淺析二級(jí)倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

劉大偉，湯玉東，滕福林

（南京工程學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 211167）

倒立擺控制系統(tǒng)具有以下特性：復(fù)雜性、不穩(wěn)定性、非線(xiàn)性強(qiáng)、強(qiáng)耦合性，因此它是進(jìn)行控制理論教學(xué)及開(kāi)展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)?？刂评碚撝械脑S多經(jīng)典性問(wèn)題都能在倒立擺控制實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)出來(lái)：如穩(wěn)定性問(wèn)題、魯棒性問(wèn)題、非線(xiàn)性問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題等。同時(shí)倒立擺的研究也具有重要的工程應(yīng)用背景，行走機(jī)器人的關(guān)節(jié)控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制、海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定性控制、飛機(jī)安全著陸和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等均涉及到倒置對(duì)象的穩(wěn)定控制問(wèn)題。因此，倒立擺控制策略的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題，大量的研究成果表明利用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論以及智能控制方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制穩(wěn)定。本文針對(duì)固高直線(xiàn)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，采用Langrange方程建立了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并分析了倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)能控問(wèn)題，設(shè)計(jì)了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制器，實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的有效控制。

1 二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與穩(wěn)定性分析

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

二級(jí)倒立擺的模型如圖1所示，各物理參數(shù)取值如表1所示。

圖1 二級(jí)倒立擺模型

表1 二級(jí)倒立擺參數(shù)

系統(tǒng)做如下假設(shè)：小車(chē)、一級(jí)擺桿和二級(jí)擺桿都是剛體；皮帶輪與同步帶之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，且同步帶不會(huì)拉伸變長(zhǎng)；小車(chē)與導(dǎo)軌之間的摩擦力與小車(chē)速度成正比；各級(jí)擺桿與轉(zhuǎn)軸間的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩與擺桿的角速度成正比。本文采用分析力學(xué)中的Lagrange方程建模。

并且取小車(chē)加速度為輸入變量，即：u=x

在平衡位置（上下桿垂直向上）附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線(xiàn)性化可得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

1.2 穩(wěn)定性分析

二級(jí)倒立擺在平衡點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型如式（1）所示，下面分析該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀(guān)性。

根據(jù)現(xiàn)代控制理論[6]相關(guān)知識(shí)可知系統(tǒng)（1）：

對(duì)二級(jí)倒立擺狀態(tài)方程(1)的系統(tǒng)矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到系統(tǒng)矩陣的奇異值陣S。

二級(jí)倒立擺的相對(duì)可控度：δ=1/102.7083 = 0.0097，相對(duì)可控度較小，二級(jí)倒立擺控制難度高。

2 二級(jí)倒立擺最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

2.1 線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制

線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用狀態(tài)空間形式給出的線(xiàn)性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問(wèn)題就是在線(xiàn)性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。

對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：

要尋求控制向量 u*(t) 使得二次型目標(biāo)函數(shù)為最小。

式中，u不受限制，Q為半正定是對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，R為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，Q、R分別是對(duì)狀態(tài)變量和輸入量的加權(quán)矩陣。

式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿(mǎn)足黎卡提（Riccati）代數(shù)方程，因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡提（Riccati）方程的問(wèn)題，并求出反饋增益矩陣K。

2.2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)（六個(gè)狀態(tài)量都可測(cè)），找出確定反饋控制規(guī)律的向量K。用Matlab中的LQR函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。lqr函數(shù)允許選擇兩個(gè)參數(shù)——R和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。由于Q與R的不確定性，所以只能采取湊試法進(jìn)行確定。輸入向量R一般為[1]，通過(guò)改變Q矩陣中的非零元素來(lái)調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。

其中，Q11代表小車(chē)位置的權(quán)重，Q22是擺桿1角度的權(quán)重，Q33是擺桿2角度的權(quán)重。

湊試的流程大致如圖2所示。

圖2 確定Q流程圖

通過(guò)計(jì)算選取Q11=500，Q22=100，Q33=100。

此時(shí)最優(yōu)控制率K的值為：[22.3607，100.5965，-184.0515，20.6280，2.1536，-30.2569]。

2.3 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制器仿真與實(shí)物調(diào)試

（1）最優(yōu)控制器仿真。仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 二級(jí)倒立擺最優(yōu)控制仿真結(jié)構(gòu)

初始小車(chē)位移設(shè)為0.1，上下擺均為0時(shí)，該系統(tǒng)的波形如圖4所示。從上到下依次為小車(chē)位移變化、下擺角角度變化、上擺角角度變化。

圖4 仿真結(jié)果

改變初始的條件，令小車(chē)位移上擺角均為0，下擺角角度為0.05，得到二級(jí)倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)波形如圖5 。

圖5 仿真結(jié)果

仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器能控制上、下桿保持在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，且使得小車(chē)的位移為零，實(shí)現(xiàn)較好的控制效果。

（2）最優(yōu)控制器實(shí)物調(diào)試。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)實(shí)物控制的結(jié)構(gòu)圖，如圖6所示，實(shí)物控制效果如圖7所示。

圖6 二級(jí)倒立擺實(shí)物控制結(jié)構(gòu)圖

圖7 二級(jí)倒立擺模糊控制效果圖

通過(guò)實(shí)物控制驗(yàn)證，可以成功的把二級(jí)倒立擺穩(wěn)定在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。證明了所設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器是非常有效的。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)二級(jí)倒立擺的最優(yōu)控制進(jìn)行了研究。借助于Lagrange方程，在平衡點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性化建立了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并分析了其不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的能控性，采用試湊方法設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的有效控制。Q、R矩陣選取對(duì)控制性能的影響機(jī)理尚需進(jìn)一步的研究。