明確圖形生成順序,找準破題初始變量

陜西省漢中市龍崗學校(723100)唐宜鐘 周 娟

在某些解析幾何題目中,圖形中點、線、角等量是有生成、變化順序的: 即由初始量A生成并引起B(yǎng)的變化,B的變化又引起C的變化,量依次生成、變化,直到最終需要證明或者計算的結論.一般來說,越靠前的量,基本信息越多,越容易求得.后面的量又由前面的量計算求得.因此,找準初始變量并合理表達,是破題的關鍵.

在實際教學中,教師往往根據解答解析幾何的經驗,給學生做答.很少有人提出生成順序和初始變量的想法,學生解答問題時也糊里糊涂.下面筆者試舉幾例進行說明.

例1 已知拋物線C:x2=2py(p >0),直線l:y=mx ?3 與拋物線C相切,且原點到直線l的距離為(1)求拋物線C的方程;

(2) 如圖,過拋物線C的焦點F的直線與拋物線交于P,Q兩點,PE與拋物線的準線垂直,且垂足為E,QR⊥EF與拋物線交于R,求?PQR面積的最小值.

解(1)x2=4y；

(2)題目敘述繁雜,點、線眾多,此時需要關注圖形中點、線的生成順序,找準基本量,按照生成的邏輯鏈條,依次表達各量,才不至于在解題過程中瞻前顧后,顧此失彼.顯然,本題的初始變量為P,P的變化引起了點Q和E的變化,直線EF和點Q又生成了點R,進而形成三角形PQR,其生成順序如圖，故本題可先設點P的坐標,再依次生成各點、線的坐標和方程,最終得解.

例2 (2019 年浙江卷) 如圖,已知點F(1,0) 為拋物線y2=2px(p >0),點F為焦點,過點F的直線交拋物線于A、B兩點,點C在拋物線上,使得?ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且Q在點F右側.記?AFG、?CQG的面積為s1、s2.

事實上,從圖形的生成過程可以看出本題中點的生成是一個閉合回路,其也可以反向生成.如已知定點C和定點A,在拋物線上任取一點N,直線CN交拋物線于點L,直線AN交拋物線于點M,則直線ML過定點B.根據本題中的量可以很容易反推出來.其生成順序如圖:

例4 (2019 年全國二卷)已知點A(?2,0),B(2,0)動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G

(i)證明: ?PQG是直角三角形;

(ii)求?PQG面積的最大值.

解(1)

(2)(i)略.

對于第(ii)問,在橢圓中,如果使用點的生成想法,點P為初始變量,點G是最后生成的,點G的坐標表示起來比較困難.我們嘗試改變一下想法,從邊長和角度方面理解生成過程.