基于混合基線的任意平面陣列干涉儀測(cè)向方法

潘玉劍 宋慧娜

①(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院 杭州 310018)

②(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院 杭州 310018)

1 引言

陣列測(cè)向是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、導(dǎo)引頭和聲吶等民用和軍用領(lǐng)域[1-3]。用于實(shí)現(xiàn)測(cè)向的陣列有多種結(jié)構(gòu)可供選擇。一般較受歡迎的有均勻線陣或均勻圓陣，前者可以采用快速測(cè)向算法，后者除了可以方便算法選擇還可以留出陣面空間以安裝其他傳感裝置。但在某些情況下，由于其他傳感裝置的安裝需要，或者其他可活動(dòng)部件引起的機(jī)械干涉，陣列結(jié)構(gòu)的規(guī)則性將無(wú)法被滿足，從而導(dǎo)致只能采用非規(guī)則陣列。為了應(yīng)對(duì)該實(shí)際問(wèn)題，有必要研究任意的平面陣列結(jié)構(gòu)的測(cè)向方法。

在陣列測(cè)向算法方面，基于子空間方法或極大似然方法的超分辨算法由于能很好地分辨同頻同時(shí)多目標(biāo)而獲得較多關(guān)注。但對(duì)于任意陣列結(jié)構(gòu)，一般不能保證有快速版本的算法可以采用。另外，超分辨算法的超分辨性能以對(duì)信號(hào)源數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)作為前提。錯(cuò)誤的信號(hào)源數(shù)估計(jì)將導(dǎo)致算法性能下降[4]。

相對(duì)于超分辨測(cè)向算法，在實(shí)際應(yīng)用中更多采用的是相位干涉儀法，即通過(guò)比較相位實(shí)現(xiàn)測(cè)向[5]。雖然干涉儀只能對(duì)單目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向，但相對(duì)于超分辨算法，其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且精度高。在干涉儀測(cè)向中，首要解決的是相位解模糊。對(duì)于線陣，常用的解模糊方法有長(zhǎng)短基線法[6,7]、虛擬基線法[8]和參差基線法[9,10]等。對(duì)于均勻圓陣，以上解模糊方法無(wú)法使用。針對(duì)該問(wèn)題，謝立允等人[11]提出了基于等長(zhǎng)基線對(duì)應(yīng)的方向函數(shù)聚類的解模糊算法，但該算法需要設(shè)置聚類門限。王琦[12]在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種無(wú)需聚類門限的解模糊方法，增加了算法的魯棒性。這兩種算法只能基于等長(zhǎng)基線進(jìn)行聚類，無(wú)法應(yīng)用于任意陣列。針對(duì)任意平面陣列解模糊，司偉建等人[13,14]提出了立體基線法，通過(guò)對(duì)最終角度的聚類實(shí)現(xiàn)解模糊。但該算法需要額外解一個(gè)被稱為方位角的鏡像模糊，并且出于解鏡像模糊的需要，所選基線對(duì)的兩個(gè)基線斜率的正負(fù)必須相反，使得其在基線對(duì)選擇方面缺乏靈活性，不能充分利用陣列基線。

針對(duì)任意平面陣的干涉儀測(cè)向問(wèn)題，本文提出了一種稱為混合基線的方法。這里的混合基線中的“混合”二字意指對(duì)所選基線對(duì)中兩個(gè)基線的長(zhǎng)度和斜率沒(méi)有約束。首先，混合基線算法采用了新的用于聚類分析的改進(jìn)方向函數(shù)。該改進(jìn)方向函數(shù)在原有方向函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了歸一化操作，可提高相位解模糊的成功概率。其次，混合基線算法在解相位模糊時(shí)，對(duì)基線對(duì)選擇的靈活性非常高。相對(duì)于等長(zhǎng)基線算法，所選基線對(duì)的兩個(gè)基線可以不等長(zhǎng)。相對(duì)于立體基線算法，所選基線對(duì)的兩個(gè)基線斜率的正負(fù)可以相同。因此可以極大提高用于聚類分析的基線對(duì)數(shù)量，從而進(jìn)一步提高相位解模糊的成功概率。最后，本文基于數(shù)值仿真方法在隨機(jī)任意陣上驗(yàn)證了混合基線算法的有效性，并在均勻圓陣和半圓陣上與其他算法進(jìn)行了解相位模糊的性能比較。

2 任意平面陣信號(hào)模型及其干涉測(cè)向方法

如圖1所示，由編號(hào)為1至M的陣元組成的任意陣列位于x-y平面中。陣元位置用極坐標(biāo)表示。則第m個(gè)陣元的位置為(rm,θm)，其中rm表示該陣元到原點(diǎn)的距離，θm表示由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到該陣元與原點(diǎn)連線的夾角。一來(lái)自方向(α,β)的遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到陣面，其中α ∈[0,2π)表示方位角，β ∈[0,π/2]表示俯仰角。無(wú)噪情況下，陣元m輸出的快拍t處的基帶信號(hào)可表示為

圖1 任意陣幾何示意圖

其中，m=1,2,...,M，γm=2πrm/λ，λ為射頻信號(hào)波長(zhǎng)，s[t]為信號(hào)包絡(luò)。

定義陣元之間的連線為基線。任選一根基線，并假設(shè)該基線兩端分別為陣元m和陣元n，并稱其為基線mn。基線mn對(duì)應(yīng)的真實(shí)相位差可寫為

其中，Arg(·)表示求輻角主值，asin(·)表示求反正弦。

3 任意平面陣干涉儀相位解模糊

根據(jù)前面的干涉儀測(cè)向方法，要估計(jì)來(lái)波方向，首先要得到基線相位差。但實(shí)際應(yīng)用中相位差的測(cè)量值只能位于(?π,π]范圍內(nèi)，當(dāng)基線較長(zhǎng)時(shí)，相位差的真實(shí)值會(huì)超出該范圍而發(fā)生以2 π為周期的翻轉(zhuǎn)，此時(shí)測(cè)量得到的相位差是存在模糊的。由于任意陣的基線長(zhǎng)度不受控制，因此解相位模糊是任意陣干涉儀測(cè)向最關(guān)鍵的步驟。

根據(jù)第2節(jié)可知，從陣列中取兩根基線構(gòu)成一個(gè)基線對(duì)就可以進(jìn)行測(cè)向。對(duì)于基線mn和基線pq構(gòu)成的基線對(duì)(mn,pq)，假設(shè)其測(cè)量相位差分別為φ?mn和φ?pq，可得其與真實(shí)相位差的關(guān)系為

其中，kmn與kpq為整數(shù)，稱為相位模糊數(shù)。解基線的相位模糊等價(jià)于求解其相位模糊數(shù)。由式(9)可知，對(duì)于任意基線對(duì)，只要選擇了正確的相位模糊數(shù)，就能生成一個(gè)只和真實(shí)來(lái)波方向有關(guān)的方向函數(shù)。本文的解模糊方法也是基于這一思想。從陣列中可以取出多個(gè)基線對(duì)，對(duì)每個(gè)基線對(duì)的相位差枚舉多個(gè)可能的相位模糊數(shù)，從而每個(gè)基線對(duì)可生成多個(gè)方向函數(shù)。根據(jù)式(9)，所有基線對(duì)都存在一個(gè)共同的對(duì)應(yīng)于真實(shí)波達(dá)方向的方向函數(shù)。因此，在有噪情形下，可通過(guò)方向函數(shù)聚類來(lái)實(shí)現(xiàn)相位解模糊。

3.1 聚類方向函數(shù)的改進(jìn)

對(duì)于式(9)中的方向函數(shù)，可在坐標(biāo)系中對(duì)其進(jìn)行式(12)分解

而在坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描述信號(hào)來(lái)波方向應(yīng)該用

可見(jiàn)，如果對(duì)方向函數(shù)f進(jìn)行聚類，則沒(méi)有充分提取特征，或者等效默認(rèn)所有枚舉的相位模糊數(shù)對(duì)應(yīng)的來(lái)波方向在單位球上截?cái)帱c(diǎn)的z坐標(biāo)都相同，而這是不符合一般實(shí)際情況的。因此，基于式(9)中方向函數(shù)f的聚類分析將會(huì)降低相位解模糊的成功率。為了解決該問(wèn)題，可將f對(duì)z坐標(biāo)cosβ進(jìn)行歸一化，得到改進(jìn)方向函數(shù)f′

3.2 基線對(duì)的選取

由式(18)和式(19)可知，不管是為了減小測(cè)向的誤差還是為了提高改進(jìn)方向函數(shù)的估計(jì)精度從而提高解模糊概率，都希望 dυ和dμ盡可能小。根據(jù)式(8)，可將dυ和dμ分別寫為

① 盡量選用電長(zhǎng)度較長(zhǎng)的基線；

② 盡量避免選擇夾角過(guò)大或過(guò)小的基線對(duì)。

其中第1個(gè)原則是為了減小式(20)中分子對(duì)誤差的貢獻(xiàn)，第2個(gè)原則是為了減小式(20)中分母對(duì)誤差的貢獻(xiàn)。

另外，為了提高基于聚類分析解模糊的成功概率，一般希望用于聚類分析的基線對(duì)越多越好。這是由于聚類數(shù)據(jù)越多，越容易從中找到聚類簇。本文所提的方法對(duì)基線選擇的靈活度很高，所選基線對(duì)的基線可共端點(diǎn)，也可不共端點(diǎn)，對(duì)基線長(zhǎng)度和斜率也沒(méi)有限制。為了最大限度利用基線，下面給出基于本文方法的任意平面陣的理論最大可用基線對(duì)數(shù)。

可用的基線包括共端點(diǎn)基線對(duì)和不共端點(diǎn)基線對(duì)。對(duì)于共端點(diǎn)基線對(duì)，需要從M元陣列中選出3個(gè)陣元。假設(shè)所選3個(gè)陣元編號(hào)為m,n,p，如果考慮基線方向和順序，最多可構(gòu)成24個(gè)基線對(duì)。但即使在有噪情況下，這24個(gè)基線對(duì)生成的無(wú)模糊方向函數(shù)都相同。因此，對(duì)于每3個(gè)陣元，只能選出1個(gè)有效基線對(duì)，例如(mn,np)。對(duì)于不共端點(diǎn)基線，需要從元陣列中選出4個(gè)陣元。假設(shè)所選4個(gè)陣元編號(hào)為m,n,p,q，只能選出3個(gè)有效的不共端點(diǎn)基線對(duì)，例如(mn,pq), (mp,nq)和(mq,np)。這3個(gè)基線對(duì)生成的無(wú)模糊方向函數(shù)在有噪情形下是不同的，而其余的基線對(duì)都是冗余的。因此對(duì)于M元任意陣列，理論最大可用基線對(duì)數(shù)為+3。后面的數(shù)值仿真將對(duì)這一理論最大可用基線對(duì)數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

所以，對(duì)于本文相位解模糊方法的基線對(duì)選取，首先按最大可用基線對(duì)數(shù)選出所有有效基線對(duì)，然后根據(jù)原則(a)和原則(b)進(jìn)行刪減。

4 算法步驟

本文所提的基于混合基線的任意平面陣列干涉儀測(cè)向方法的步驟如下：

步驟1 從M元任意陣中選取L個(gè)基線對(duì)，根據(jù)測(cè)向指標(biāo)要求的視場(chǎng)角范圍假設(shè)目標(biāo)可能的最大俯仰角為βmax，根據(jù)測(cè)向指標(biāo)要求的工作帶寬假設(shè)可能的最小波長(zhǎng)λmin，并計(jì)算每個(gè)基線的模糊數(shù)范圍。例如對(duì)基線mn，其模糊數(shù)范圍為[?Kmn,Kmn]，其中，Kmn根據(jù)式(4)和式(11)，可計(jì)算為

步驟2 以模糊數(shù)范圍為界，分別對(duì)每個(gè)基線對(duì)的測(cè)量相位差按式(11)、式(7)、式(8)和式(9)生成由多個(gè)方向函數(shù)f構(gòu)成的方向函數(shù)組。如對(duì)基線對(duì)(mn,pq)，其方向函數(shù)組將包含(2Kmn+1)(2Kpq+1)個(gè)數(shù)值。然后刪除每組中絕對(duì)值大于 1的方向函數(shù)，并將剩余的按式(14)轉(zhuǎn)換為改進(jìn)方向函數(shù)f′。

步驟3 對(duì)生成的L個(gè)改進(jìn)方向函數(shù)組進(jìn)行聚類分析，目的是從每組中挑選一個(gè)數(shù)值，使挑選出的L個(gè)數(shù)值最接近。聚類分析可采用文獻(xiàn)[12,15]中的方法，也可使用文獻(xiàn)[16]中介紹的查表法。利用查表法可通過(guò)相位測(cè)量值查表獲得相位模糊數(shù)，可大幅縮短計(jì)算時(shí)間。

步驟4 根據(jù)式(15)，基于聚類分析得到的無(wú)模糊的改進(jìn)方向函數(shù)計(jì)算來(lái)波方向(α,β)。由式(18)可知，不同基線對(duì)應(yīng)不同的測(cè)向精度，因此存在最優(yōu)基線的選取問(wèn)題。由于篇幅所限，這里不作進(jìn)一步論述，具體內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)[15]。

5 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證算法的性能，我們對(duì)算法進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。由于已經(jīng)默認(rèn)采用干涉儀體制的測(cè)向方法，則只要能成功解模糊，得到基線對(duì)的無(wú)模糊相位差估計(jì)值，不同算法間的測(cè)向精度沒(méi)有差別。因此，這里的數(shù)值仿真在比較不同算法性能時(shí)只進(jìn)行最關(guān)鍵的解模糊概率的比較。假設(shè)所有實(shí)驗(yàn)中測(cè)向指標(biāo)要求的最大俯仰角βmax=60°，最小波長(zhǎng)λmin=rmax/4，rmax為陣列中陣元到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離。陣列輸出的采樣快拍數(shù)T=128，基線的測(cè)量相位差通過(guò)快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation, FFT)方法獲得，如無(wú)特別說(shuō)明，所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果均基于500次蒙特卡羅試驗(yàn)。

(1) 隨機(jī)任意陣列

首先，仿真算法在一個(gè)M=4元隨機(jī)任意陣列上的測(cè)向性能。4 個(gè)陣元分別在以直角坐標(biāo)(0.5λ,1.1λ), (?0.9λ,0.8λ), (?1.1λ, ?0.9λ),(1.1λ, ?1.1λ)為圓心，以0.01λ為半徑的圓內(nèi)隨機(jī)均勻分布，陣元編號(hào)以第1象限為1按逆時(shí)針?lè)较蜻f增。按3.2節(jié)可知理論最大可用基線對(duì)數(shù)為C34+3C44=7。對(duì)應(yīng)地，選擇基線對(duì)(12,43), (14,23) , (13,24),(12,23) , (23,34) , (34,41) , (41,12)，并命名為BP1到BP7。目標(biāo)來(lái)波方向設(shè)置為(45°,20°)，信號(hào)信噪比設(shè)置為5 dB。最終的角度輸出由基線對(duì)(13,24)解模糊后的相位差計(jì)算得到。

根據(jù)式(18)，為了去除測(cè)向結(jié)果與來(lái)波方向的相關(guān)性(β=0°時(shí)，α的估計(jì)誤差將為無(wú)窮大)，測(cè)向結(jié)果分別取來(lái)波方向在x-x和y-z平面的投影與z軸的夾角，這種表示方法常用于制導(dǎo)和導(dǎo)航應(yīng)用。這兩個(gè)投影夾角可分別表示為atan(tanβ? cosα?)和atan(tanβ? sinα?)，其中( ?·)表示估計(jì)值。根據(jù)該公式，真實(shí)的投影夾角為14.4°和14.4°。其500次蒙特卡洛仿真的估計(jì)結(jié)果如圖2(a)所示，圖中虛線的交叉點(diǎn)為真實(shí)角度，小十字表示的測(cè)向結(jié)果由基線(13,24)解模糊后的改進(jìn)方向函數(shù)得到。由該圖可知，所提算法在該4元隨機(jī)任意陣上可以正確測(cè)向。圖2(b)為某次蒙特卡洛仿真中7個(gè)基線對(duì)的所有方向函數(shù)，虛線圓為單位圓。圖中可見(jiàn)一個(gè)包含7個(gè)基線對(duì)方向函數(shù)的聚類簇，該簇中的方向函數(shù)各不相同，可見(jiàn)7個(gè)基線對(duì)均為有效基線對(duì)。

圖2 隨機(jī)任意陣測(cè)向性能

(2) 8元均勻圓陣

其次，仿真算法在8元均勻圓陣上的性能，并與文獻(xiàn)[12,15]中的不歸一化方向函數(shù)的等長(zhǎng)基線算法作對(duì)比。8元圓陣半徑設(shè)為2.5λ，陣元1位于x軸，其余陣元編號(hào)按逆時(shí)針?lè)较蜻f增。來(lái)波方向與之前相同。對(duì)于等長(zhǎng)基線法，設(shè)置兩種基線選擇方法，分別為等長(zhǎng)基線a和等長(zhǎng)基線b。等長(zhǎng)基線a 包括基線對(duì)(41,52) , (52,63), (63,74) , (74,85),(61,85) , (61,72) , (72,83) , (41,83)。等長(zhǎng)基線b包括基線對(duì)(31,42) , (42,53) , (53,64), (64,75) , (75,86),(86,17), (17,28) , (28,31)。等長(zhǎng)基線a中的基線長(zhǎng)于等長(zhǎng)基線b中的基線。對(duì)于本文的混合基線算法，除去由平行基線構(gòu)成的基線對(duì)(平行基線對(duì)夾角為零)，共可提取L=C38+3C48?36=230個(gè)基線對(duì)。對(duì)等長(zhǎng)基線和混合基線，都分別考慮方向函數(shù)歸一化和不歸一化的情形。由于干涉儀測(cè)向中最關(guān)鍵的是解相位模糊，因此接下來(lái)的實(shí)驗(yàn)將重點(diǎn)關(guān)注各算法對(duì)相位的成功解模糊概率。對(duì)某基線對(duì)成功解模糊定義為對(duì)基線對(duì)的兩個(gè)相位模糊數(shù)的估計(jì)值與其兩個(gè)測(cè)量相位差對(duì)應(yīng)的真實(shí)相位模糊數(shù)相同。設(shè)置信噪比從-14 dB掃描至-2 dB，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。其中圖3比較的是各算法對(duì)基線對(duì)(41,52)的解模糊概率，圖4比較的是各算法對(duì)基線對(duì)(31,42)的解模糊概率。

由圖3和圖4可知，無(wú)論是對(duì)于等長(zhǎng)基線還是混合基線，經(jīng)過(guò)歸一化改進(jìn)后的方向函數(shù)都能提高相位的成功解模糊概率。其次，無(wú)論是使用歸一化改進(jìn)方向函數(shù)還是不使用歸一化改進(jìn)方向函數(shù)，混合基線的成功解模糊概率都高于等長(zhǎng)基線，這是由于混合基線在聚類分析解模糊時(shí)使用了更多的基線對(duì)。另外還可發(fā)現(xiàn)，采用了歸一化改進(jìn)方向函數(shù)的混合基線擁有最高的相位解模糊性能。

圖3 8元陣基線對(duì)(41,52)不同信噪比相位解模糊性能比較

圖4 8元陣基線對(duì)(31,42)不同信噪比相位解模糊性能比較

(3) 5元半圓陣

然后，仿真算法在文獻(xiàn)中[13]使用的5元半圓陣上的性能，并與文獻(xiàn)[13]中的立體基線算法作對(duì)比，陣列結(jié)構(gòu)如圖5所示。這里，混合基線除了使用文獻(xiàn)[13]中立體基線所用的基線對(duì)，即基線對(duì)(53,54), (42,23), (43,14)，還額外使用基線對(duì)(24,53),(45,32) , (12,43) , (51,43)。這些額外使用的基線對(duì)由于其包含的兩個(gè)基線斜率的正負(fù)相同，因而無(wú)法被立體基線算法使用。

圖5 5元半圓陣示意圖

設(shè)置信號(hào)信噪比為-8dB，來(lái)波方位角α=45°。首先將俯仰角β從0°掃描至4 0°，對(duì)基線對(duì)(53,54)的成功解模糊概率的比較結(jié)果見(jiàn)圖6。然后，固定信號(hào)俯仰角β=20°，變化信號(hào)波長(zhǎng)λ使半徑波長(zhǎng)比r/λ從0.5掃描至4，對(duì)基線對(duì)(53,54)的成功解模糊概率的比較結(jié)果見(jiàn)圖7。圖6和圖7顯示的算法解模糊性能的比較結(jié)果類似?；旌匣€由于引入了更多的基線對(duì)用于解模糊的聚類分析，因而在兩個(gè)場(chǎng)景下都具有更高的成功解模糊概率。

圖6 5元半圓陣基線對(duì)(53,54)不同俯仰角相位解模糊性能比較

圖7 5元半圓陣基線對(duì)(53,54)不同波長(zhǎng)相位解模糊性能比較

(4) 相同孔徑不同陣型

最后，將所提算法應(yīng)用在相同孔徑的不同陣型上，比較解模糊概率的差異。設(shè)定用于比較的陣型皆為均勻圓陣。由于4元均勻圓陣和6元均勻圓陣易存在多解性[17]，實(shí)際應(yīng)用中一般使用5元均勻圓陣、7元均勻圓陣和8元均勻圓陣。因此這里只仿真上述3種陣型。設(shè)定孔徑半徑為2.5λ，所有陣型的陣元1位于x軸，其余陣元編號(hào)按逆時(shí)針?lè)较蜻f增。設(shè)置信噪比為-15 dB, -10 dB和-5 dB 3種情形，其他參數(shù)與前面相同，仿真結(jié)果如表1所示。5元均勻圓陣、7元均勻圓陣和8元均勻圓陣解模糊采用的基線對(duì)數(shù)量分別為20, 119和230。對(duì)于5元均勻圓陣，表中給出的是對(duì)基線對(duì)(41,53)的解模糊概率，對(duì)于7元均勻圓陣和8元均勻圓陣，表中給出的是對(duì)基線對(duì)(51,73)的解模糊概率。從表中可知，所提算法有著很高的解模糊概率，在信噪比為-10 dB時(shí)，3種陣型都可100%解模糊。另外，在信噪比為-15 dB時(shí)，隨著陣元數(shù)的增大，可用于解模糊的基線對(duì)數(shù)量增大，進(jìn)而能增大解模糊概率。

表1 相同孔徑不同陣型相位解模糊性能比較(%)

6 結(jié)論

本文提出了一種用于任意平面陣列干涉儀測(cè)向的混合基線算法。首先，混合基線算法采用了新的用于聚類分析的改進(jìn)方向函數(shù)。該改進(jìn)方向函數(shù)在原有方向函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了歸一化操作，可提高成功解模糊概率。其次，混合基線算法在解相位模糊時(shí)，對(duì)基線對(duì)的選擇靈活性非常高。相對(duì)于等長(zhǎng)基線算法，所選基線對(duì)的兩個(gè)基線可以不等長(zhǎng)。相對(duì)于立體基線算法，所選基線對(duì)的兩個(gè)基線斜率的正負(fù)可以相同。因此可以極大提高用于聚類分析的基線對(duì)數(shù)量，從而進(jìn)一步提高成功解模糊概率。最后，數(shù)值仿真結(jié)果顯示混合基線算法可處理任意平面陣干涉儀測(cè)向問(wèn)題，并且在均勻圓陣和半圓陣上的解模糊性能均優(yōu)于現(xiàn)有其他算法。