基于滑模觀測器的一階系統(tǒng)時滯識別方法的仿真研究

強海燕， 解 思， 李萬莉， 孫友剛， 董達善

（1.上海海事大學(xué)a.物流工程學(xué)院；b.離岸工程研究院，上海201306；2.同濟大學(xué)a.機械與能源工程學(xué)院；b.鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804）

0 引 言

時滯現(xiàn)象在工程實際中普遍存在，針對時滯問題的研究層出不窮，特別是在生物學(xué)［1-2］、化學(xué)［3］、機械工程學(xué)［4］、電力學(xué)［5］等領(lǐng)域。時滯問題常常由于控制系統(tǒng)中作為反饋的執(zhí)行器、傳感器、局域網(wǎng)絡(luò)、無線通信等被引入系統(tǒng)之中。人們?yōu)榭刂坪驮O(shè)計的便利常常會直接忽略時滯，對時滯的忽略可能會降低控制系統(tǒng)的控制效率，甚至?xí)率箍刂葡到y(tǒng)的失穩(wěn)。針對時滯系統(tǒng)中的時滯量識別至關(guān)重要，諸多學(xué)者對此展開了相關(guān)研究。

文獻［6-9］中分別針對離散時滯問題和外部信號及控制時滯問題，設(shè)計了時滯預(yù)測算法和時滯預(yù)估辨識控制器。文獻［10-11］中針對時滯參數(shù)不確定性和時滯系統(tǒng)線性化問題，分別提出了時滯線性化控制和系統(tǒng)自適應(yīng)時滯辨識控制器。文獻［12-16］中分別基于時滯系統(tǒng)不確定性、時滯預(yù)估和時滯系統(tǒng)抗干擾問題，分別提出了基于滑模變結(jié)構(gòu)的時滯辨識自適應(yīng)控制器。

綜上所述，現(xiàn)有時滯識別方法在特定領(lǐng)域雖有其優(yōu)勢，但是在通用性、高效性方面仍然存在不足。本文針對一階系統(tǒng)的時滯識別問題，建立一階系統(tǒng)的離散時滯線性模型。證明所建立系統(tǒng)模型的可識別性，并確定系統(tǒng)所需的時滯識別條件。設(shè)計滑模觀測器用于時滯量預(yù)測。通過典型一階注水系統(tǒng)的實例進行仿真驗證。

1 一階系統(tǒng)的離散時滯線性模型

假設(shè)時滯模型為一階離散時滯線性模型：

式中：0=h0＜h1＜…＜hr≤hi為時滯量；Ai和Bi分別為適當維數(shù)的矩陣。在一般情況下，假設(shè)有兩個連續(xù)的初始函數(shù)x0（t）、u0（t），并且x（t）=x0（t），u（t）=u0（t），t∈［-h，0］。

2 一階系統(tǒng)的時滯可識別性

系統(tǒng)識別的標準方法在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中已知，需要解決的問題是找到隱含在描述過程方程中的參數(shù)，即參數(shù)識別。最早的識別是針對時滯微分方程的識別，僅適用于均勻的包含無限維頻譜的頻譜法。本文使用的識別方法可擴展到更多通用系統(tǒng)，則參考模型描述如下：

式中：P為空間上n×n的矩陣；Q為空間上n×q的矩陣。

系統(tǒng)的可識別性是將原始系統(tǒng)與式（2）進行比較，將P、Q、R、y分別由P^、Q^、R^、y^替代。式（2）表達的系統(tǒng)中若存在一個控制量u，使得y^=y，R^=R；即存在唯一的系數(shù)矩陣，則稱式（2）表達的系統(tǒng)可識別。若存在一個滿足條件的輸入信號，則式（2）的識別性可簡化為：

式中：conv R為包含R的最小閉區(qū)間，det P為卷積的行列式。

3 時滯識別條件

根據(jù)離散時滯定義及其參數(shù)可識別性定義，式（1）為離散時滯的特殊情況。則定義如下表達式：

若Ai和Bi已知，則式（1）中引入H=［h1，…，hr］T，則：

如果時滯量H不是時變的，局部可辨識性可以表示為方程解的唯一性，即通過Δ（t，H）=0求得H，對于所有t≥0。

4 觀測器原理

假定參數(shù)Ai和Bi已知，僅有時滯hi需要估測。接著假設(shè)已知時滯的上界h，max［h1，…，hr］≤h。

引入時滯向量H=［h1，…，hr］T，設(shè)計算法用以觀測，令：

將式（9）代入式（8），并求其對時間t的一階導(dǎo)數(shù)，則：

當i=1，…，r時，提出如下時滯預(yù)測器：

式中，sign（Δi）為符號函數(shù)，則

5 一階系統(tǒng)實例仿真

5.1 仿真實例建模

根據(jù)流體力學(xué)經(jīng)典一階注水模型，建立模型并進行仿真（見圖1、圖2）。假設(shè)注水系統(tǒng)中的液體為均質(zhì)、不可壓縮的。圖中：qin為進口處流量；R為出口流阻；he為流體液面高度；qout為出口處流量；Ae為橫截面積。

圖1 注水流體系統(tǒng)

圖2 流阻示意圖

分別根據(jù)靜壓方程、絕對壓強方程、表壓方程和流阻方程，建立一階注水系統(tǒng)控制方程：

式中：Ae=1 m2；g=9.8 m/s2；R=98 Pa·s；進口處流量qin為系統(tǒng)輸入，流體液面高度he為系統(tǒng)輸出。

5.2 時滯識別仿真及分析

（1）一階注水系統(tǒng)無輸入且有未知時滯情況。其輸出表達式為：

式中：a1=-0.1；a2=1；假設(shè)未知時滯量h1=1 s。

根據(jù)觀測器原理可得一階系統(tǒng)無輸入且有未知時滯下的時滯識別仿真圖，如圖3所示。圖3（a）～（d）分別為未知時滯預(yù)估量h^數(shù)值分別為0.8和1.2時的仿真預(yù)估曲線。如圖3（a）、（c）所示，若時滯預(yù)估值與實際時滯量不匹配，則時滯辨識算法會根據(jù)規(guī)則快速調(diào)整時滯量圖像的趨勢并進行識別，時滯識別的圖像會根據(jù)預(yù)估值和實際值向上或向下變化。由圖3（c）、（d）所示，Δ根據(jù)辨識算法必須趨向于0，在1～3 s時，由于輸出時滯的影響，Δ圖線波動后收斂于0，則表示輸出時滯量已被識別。

圖3 無輸入且有未知時滯的情況分析

（2）輸入無時滯，輸出含有時滯的情況。這種工況模擬在注水過程中輸入無時滯，輸出有時滯：

式中：a1=-0.1；a3=1。假設(shè)輸出時滯量h2=2 s；輸入時滯量h3=0 s。

圖4所示為一階注水系統(tǒng)輸入無時滯而輸出有2 s時滯量的仿真圖。由圖4（a）可見，該系統(tǒng)時滯量從初始時到仿真識別值，在該情況下識別算法效果較好。圖4（b）表示判定函數(shù)Δ的變化，由圖可知，在0～3 s的時間內(nèi)，Δ有非常明顯的變化趨勢，而3 s以后趨于穩(wěn)定，則輸出時滯量被辨識出。

圖4 輸入無時滯輸出有時滯的情況分析

（3）輸入含有時滯，輸出無時滯的情況。通過一階注水系統(tǒng)輸入有時滯，輸出無時滯，其數(shù)學(xué)表達式如式（15），其中：a1=-0.1；a3=1。假設(shè)輸出時滯量h2=0 s，輸入時滯量h3=2.5 s，其表達式為：

圖5為一階注水系統(tǒng)在輸入含有2.5 s時滯量而無輸出時滯的仿真圖。由圖5（a）易見，所識別出的輸入時滯大于實際給定的時滯。圖5（b）表示了判定函數(shù)Δ的變化，從圖可知，在0～4 s的時間內(nèi)，Δ有非常明顯的變化趨勢，而4 s以后趨于相對穩(wěn)定，則輸入時滯被辨識出。

圖5 輸入有時滯輸出無時滯的情況分析

（4）輸入、輸出均有時滯的情況。一階注水系統(tǒng)輸入輸出同時有時滯的情況，其數(shù)學(xué)表達式如式（15），參數(shù)a1=-0.1；a3=1。假設(shè)輸出時滯量h2=2 s，輸入時滯量h3=2 s，其表達式為：

圖6為一階注水系統(tǒng)輸入輸出同時有時滯量的仿真圖。由圖6（a）可知，1～3 s之間仿真預(yù)測值與實際值波動較大，3 s過后，輸出時滯量趨于穩(wěn)定，則系統(tǒng)輸出時滯已被識別。由圖6（b）易見，所識別出的輸入時滯大于實際給定的預(yù)估時滯，1～3 s之間預(yù)測值與實際值變化較大，3 s過后，輸入時滯量變化趨于穩(wěn)定，則系統(tǒng)輸入時滯已被識別。圖6（c）表示判定函數(shù)Δ的變化，由圖可知，在0～3 s的時間內(nèi)，由于預(yù)測時滯量和實際時滯量的數(shù)值變化，Δ變化趨勢明顯，而3 s以后趨于相對穩(wěn)定，則表明時滯量已被辨識。

圖6 輸入、輸出均有時滯的情況分析

6 結(jié) 語

本文運用變結(jié)構(gòu)識別算法對時滯系統(tǒng)中的時滯量進行了參數(shù)預(yù)估達到識別效果。該算法將系統(tǒng)模型置于滑模面（用以代替未知參數(shù)或者時滯），以此替代相應(yīng)的預(yù)估值。通過仿真和理論分析，本文運用的算法仍存在局限性：其時滯量必須是小時滯量才能被識別，在時滯識別過程中會出現(xiàn)識別出來的時滯量大于實際時滯量的情況（主要是由于預(yù)測參數(shù)Li的選擇問題）；時滯識別的時間較長。針對仿真和理論分析得出的結(jié)果，本文的未來工作將著重對判別預(yù)測參數(shù)Li（一階系統(tǒng)主要考慮L1和L2）的最優(yōu)配置問題和縮短時滯識別時間上進行展開。