基于多插值算法的大孔徑井身結(jié)構(gòu)三維成像探測裝置設(shè)計探討

汪發(fā)文， 徐 俊

(湖北省城市地質(zhì)工程院，湖北 武漢 430050)

目前，各類地質(zhì)鉆孔和工程應(yīng)用類鉆孔的直徑越來越大，而孔徑超徑或者縮徑問題直接影響著工程下一步施工工序，對工程整體質(zhì)量有著重要影響[1]，因此如何準(zhǔn)確測量大口徑鉆孔孔徑的難題亟待解決。一種現(xiàn)有測量技術(shù)方法是小口徑鉆孔孔徑機(jī)械臂測量法[2]，主要為傘狀測量，其主要缺陷有：①測量臂的伸展難題；②測量結(jié)果為數(shù)據(jù)或者孔身曲線，不能全方位展現(xiàn)鉆孔孔身。另外一種現(xiàn)有測量技術(shù)方法是聲波測量法[3]，其測量范圍較大，但是聲波需要依賴鉆孔中的沖洗液作為媒介傳播，受沖洗液性能影響非常大，其主要缺陷有：①沖洗液性能影響測量精度誤差大;②對于漏失鉆孔，沖洗液不能灌滿鉆孔，則上部無沖洗液孔段無法測量;③鉆進(jìn)過程中，鉆孔孔壁會形成一定厚度的泥皮，聲波測量則不能精準(zhǔn)測量孔徑尺寸，孔徑整體偏小;④測量結(jié)果為數(shù)據(jù)或者孔身曲線，不能全方位直觀展現(xiàn)鉆孔孔身。因此現(xiàn)有的孔徑測量設(shè)備不能準(zhǔn)確測量大口徑鉆孔孔徑。機(jī)械臂測量法主要針對小口徑鉆孔，測量臂伸展具有一定難度，儀器上行下放不易；聲波測量法必須有傳播媒介才能測量，并且聲波不能穿透鉆孔孔壁的泥皮，測量誤差大，同時孔身測試顯示為平面曲線，不能三維立體顯示。

針對現(xiàn)有技術(shù)存在的問題，課題組設(shè)計出了一種能測量大口徑鉆孔孔徑的方法，該方法通過接觸式破除孔壁泥皮，能最真實地反映鉆孔孔徑，并采用一定技術(shù)手段，最終實現(xiàn)三維立體圖像顯示孔身，從而直觀地了解鉆孔縮徑、擴(kuò)徑問題。這為更精準(zhǔn)地計算固井用水泥漿提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，同時也能直接檢驗護(hù)壁套管的變形磨損程度。本文主要闡述以大孔徑井身結(jié)構(gòu)三維成像測量方法及裝置原理，同時根據(jù)測量原理，基于多種插值算法并依托Matlab軟件進(jìn)行程序設(shè)計編譯與封裝，最后采用隨機(jī)生成井孔的數(shù)據(jù)對其方法的可行性與準(zhǔn)確性進(jìn)行驗證。

1 技術(shù)方案原理與裝置設(shè)計

本文所提出的大孔徑井身結(jié)構(gòu)三維成像的原理如圖1所示。由圖1可知，對于井孔的實際孔徑，測量臂通過彈簧將其轉(zhuǎn)化為壓力數(shù)據(jù)，隨后通過壓電傳感裝置將壓力數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為電學(xué)數(shù)據(jù)，測試裝置測取該電學(xué)數(shù)據(jù)，并通過集成于內(nèi)置微機(jī)中的逆向計算算法與柱面插值算法，得到井孔重構(gòu)的內(nèi)徑輪廓。其中用于數(shù)據(jù)采集與處理的內(nèi)置微機(jī)原理如圖2所示。

1.1 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化與處理

利用井孔測試裝置得到裝置位于不同深度時的電流數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到用于計算的各項長度數(shù)據(jù)。

圖1 井孔測量裝置原理圖Fig.1 Schematic diagram of borehole measuring device

圖2 內(nèi)置微機(jī)原理圖Fig.2 Schematic diagram of built-in microcomputer

測量設(shè)備上共安裝8個帶彈簧—壓敏電阻的電路，用于記錄并計算得到半徑數(shù)據(jù)。測試過程中，通過上升記錄裝置記錄位于不同高度時8個傳感器的電流數(shù)據(jù)，因此每個高度上可獲得8個電流數(shù)據(jù)。電流數(shù)據(jù)用Iij(xk)表示,其中下標(biāo)i為傳感電路編號，取值為1～8；j為測量行程編號，取值為1或2；xk為深度坐標(biāo)，以井底為坐標(biāo)原點，每0.5 m記錄一次。得到壓敏電阻受力Fij(xk)隨xk變化的數(shù)據(jù)為：

(1)

式中:φi為第i個傳感回路對應(yīng)壓敏電阻的力—阻函數(shù)；U為測試裝置中總電源的電壓值。

圖3所示為測試裝置示意圖(共8根彈簧，圖中僅展示一根),彈簧在自由不受力狀態(tài)下的長度為ri0，測試半徑Rij(xk)隨xk變化的數(shù)據(jù)為：

(2)

式中:ki為第i個傳感回路所對應(yīng)的彈簧剛度。

圖3 測試示意圖Fig.3 Test diagram

采用式(2)可得到N×8個數(shù)據(jù)，N為深度維度上的采樣數(shù)，8為8個傳感回路測試得到電流后通過計算所得到的半徑數(shù)據(jù)的個數(shù)。在進(jìn)行輪廓維度上的插值擬合計算時，由于8個測試數(shù)據(jù)分別對應(yīng)于輻角：0、π/4、π/2、3π/4、π、5π/4、3π/2、7π/4,但沒有2π處的數(shù)據(jù)，未形成封閉的圓柱殼體。因2π處數(shù)據(jù)與0處相同，因此在計算前需人工將N×8尺寸數(shù)據(jù)第一列復(fù)制到第9列，從而增加為N×9尺寸數(shù)據(jù)。

1.2 輪廓擬合插值算法

方法配套的程序所采用的插值方式為二維插值(圓周維度與井深維度)，其中可選的插值算法一共有5種：線性插值(默認(rèn))、最近鄰插值、三次插值、Makima插值和樣條插值。

(1) 線性插值[4]。設(shè)原始函數(shù)為柱函數(shù)，則每個點的半徑長度的理論函數(shù)為ρ(φ,xk)，其中φ為圓柱表面上點對應(yīng)的輻角，xk為深度坐標(biāo)。首先對φ方向進(jìn)行線性插值，假設(shè)已知柱面函數(shù)在p1=(φ1,xk1)、p2=(φ1,xk2)、p3=(φ2,xk1)、p4=(φ2,xk2)四個點處的函數(shù)值，則能得到xk方向上的插值函數(shù)：

(3)

隨后在xk方向上進(jìn)行插值，可以得到：

(4)

最后得到的線性插值結(jié)果為：

(5)

(2) 最近鄰插值[5]。其算法原理如圖4所示。從圖4中可知，對于經(jīng)過p1=(φ1,xk1)、p2=(φ1,xk2)、

圖4 最近鄰插值示意圖Fig.4 Nearest neighbor interpolation diagram

p3=(φ2,xk1)、p4=(φ2,xk2)四個點的二元函數(shù)，其最近鄰插值結(jié)果為：A、B、C、D四個區(qū)域自變量對應(yīng)的函數(shù)值分別等于p1、p2、p3、p4四個點對應(yīng)的函數(shù)值。

(3) 三次插值[6]。相較于線性插值與最近鄰插值，雙三次插值因其高階數(shù)與復(fù)雜度而被廣泛應(yīng)用于圖像的平滑、銳化處理當(dāng)中。程序中所使用的三次插值算法為基于BiCubic基函數(shù)的雙三次插值法。其中BiCubic函數(shù)為：

(6)

當(dāng)ξ取值為1時，BiCubic函數(shù)圖像如圖5所示。

圖5 BiCubic函數(shù)圖像(ξ=1)Fig.5 Image of BiCubic function,ξ=1

對于待擬合的面函數(shù)ρ(φ,xk)，若已知其所經(jīng)過的16個點坐標(biāo)值ρ(φi,xkj)，其中i,j=1,2,3,4，結(jié)合BiCubic函數(shù)，可知其雙三次插值擬合結(jié)果為：

(7)

(4) Makima插值[7]。為修正Akima插值方法，學(xué)術(shù)上又叫作修正Akima分段三次Hermite插值，通過連續(xù)6個點的采樣值，基于雙五次多項式和連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行光滑的曲面擬合和內(nèi)插。

(5) 樣條插值[8]。又名三次樣條插值。對于經(jīng)過點(φi,xkj)(i=0,1,2,…,N；j=0,1,2,…,M)的二元函數(shù)ρ(φ,xk)，首先對其輻角進(jìn)行插值計算。設(shè)φmin=φ1<…<φN=φmax，對于每個區(qū)間[xi,xi+1]都通過三次樣條函數(shù)對其進(jìn)行擬合，且整個定義域內(nèi)的三次樣條函數(shù)二階連續(xù)。令第i個區(qū)間內(nèi)的三次多項式為：

ρi(φ)=aiφ3+biφ2+ciφ+di

(8)

由于ρ(φ)在[φmin,φmax]上二階連續(xù)，因此在每個節(jié)點處(除端點)滿足以下連續(xù)性條件：

ρi-1(k)(φi)=ρi(k)(φi),k=0,1,2

(9)

由此可以得到3(N-1)個條件，結(jié)合N+1個插值條件，共有4N-2個條件，當(dāng)給定兩個端點的邊界條件(視情況而定)時，便可確定插值函數(shù)的所有參數(shù)。

在得到輻角φ的插值函數(shù)后，以相同的方法進(jìn)行深度維度的插值計算，最后計算得到整個井孔的插值輪廓函數(shù)。

五種插值方式的特點如表1所示。

表1 插值方式特點Table 1 Characteristics of interpolation method

通過插值計算得到的結(jié)果為柱坐標(biāo)函數(shù)，隨后將柱坐標(biāo)向笛卡爾坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到用于繪制井孔輪廓的三維成像坐標(biāo)值。根據(jù)所提出的大孔徑井身結(jié)構(gòu)三維成像方法的原理，可實現(xiàn)該方法對應(yīng)裝置的設(shè)計與配套軟件的編譯。

1.3 裝置設(shè)計

本文所提出的大孔徑井身結(jié)構(gòu)三維成像測量裝置如圖6所示。圖6中千斤頂?shù)纳隙斯潭ㄓ兄螚U，支撐桿通過萬向球軸承與井口測量平臺連接；井口測量平臺上固定有驅(qū)動電機(jī)，驅(qū)動電機(jī)上固定有驅(qū)動滑輪；驅(qū)動滑輪通過繩索與第一導(dǎo)向滑輪連接，第一導(dǎo)向滑輪通過第一繩索與測量儀器連接，測量儀器下端固定有配重塊；測量儀配置有測量筒，測量筒四周通過螺紋連接副固定有測量臂，測量臂配置有彈簧套筒，測量筒還配置有微動開關(guān)和微機(jī)模塊。其中測量儀的具體結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖6 裝置設(shè)計整體Fig.6 Overall device design1.軸承；2.固定銷；3.第一導(dǎo)向滑輪；4.驅(qū)動電機(jī)；5.驅(qū)動滑輪；6.固定螺栓；7.萬向球軸承；8.千斤頂；9.第一繩索；10.測量儀；11.配重塊；12.固定銷孔。

圖7 測量儀結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Structure diagram of measuring instrument1.固定線盤；2.橡膠；3.第二繩索；4.壓電傳感裝置；5.第二導(dǎo)向輪；6.螺紋連接副；7.繩索導(dǎo)孔；8.彈簧卡扣；9.復(fù)位彈簧；10.伸縮彈簧；11.滾輪。

對于圖7中的測量儀，其內(nèi)部包含有8個方向測量臂的彈簧測試裝置，具體結(jié)構(gòu)如圖8所示?；谏鲜鲅b置設(shè)計及測試原理，在Matlab軟件GUI編輯模塊中實現(xiàn)數(shù)據(jù)測取處理后的輪廓計算與繪制程序的編譯，從而實現(xiàn)井身結(jié)構(gòu)圖的自動刻畫生成。

圖8 帶滾輪的彈簧伸縮臂Fig.8 Spring retractable arm with roller

2 仿真算例

為驗證所設(shè)計的大孔徑井身結(jié)構(gòu)三維成像方法的可行性，本文選取平均直徑800 mm、波動±100 mm、沿深度方向40 m隨機(jī)生成的井孔輪廓為仿真研究對象，對輪廓沿圓周向每π/4弧度、沿深度方向每1 m深度的采樣率進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，得到40×8的數(shù)據(jù)。為形成封閉圓環(huán)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)第1列進(jìn)行復(fù)制，并增加到第9列，得到40×9的數(shù)據(jù)，最后將數(shù)據(jù)導(dǎo)入到自編軟件中[9]。軟件的界面如圖9所示。

圖9 井孔輪廓繪制軟件界面圖Fig.9 Interface diagram of well contour drawing software

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入軟件后選擇插值計算模式，本文所提方法一共可選擇五種插值算法，當(dāng)未進(jìn)行方法選擇時，默認(rèn)采用線性插值方法進(jìn)行計算。隨后進(jìn)行插值數(shù)據(jù)的計算，最后將計算結(jié)果進(jìn)行繪制，得到井孔的輪廓圖。對于本案例所用數(shù)據(jù)，采用五種插值方式得到的輪廓如圖10所示。由圖10可知，除最鄰近插值算法因算法簡單快速導(dǎo)致結(jié)果精度較低外，其余四種插值算法所計算、繪制得到的結(jié)果形狀相似，且輪廓過渡平滑，能較準(zhǔn)確地還原重構(gòu)井孔內(nèi)壁的三維輪廓圖。

在實際計算過程中，對于線性插值、最近鄰插值、三次插值、Makima插值、樣條插值這五種插值方法，計算插值解的時長分別為14.8 ms、13.1 ms、15.7 ms、35.2 ms與13.8 ms，相較而言Makima插值算法的計算效率最低而其余四種效率相當(dāng)。因此對于數(shù)據(jù)量小的簡單結(jié)構(gòu)來說，其計算負(fù)載小，最近鄰插值算法不僅還原準(zhǔn)確度較差，效率也未得到顯著提升，建議選用其余四種插值方法；對于數(shù)據(jù)量大的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，其計算負(fù)載大，Makima插值算法不僅計算效率較低，還原準(zhǔn)確度也未得到明顯提升，建議選用其余四種插值方法。

綜上所述，應(yīng)根據(jù)具體應(yīng)用場合，選取不同的插值算法來進(jìn)行井孔輪廓的插值計算，從而保證計算效率與還原準(zhǔn)確度。

圖10 不同插值方式下的井孔輪廓繪制圖Fig.10 Well contour drawing with different interpolation methods

3 結(jié)論

(1) 本文方法能解決孔徑測量難題，可根據(jù)鉆孔孔徑大小，設(shè)計相應(yīng)的測量臂長度，依據(jù)孔徑數(shù)據(jù)導(dǎo)入設(shè)計軟件，自動繪制出井身結(jié)構(gòu)三維模型，全方位展現(xiàn)井身結(jié)構(gòu)，其直觀性強(qiáng)、完整度高。

(2) 該方法可應(yīng)用于大孔徑地質(zhì)鉆探孔、地?zé)峋?、地震地下流體觀測井、大孔徑工程樁孔及其它地下水資源開發(fā)井等工程項目的孔徑測量和井身結(jié)構(gòu)三維成像，可為同類工程項目提供參考。