(shù)的敏感性更高。

表2 7種頻率響應(yīng)面模型的F統(tǒng)計量及其臨界值(雙側(cè)脫空)Tab.2 F statistics of seven frequency response surface models and their critical values (two-sided void)

表3 7種頻率響應(yīng)面模型的整體精度(雙側(cè)脫空)Tab.3 Overall accuracy of seven frequency response surface models (two-sided void)

表4 7種頻率響應(yīng)面模型的樣本點精度(雙側(cè)脫空)Tab.4 Sample point accuracy of seven frequency response surface models (two-sided void)

表5 7種響應(yīng)面模型的效率Tab.5 Efficiency of seven response surface models

2.3.2 優(yōu)化響應(yīng)面模型的參數(shù)

(a) 第一階

根據(jù)圖3可以直觀地看出對頻率響應(yīng)影響不足的脫空參數(shù)及其組合，將各階頻率響應(yīng)面方程中的贅余項剔除，常數(shù)項及保留項所構(gòu)成的響應(yīng)面方程為最佳的響應(yīng)面方程，經(jīng)參數(shù)優(yōu)化的響應(yīng)面模型即為最佳的響應(yīng)面模型。

2.4 結(jié)果驗證

為驗證經(jīng)顯著性檢驗的響應(yīng)面模型的優(yōu)越性，將最佳的響應(yīng)面模型應(yīng)用于軟基水閘底板脫空反演，并將反演結(jié)果與參考文獻(xiàn)[4]對比。不同工況下水閘底板脫空控制參數(shù)反演值與實際值如表6所示、識別的脫空面積及趨勢與實際脫空如圖4所示、識別的脫空面積與實際的脫空面積之間的相對誤差如表7所示，同時，為更準(zhǔn)確衡量反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文提出了一種更為科學(xué)合理的評價指標(biāo)——面積不重合度，即識別脫空與實際脫空不重合部分的面積在實際脫空的面積占比。從反演識別結(jié)果來看，識別脫空與實際脫空能較好地吻合，3種工況下水閘底板脫空反演結(jié)果與實際脫空的面積不重合度分別為14.79%，5.46%，7.36%，相比參考文獻(xiàn)[4]的反演結(jié)果有了較大的提升，驗證了本文方法的有效性。

表6 不同工況下脫空參數(shù)反演結(jié)果Tab.6 Inversion results of void parameters under different conditions

(a) 工況一

表7 識別脫空面積與實際脫空面積的相對誤差Tab.7 Relative error between the identify void area and the actual void area

3 結(jié)論

(1) 基于顯著性分析，采用F檢驗，從7種不同形式的響應(yīng)面模型中優(yōu)選出形式最佳的響應(yīng)面模型；隨后，對形式最佳的響應(yīng)面模型的脫空參數(shù)及其組合進(jìn)行t檢驗以刪除贅余項，建立了能夠準(zhǔn)確高效地代替有限元模型的響應(yīng)面模型。

(2) 提出了采用面積不重合度來衡量反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，使得軟基水閘底板脫空識別的精度評價更加科學(xué)合理。

(3) 將經(jīng)顯著性檢驗獲得的最佳的響應(yīng)面模型應(yīng)用于軟基水閘底板脫空反演，結(jié)果表明：識別脫空與實際脫空能夠較好地吻合，3種工況下的水閘底板脫空反演結(jié)果與實際脫空的面積不重合度分別為14.79%，5.46%，7.36%，提高了反演精度，驗證了本文方法的有效性。