“月上柳梢頭”的數(shù)學(xué)模型

唐紀(jì)芳

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教師教育學(xué)院，四川 遂寧 629000）

1 問題背景

“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋學(xué)者歐陽修的名句，寫的是與佳人相約的情景.應(yīng)用天文學(xué)的觀點(diǎn)賞析該名句，并進(jìn)行如下的討論：

問題1：定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和什么時(shí)間稱為“黃昏后”.根據(jù)天文學(xué)的基本知識，在適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間.并根據(jù)已有的天文資料（如太陽和月亮在天空中的位置、日出日沒時(shí)刻、月出月沒時(shí)刻）驗(yàn)證所建模型的合理性.

問題2：根據(jù)所建立的模型，分析2016 年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間.根據(jù)模型判斷2016 年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊是否能發(fā)生這一情景？如果能，請給出相應(yīng)的日期與時(shí)間；如果不能，請給出原因.

2 模型假設(shè)

（1）設(shè)地球是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓球體，那么它的半徑就是地球的平均半徑，記為r，即r=6378.004千米.這里忽略地球表面地形對計(jì)算帶來的誤差，僅僅是理論上的估算值.

（2）月亮繞地球旋轉(zhuǎn)時(shí)，把月亮看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn).假設(shè)月球繞地球勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軌跡為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓.

（3）地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)橄鄬\(yùn)動(dòng)，也可以看成太陽繞地球運(yùn)動(dòng).

（4）假設(shè)忽略各種天氣原因?qū)е聼o法看到“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情況，如：霧霾，大霧，雪天，雨天等等.

3 符號說明

P：地球表面上任意一點(diǎn)，可以作為我們的觀察點(diǎn).

Π：過地球表面上任意一點(diǎn)P 的切平面.

μ(t)：太陽直射點(diǎn)的經(jīng)度；緯度為ν(t).

μ1(t)：月亮直射點(diǎn)的經(jīng)度；緯度為ν1(t).

x1(t)：第t天的日出時(shí)間；日落的時(shí)間為x2(t).

y1(t)：第t天的月出時(shí)間；月落的時(shí)間為y2(t).

4 模型的建立與求解

4.1 月上柳梢頭的定義

月上柳梢頭的景象，與詩人和柳樹的高度及距離有著密切關(guān)系，但可以明確知道是在月出與月到天頂之間，角度約為15 度到30 度之間[1].由于一天中月出沒的時(shí)間一般為12 小時(shí)，從月出到天頂為6 個(gè)小時(shí)，因此月上柳梢頭定義為是月出后1 小時(shí)到兩小時(shí)之間.

4.2 黃昏后的定義

傳統(tǒng)的說法是此時(shí)太陽已經(jīng)落山,天將黑未黑.天地昏黃,萬物朦朧,故稱黃昏.因此把每天日落后60 分鐘這段時(shí)間稱為黃昏.

4.3 問題分析

研究的問題為，一年中哪個(gè)月在滿月（初十五）的時(shí)候，太陽已經(jīng)落下的60 分鐘之內(nèi)，月亮已經(jīng)升起了60 分鐘以上.也即是滿足“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)刻.

這就需要知道該天的月出時(shí)間與該天的日落時(shí)間.

以日作單位，記2015 年1 月1 日零時(shí)為初始時(shí)刻0，第t天的日出時(shí)間為x1(t)，日落的時(shí)間為x2(t)，月出的時(shí)間y1(t)，月落的時(shí)間為y2(t).

4.4 問題 1 的解答

在某時(shí)刻，對站在地球上一點(diǎn)P的人，能看見蒼穹中的星球A嗎？過地球上一點(diǎn)P作出地球的切平面Π，若星球A與地球分別處在切平面Π 的兩側(cè)，在P點(diǎn)可以看見星球A.

若星球A剛好從Π 與地球?yàn)橥瑐?cè)而運(yùn)動(dòng)到Π上，該星球?yàn)閯偤贸鰜恚蝗粜乔駻剛好從Π 與地球?yàn)楫悅?cè)而運(yùn)動(dòng)到Π 上，該星球?yàn)閯偤秒x去，見圖一.

圖一 觀察點(diǎn)切平面

假設(shè)地球是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的球體，半徑為r，球心為O.地球上點(diǎn)P的經(jīng)度為α，緯度為β.假設(shè)星球A為一個(gè)點(diǎn)，到地球球心的距離為R，在某時(shí)刻t（以日作單位，記2015 年1 月1 日零時(shí)為初始時(shí)刻0），星球與地心的連線通過地球表面上一點(diǎn)S，S叫做星球在地球的直射點(diǎn)，這點(diǎn)的地球經(jīng)度為μ(t)，緯度為ν(t).

知道α，β，就可以求出Π 的方程.知道了μ(t)與ν(t)，就可以算出星球的位置坐標(biāo)，某時(shí)刻t站在地球上點(diǎn)P，對看到或看不到星球A就可以做出準(zhǔn)確的判斷.

以地心O為原點(diǎn)，地球赤道平面為xOy平面，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，其中，x軸的正向過零度經(jīng)線，z軸正向過北極. 地球上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (rcosβcosα,rcosβsinα,rsinβ)，切平面 Π 的方程為[2]

xcosβcosα+ycosβsinα+zsinβ=r，其 中r=6378km.

問題的關(guān)鍵是求出星球A的直射點(diǎn)的地球經(jīng)度μ(t)，緯度ν(t).這就與星球A 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律直接相關(guān).

4.4.1 關(guān)于日出日落

（1）μ(t)的計(jì)算

各地的每天中午12 點(diǎn)正，太陽直射在通過該地的經(jīng)線上，每過一小時(shí)，直射點(diǎn)西移的經(jīng)度為15 度，以北京時(shí)間為準(zhǔn)，在北京的中午12 點(diǎn)，太陽直射在通過北京的經(jīng)線上，經(jīng)度為116.4 度，故一天中北京時(shí)間s時(shí)，太陽直射在東經(jīng)116.4 +15(s- 12) 度 上 ，即μ(t)= 116.4 + 15[12 -24(t- int(t))].

根據(jù)上述函數(shù)作出時(shí)間與太陽經(jīng)度函數(shù)圖，見圖二.

圖二 太陽經(jīng)度與時(shí)間函數(shù)圖

由萬年歷，2015 年按北京時(shí)間的春分日期為3 月 21 日 6 點(diǎn) 45 分 ，此時(shí) ，太陽直射地球赤道線上，直射點(diǎn)緯度為0 度.由于這時(shí)還差5 小時(shí)15 分才到中午12 點(diǎn)，故2015 年春分時(shí)，太陽直射在東經(jīng) 195.15 度，即西經(jīng) 164.85 度 .

（2）ν(t)的計(jì)算

通過田野作業(yè)理解和解讀民眾生活文化與意義世界，是當(dāng)代民俗學(xué)的學(xué)術(shù)追求之一。研究者與敘述者(被研究者)共同完成該研究過程。同時(shí)，通過學(xué)術(shù)話語的靈活運(yùn)用，研究者將敘述者的生活及敘事轉(zhuǎn)譯成為民俗志或民族志文本。因此，民俗學(xué)的實(shí)踐主體應(yīng)由敘述者與研究者共同構(gòu)成，亦即在民俗研究中，研究者與敘述者是互為主體的平等協(xié)商關(guān)系，是民俗志或民族志作品的共同制作人，可以說，“我們都是故事生產(chǎn)過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)”[注]黃盈盈：《作為方法的故事社會(huì)學(xué)——從性故事的講述看“敘述”的陷阱與可能》，《開放時(shí)代》2018年第5期。。

由萬年歷，2015 年按北京時(shí)間的春分日期為3 月 21 日 6 點(diǎn) 45 分，t= 79.28，此時(shí)，太陽直射地球赤道線上，直射點(diǎn)緯度為0 度.

太陽直射點(diǎn)的緯度是從春分0°→23.5°→0°→ -23.5°→ 0°，即 春分 時(shí)ν(79.28)= 0，夏 至?xí)rν(79.28)= 23.5，秋 分 時(shí)ν(79.28)= 0，冬 至 時(shí)ν(79.28)= 23.5，2016 年春 分 時(shí)ν(79.28)= 0. 在建立函數(shù)ν(t)時(shí)，分別試用了平均法、擬合法，均未能得到理想的效果，考慮到直射緯度的周期性，最后采用了便于計(jì)算的正弦型函數(shù)來建立[3].即

根據(jù)上述函數(shù)作出時(shí)間與太陽緯度呈正弦函數(shù)曲線，如圖三.

圖三 太陽緯度與時(shí)間函數(shù)圖

（3）計(jì)算日出日落時(shí)間

如果某時(shí)太陽直射線OS通過P點(diǎn)的切平面Π，則我們可以看見太陽.由于太陽距離地球特別遠(yuǎn)，易知向量的夾角不大于90 度[4]，太陽直射線OS必定通過P點(diǎn)的切平面Π，那么cos∠POS≥0，可 知(cosβcosα,cosβsinα,sinβ)和

那么就有 cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+sinβsinν≥ 0，等于90 度時(shí)，則是日出日落的時(shí)刻，那么 cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+ sinβsinν=0.

通過計(jì)算，我們即可得到北京地區(qū)2015 年1月1 日至2016 年12 月31 日間人約黃昏后的時(shí)間表，見表1.（插表太陽落下隨機(jī)選一部分）

表1 人約黃昏后時(shí)間表

這與壽星天文歷很吻合，說明我們的模型是比較正確的.

注：壽星天文歷一款采用現(xiàn)代天文算法制作的農(nóng)歷歷算程序.含有公歷與回歷信息，可以很方便的進(jìn)行公、農(nóng)、回三歷之間的轉(zhuǎn)換.提供公元-4712 年到公元9999 年的日期查詢功能.

4.4.2 關(guān)于月出月落

（1）月球的直射點(diǎn)經(jīng)度μ(t)的計(jì)算

由于地球自轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)過360°，但月亮繞地心公轉(zhuǎn)的周期為29.530588 日，平均每天轉(zhuǎn)= 12.19075 度.

由于2015 年5 月25.24 日月球在地球上的直射點(diǎn)的經(jīng)度為98 度，緯度為0 度，我們即可得到月球的直射點(diǎn)經(jīng)度計(jì)算式，即

其中t0=2015 年 5 月 25.24 日 .

（2）月亮的緯度計(jì)算

由于月球的公轉(zhuǎn)平面和地球的公轉(zhuǎn)平面不重合（軌道圓心重合）,有一個(gè)大約5 度9 分的夾角，月球的緯度從μ1(t0)= 0 開始，公轉(zhuǎn)一周29.530 588 日 ，經(jīng) 過 從 0°→ 5.15°→ 0°→ -5.15°→0°的變化過程，讓我們聯(lián)想到正弦型函數(shù)具有這樣的周期性，故我們對月球在地球的直射點(diǎn)緯度有一個(gè)粗略的算法：即

（3）月出月落時(shí)刻的計(jì)算

由于月亮到地心的距離為地球半徑的61 倍，那么我們看得見月亮?xí)r有

即 ∠POS≤89°， 故 有 cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+sinβsinν，那么月出月落的條件為：

cosβcosαcosμcosν+cosβsinαcosνsinμ+sinβsinν

我們運(yùn)用上面的方法也可以得到2015 年1 月1 日至2016 年12 月31 日的北京地區(qū)的月出月落時(shí)刻，表2 隨機(jī)選一部分月出時(shí)刻.

表2 月出月落時(shí)刻表

4.4.3 比較月升日落

根據(jù)年中哪個(gè)月在滿月（初十五）的時(shí)候，太陽已經(jīng)落下的60 分鐘之內(nèi)，月亮已經(jīng)升起了60分鐘以上.也即是滿足“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)刻的定義.根據(jù)模型計(jì)算出符合“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間（見表3）.這與壽星天文歷很吻合，說明此模型是比較正確的.

表3 符合“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間

4.5 問題 2 的解答

月上柳梢頭這個(gè)時(shí)候，太陽、地球、月亮幾乎在一條直線上，地球在太陽和月亮之間，從地球上幾乎可以完全看到月亮被太陽照亮的一面，就是滿月.另外，根據(jù)歐陽修的詩中意境也可知為滿月 .從 2016 年元月 1 日到 2016 年 12 月 31 日 ，當(dāng)月正圓的時(shí)候，時(shí)間分別依次為為t1,t2,t3,…,t12，既滿足月上柳梢頭又滿足人約黃昏后的條件為

x2(ti)≤y1(ti)+ 1 ≤y1(ti)+ 2 ≤x2(ti)+ 1(i=1,2,…,12).

我們通過比較，得出2016 年各地滿足“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情況，見表4.

表4 2016 年各地滿足“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間表

5 模型評價(jià)

優(yōu)點(diǎn)：本題解題過程和所構(gòu)建的模型簡單明了，且易用于實(shí)際生活中；對于題目有較為深刻的吻合,模型具有堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；把天文知識和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識結(jié)合得比較好.

缺點(diǎn)：由于忽略因數(shù)較多，對運(yùn)算結(jié)果與真實(shí)情況有稍微偏差，考慮的影響因素較少，在處理問題時(shí)可能存在一些誤差.