基于博弈賦權(quán)和綜合灰色關(guān)聯(lián)的圍巖支護(hù)評(píng)價(jià)

焦 戰(zhàn)，肖洪天*

(1.山東科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，青島 266590；2.山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，青島 266590)

隨著公共交通事業(yè)的迅速發(fā)展，中國地下工程的建設(shè)數(shù)量逐漸增多，并在工程設(shè)計(jì)施工方面取得了巨大成就，形成了一套較為完善的設(shè)計(jì)施工技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)體系[1-2]。但隧道結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理念未獲得較大發(fā)展，隧道的支護(hù)設(shè)計(jì)仍主要采用經(jīng)驗(yàn)處理法，缺乏精細(xì)定量的設(shè)計(jì)方法和合理有效的優(yōu)化方法，使隧道的順利施工面臨嚴(yán)峻考驗(yàn)[3]。

當(dāng)前，中外對圍巖支護(hù)參數(shù)的研究已獲得較快發(fā)展，張秋實(shí)等[4]考慮巖層和錨桿夾角的關(guān)系進(jìn)行支護(hù)優(yōu)化研究；孫振宇等[5]提出了隧道支護(hù)體系多目標(biāo)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；王英帆等[6]、朱世奎等[7]通過數(shù)值模擬對比分析，確定最優(yōu)支護(hù)參數(shù)；江權(quán)等[8]針對高應(yīng)力大型地下硬巖地下洞室群提出了穩(wěn)定性優(yōu)化的裂化-抑制設(shè)計(jì)方法；Mei等[9]通過改進(jìn)數(shù)值模擬方法優(yōu)化支護(hù)組合方式。隧道的施工過程復(fù)雜多變，加上圍巖等不穩(wěn)定因素，如何確定合理簡單的支護(hù)方式和支護(hù)參數(shù)便成為一個(gè)重要的研究課題。

現(xiàn)依托青島地鐵8號(hào)線隧道工程，根據(jù)支護(hù)穩(wěn)定影響因素，構(gòu)建L16(44)正交表進(jìn)行有限元分析，以拱頂沉降、凈空收斂、地表沉降及主應(yīng)力作為評(píng)判指標(biāo)，采用博弈論改進(jìn)均方差法和層次分析法的組合賦權(quán)方法，獲得一個(gè)同多種指標(biāo)權(quán)值相協(xié)調(diào)、均衡一致的主客觀組合權(quán)值，結(jié)合逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS)思想引入負(fù)向灰色關(guān)聯(lián)度，同正向灰色關(guān)聯(lián)度共同定義綜合灰色關(guān)聯(lián)度，形成博弈組合賦權(quán)-綜合灰色關(guān)聯(lián)度法對圍巖支護(hù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，確定最佳支護(hù)參數(shù)組合，并對評(píng)價(jià)方法和優(yōu)選參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。以期為類似隧道工程提供參考和借鑒。

1 基于博弈論的主客觀組合賦權(quán)

合理的指標(biāo)權(quán)重是構(gòu)建評(píng)價(jià)體系的基礎(chǔ)，為使圍巖支護(hù)的評(píng)價(jià)結(jié)果真實(shí)可靠，采用層次分析法和均方差法確定主客觀組合權(quán)值。

1.1 層次分析法

層次分析法是將決策人員的主觀判斷給予量化，衡量各目標(biāo)的相對重要程度，并給出合理的權(quán)值ω1，因其已相當(dāng)成熟，具體步驟不再敘述。

1.2 均方差法

假定評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)目為m，試驗(yàn)方案數(shù)目為n，則評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣A為

(1)

式(1)中：aij為第i個(gè)評(píng)價(jià)對象在第j個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的觀測值，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

在評(píng)價(jià)系統(tǒng)中，不同指標(biāo)的量綱不完全相同，其評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也不一致，因此，對指標(biāo)進(jìn)行區(qū)分處理。

愈小愈優(yōu)的指標(biāo)：

(2)

愈大愈優(yōu)的指標(biāo)：

(3)

式中：rij為矩陣A中指標(biāo)aij歸一化后對應(yīng)的指標(biāo)值。

歸一化后的矩陣：

(4)

均方差法權(quán)值：

(5)

(6)

1.3 博弈組合賦權(quán)

為了科學(xué)準(zhǔn)確地賦權(quán)，確定最優(yōu)權(quán)值，運(yùn)用博弈論[10]改進(jìn)主客觀組合賦權(quán)方法，具體方法如下。

若使用y種方法進(jìn)行賦權(quán)，則評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)值集：

ωx=[ωx1,ωx2,…,ωxm]

(7)

其子集的線性組合：

(8)

離差極小化處理：

(9)

式中：ω′為評(píng)價(jià)指標(biāo)的一種權(quán)值組合；αx為線性系數(shù)，x=1,2,…,y。

式(9)的一階導(dǎo)數(shù)條件轉(zhuǎn)化：

(10)

將線性系數(shù)歸一化：

(11)

博弈論主客觀組合權(quán)值：

(12)

2 改進(jìn)灰色關(guān)聯(lián)評(píng)價(jià)方法

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，其實(shí)質(zhì)是將原始評(píng)判矩陣進(jìn)行線性比例標(biāo)準(zhǔn)化，求解權(quán)值系數(shù)和判斷矩陣，獲得各個(gè)方案的關(guān)聯(lián)度，并通過關(guān)聯(lián)度判斷待評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響[11]。

2.1 灰色關(guān)聯(lián)評(píng)價(jià)基本原理

以矩陣A和R為基礎(chǔ)，選取矩陣R中各指標(biāo)最大值，組成正向參考矩陣：

(13)

(14)

式(14)中：ρ為分辨系數(shù)，通常ρ∈[t，2t]∈[0，1]，且當(dāng)t<1/3時(shí)，t≤ρ≤1.5t；當(dāng)t>1/3時(shí)，1.5t≤ρ≤2t；t為特征矩陣差值的比值，具體計(jì)算公式為

(15)

正向關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣：

(16)

正向關(guān)聯(lián)度：

γ+=ζ+ω

(17)

式(17)中：γ+為正向關(guān)聯(lián)度矩陣；ω為組合權(quán)值矩陣。

2.2 TOPSIS思想的綜合灰色關(guān)聯(lián)評(píng)價(jià)方法

傳統(tǒng)的灰色關(guān)聯(lián)分析實(shí)際是一種正向最大關(guān)聯(lián)評(píng)價(jià)方法，γ+越大，評(píng)價(jià)結(jié)果越好。結(jié)合TOPSIS思想，引入負(fù)向最小關(guān)聯(lián)評(píng)價(jià)方法[12]，負(fù)向參考矩陣為

(18)

(19)

γ-=ζ-ω

(20)

式(20)中：ζ-為負(fù)關(guān)聯(lián)系數(shù)；γ-為負(fù)向關(guān)聯(lián)矩陣。

假定綜合灰色關(guān)聯(lián)度[13]為γ′，其計(jì)算公式為

(21)

式(21)中：γ′為綜合灰色關(guān)聯(lián)度矩陣。

3 數(shù)值計(jì)算

3.1 工程概況

青島地鐵8號(hào)線膠東鎮(zhèn)站～大澗站區(qū)間位于山東省青島市境內(nèi)，地下段全長2 618.355 m，單線單洞隧道。隧道洞身主要穿越微風(fēng)化巖層，受構(gòu)造作用影響，隧道洞頂、側(cè)壁巖體節(jié)理、裂隙密集發(fā)育，圍巖穩(wěn)定性較差。隧道拱頂埋深2～30 m，隧道跨度8.8 m，高度8.15 m，屬于淺埋小跨度隧道，區(qū)間隧道采用錨噴支護(hù)，斷面支護(hù)如圖1所示，相關(guān)支護(hù)設(shè)置如表1所示。

青島地鐵8號(hào)線膠大區(qū)間采用臺(tái)階法施工，施工工序如圖2所示。開挖工序：Ⅰ階段，上斷面開挖；Ⅱ階段，上斷面掛網(wǎng)，格柵鋼架架立，聯(lián)接筋施工，噴射混凝土；Ⅲ階段，下斷面開挖；Ⅳ階段，下斷面掛網(wǎng)，格柵鋼架架立，聯(lián)接筋施工，噴射混凝土。

l為錨桿長度；H為隧道高度；h為混凝土厚度；r為錨桿直徑；d為錨桿間排距；B為隧道跨度圖1 隧道斷面支護(hù)Fig.1 Tunnel section support

表1 初期支護(hù)參數(shù)設(shè)置表Table 1 Initial support parameter setting table

圖2 臺(tái)階法施工工序圖Fig.2 Step method construction process drawing

3.2 計(jì)算模型和參數(shù)

以膠大區(qū)間ZK18+85～ZK18+115隧道為背景，利用ABAQUS軟件建立三維數(shù)值模型，模擬隧道開挖支護(hù)過程。數(shù)值計(jì)算中，巖土體本構(gòu)模型采用彈塑性摩爾-庫倫模型，初期支護(hù)采用線彈性模型。為減小邊界對計(jì)算精度的影響，模型左右邊界取4倍隧道跨度，隧道下部取4倍隧道高度[13]，模型尺寸為70 m×60 m×20 m。模型左、右及下邊界均為位移約束邊界，上邊界為自由邊界，模型如圖3所示。

根據(jù)地質(zhì)勘察報(bào)告及相關(guān)規(guī)范[14]，確定相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)，如表2所示，其中，格柵鋼架運(yùn)用剛度等效原則折算成混凝土強(qiáng)度。

圖3 隧道三維模型Fig.3 Tunnel 3D model

表2 圍巖力學(xué)參數(shù)Table 2 Mechanical parameters of surrounding rock

3.3 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

以原支護(hù)為參考，選取錨桿直徑、長度、間排距及噴射混凝土厚度4個(gè)參數(shù)進(jìn)行分析，各因素均劃分為4個(gè)水平，劃分結(jié)果如表3所示。

為獲得不同工況下評(píng)價(jià)指標(biāo)的樣本，選用L16(44)正交表設(shè)計(jì)數(shù)值試驗(yàn)，確定不同支護(hù)參數(shù)的組合方式[15]。試驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)選取拱頂沉降G、凈空收斂J、地表沉降D及仰拱中部最大主應(yīng)力σ，由評(píng)價(jià)指標(biāo)確定最優(yōu)支護(hù)組合，相關(guān)數(shù)據(jù)如表4所示。

表3 水平劃分表Table 3 Horizontal division table

表4 正交試驗(yàn)方案及計(jì)算結(jié)果Table 4 Orthogonal test scheme and calculation results

3.4 數(shù)據(jù)處理

根據(jù)表4，由式(1)～式(4)得矩陣R：

由層次分析法得主觀權(quán)值：

其中，判斷矩陣最大特征根λmax=4.01，一致性檢驗(yàn)指標(biāo)CR=0.004<0.1，具有滿意的一致性。

由式(5)和式(6)得客觀權(quán)值：

根據(jù)式(7)～式(12)得組合權(quán)值：

由式(13)～式(17)得正向關(guān)聯(lián)度：γ+=[0.499 3,0.608 0,0.756 0,0.986 0,0.754 8,0.994 8,0.423 9,0.517 1,0.853 5,0.647 4,0.522 5,0.438 1,0.515 3,0.423 4,0.878 4,0.659 2]，其中，正向分辨系數(shù)ρ+=0.73。

由式(18)～式(20)得負(fù)向關(guān)聯(lián)度：γ-=[0.839 1,0.613 4,0.504 3,0.437 6,0.504 9,0.435 9,0.990 7,0.715 3,0.492 8,0.580 8,0.701 7,0.934 4,0.721 6,0.993 0,0.473 6,0.561 6]，其中，負(fù)向分辨系數(shù)ρ-=0.77。

圍巖支護(hù)參數(shù)各水平綜合關(guān)聯(lián)度如表5所示。

表5 支護(hù)參數(shù)綜合關(guān)聯(lián)度Table 5 Comprehensive relevance of supporting parameters

由表5可知，最優(yōu)支護(hù)方案：錨桿直徑18 mm，錨桿長度2.0 m，錨桿間排距1.2 m，噴射混凝土厚度220 mm。混凝土厚度平均關(guān)聯(lián)度極差為0.345 2，可知其對圍巖支護(hù)效果的影響最大；其次是錨桿直徑，極差為0.064 5；錨桿間排距和長度的極差分別為0.032 5、0.012 8，對支護(hù)效果影響較小。

4 優(yōu)化分析及驗(yàn)證

4.1 支護(hù)優(yōu)化

為驗(yàn)證數(shù)據(jù)分析得到的支護(hù)參數(shù)組合為最優(yōu)方案，對其進(jìn)行數(shù)值分析，分析結(jié)果如表6所示。

表6 對比分析Table 6 Comparative analysis

由表6知，優(yōu)化方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)均減小，其中，凈空收斂和主應(yīng)力比原方案分別降低了18.63%、9.42%，隧道整體穩(wěn)定性獲得明顯提升，并且圍巖變形和支護(hù)狀態(tài)仍處于安全允許范圍內(nèi)，滿足地鐵控制標(biāo)準(zhǔn)。

4.2 分析方法的驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文評(píng)價(jià)方法的準(zhǔn)確性，采用另外3種方法分析，因篇幅有限，不再具體說明。各類方法關(guān)聯(lián)度如圖4所示。

方法1為層次分析法-灰色關(guān)聯(lián)度法；方案2為均方差法-灰色關(guān)聯(lián)度法；方法3為乘法加權(quán)組合賦權(quán)-灰色關(guān)聯(lián)度法；方法4為本文方法圖4 評(píng)價(jià)方法對比分析Fig.4 Comparative analysis of evaluation methods

由圖4可知，4種評(píng)價(jià)方法的關(guān)聯(lián)度排序保持一致，最優(yōu)方案均為方案6，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。其中，方法1主要依靠評(píng)價(jià)指標(biāo)本身定義，客觀性較差，方法2未考慮評(píng)價(jià)指標(biāo)的實(shí)際含義，可能造成權(quán)值與指標(biāo)實(shí)際重要程度不符，而方法3采用乘法加權(quán)法可能導(dǎo)致“倍增效應(yīng)”。現(xiàn)采用博弈組合賦權(quán)，確定指標(biāo)最優(yōu)權(quán)，同時(shí)借鑒TOPSIS思想，引入負(fù)向關(guān)聯(lián)度，結(jié)合正向關(guān)聯(lián)度定義綜合關(guān)聯(lián)度，較好地解決了以上方法的不足，同時(shí)避免在正向關(guān)聯(lián)度相同情況下，無法判斷指標(biāo)優(yōu)劣的不足。因此采用此方法選擇圍巖支護(hù)的最優(yōu)參數(shù)是合理可靠的。

5 結(jié)論

(1)采用博弈主客觀組合賦權(quán)—綜合灰色關(guān)聯(lián)度研究圍巖穩(wěn)定影響因素，由平均綜合灰色關(guān)聯(lián)度知，混凝土厚度對圍巖穩(wěn)定影響最大，其次是錨桿直徑，錨桿間排距和錨桿長度的影響較小。

(2)獲得了各支護(hù)參數(shù)不同水平的綜合評(píng)價(jià)，確定了圍巖支護(hù)的最優(yōu)方案，即錨桿直徑18 mm，錨桿長度2.0 m，錨桿間排距1.2 m，噴射混凝土厚度220 mm。

(3)優(yōu)化方案的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)均優(yōu)于原支護(hù)方案，拱頂沉降、凈空收斂、地表沉降和主應(yīng)力分別減少了4.12%、18.63%、2.24%、9.42%，圍巖穩(wěn)定性獲得明顯提高。

(4)博弈主客觀組合賦權(quán)運(yùn)用博弈論改進(jìn)均方差法和層次分析法的組合賦權(quán)方法，獲得一個(gè)同多種指標(biāo)權(quán)值相協(xié)調(diào)、均衡一致的主客觀組合權(quán)值，同時(shí)借鑒TOPSIS思想，引入負(fù)向灰色關(guān)聯(lián)度，結(jié)合正向灰色關(guān)聯(lián)度共同定義綜合灰色關(guān)聯(lián)度，并與其他3類方法對比分析，驗(yàn)證了本文方法的合理性和準(zhǔn)確性。