以形表數(shù) 據(jù)圖析理
——培養(yǎng)低年級小學生畫圖說理能力的策略例析

施巧凝

（晉江市第三實驗小學，福建 晉江 362200）

“會用數(shù)學語言表達世界”是數(shù)學教育的終極目標之一。數(shù)學說理是運用數(shù)學語言進行邏輯表達的過程。數(shù)學語言包含文字語言、符號語言、圖形語言。學生利用畫圖策略幫助解決問題，經(jīng)歷讀取文字語言，把文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言和符號語言，分析、發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，結(jié)合圖形語言和符號語言有條理地表述自己的思考的過程。會用數(shù)學語言表達，說明學生的思維逐步達到條理化、概括化和精確化，這不僅是對知識掌握程度的一種反映，更是一種數(shù)學素養(yǎng)。然而，數(shù)學語言表達能力的形成不是一蹴而就的，需要長期熏陶，不斷強化。從小學低年級開始培養(yǎng)學生畫圖說理能力，有利于其數(shù)學語言表達能力的發(fā)展。

一、以形表數(shù)，方法易理解

以形表數(shù)，即一個小小的圓圈或一條小小的線段，既可以表示一個比較小的數(shù)量，也可以表示一個非常大的數(shù)量，還可以表示各種各樣的生活情境和數(shù)學信息。小學高年級，最常使用的是線段圖。從用單個圖形表示1 個，到一條抽象的線段表示各種不同的數(shù)量，對小學生來說是很大的思維跨越?！皬囊荒昙壠穑涂梢韵鄼C引導學生畫圖表示數(shù)，畫圖說明計算結(jié)果，特別是在解決問題時，放手讓他們把‘應(yīng)用題畫出來’”。［1］“在畫圖教學中，教師要有意識地溝通各種圖示的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，體會在不改變數(shù)學信息和數(shù)量關(guān)系的前提下，圖是可以逐漸變化的，可以變得更加簡潔、抽象，從而為后續(xù)表征復雜問題奠定堅實的基礎(chǔ)?！保?］

根據(jù)北師大版教材逐步呈現(xiàn)的各種用圖形表示數(shù)量的方法，在一年級下冊的期末復習階段設(shè)計一節(jié)關(guān)于畫圖解決問題的練習拓展課。先回顧教材在用圖形表示數(shù)量方面的編排。一年級上冊課本第5 頁“練一練”第1 題，第一次用圓圈表示數(shù)量，實物和圖形一一對應(yīng)（見圖1）。接著，在課本第6 頁“練一練”第4 題，數(shù)字和圖形一一對應(yīng)。（見圖2）

圖1

圖2

小學生學習數(shù)學從認識數(shù)字開始。數(shù)的意義本身是抽象的，對于低年級學生而言，“數(shù)字”這一數(shù)學符號的呈現(xiàn)也十分抽象。因此，教科書創(chuàng)設(shè)各種生活情境，每一個抽象的數(shù)的認識都經(jīng)歷了“數(shù)出實物的數(shù)量→用圖表示數(shù)量的多少→用數(shù)字表示數(shù)量的多少”的過程。用圖形表示數(shù)量的多少，實物和圖形、數(shù)字和圖形是一一對應(yīng)的，滲透對應(yīng)的思想和符號化的意識。20 以內(nèi)的數(shù)量，一個圖形表示1 個，畫圖相對簡單，但到了100 以內(nèi)的數(shù)，甚至更大的數(shù)，怎么畫圖呢？除了用計數(shù)器表示的方式，一年級下冊課本第48頁設(shè)計了一道習題：

圖中，大正方形表示10，小正方形表示1。

二年級上冊學習乘法，第17、19、41 頁循序漸進地出現(xiàn)數(shù)線，第73 頁第一次呈現(xiàn)長條圖（見圖3、圖4、圖5）。

圖3

圖4

圖5

數(shù)線圖從尺子圖上抽象出來，逐步經(jīng)歷從一格表示1 個到一格表示多個的過程。數(shù)線圖實際上是數(shù)軸的雛形，而線段圖是數(shù)軸的一部分。到了課本73 頁，長條圖出現(xiàn)了。二年級下冊到三年級下冊，數(shù)線圖和長條圖、點子圖（圓點）不斷交替出現(xiàn)，不難看出，教材特別重視數(shù)形結(jié)合。

用畫圖表示數(shù)量、認識數(shù)的運算的圖像表征過程，可以幫助學生加強對算理的理解，初步培養(yǎng)學生有條理地表達自己思考過程的能力。表示數(shù)量的畫圖方法，包括單個小平面圖形、長條圖、數(shù)線、線段等。筆者在練習拓展課中，通過一道練習題，讓各種表示數(shù)的方式自然、有層次地呈現(xiàn)，打通數(shù)種方法之間的聯(lián)系。如出示熊貓、大象、小猴三種動物的數(shù)量，先呈現(xiàn)熊貓數(shù)量的畫圖表示方式，請學生用同樣的方式表示大象的數(shù)量（上述一年級下冊課本第48 頁習題畫圖方式的繼續(xù)運用），進一步提出求和、求相差數(shù)的問題。其中，求相差數(shù)的問題，利用希沃白板拖曳功能，引導學生通過重排圖形順序，分一分，結(jié)合圖形分析、闡述計算的道理——把大象的數(shù)量分為兩部分（見圖6），一部分是和熊貓同樣多的數(shù)量，一部分是比熊貓多的，去掉同樣多的部分，剩余的就是大象比熊貓多的部分。

圖6

接著提出“小猴比大象多幾只”這個問題，請學生按照表示大象數(shù)量的方式，表示出小猴的數(shù)量。此時，學生發(fā)現(xiàn)即便調(diào)整正方形、小長方形的順序，也無法像比較大象和熊貓的數(shù)量那樣一一對應(yīng)，直觀看出小猴的數(shù)量比大象多了多少（見圖7）。有學生想到，要把表示10 只小猴的其中一個正方形分成10 個小長方形，10 個一拿出2 個一，剩余的8 個一和3 個十合起來，就是多出來的部分。有的想到把這些圖形粘在一起，將分別表示大象和小猴的所有圖形移動合并。

圖7

單個圖形合并之后，隱去中間的線條，得到長條圖。長條圖比畫單個圖形簡單一些，但因為動物的數(shù)量無法通過“數(shù)一數(shù)”直接看出，所以要在長條圖中標注出數(shù)量（見圖8）。再進一步抽象，把長條圖壓扁，去掉顏色，隱去上面的邊，加上大括號，標準的線段圖就水到渠成。

圖8

上述案例中，一步步變幻，一點點抽象，拓展畫圖表示數(shù)的方法，為二年級尺子變數(shù)線、長條圖的學習做好鋪墊。此外，在學生畫數(shù)線、長條圖、線段圖時，要有意識地引導他們關(guān)注數(shù)的大小、數(shù)量的多少與長條、線的長短之間的關(guān)系，在發(fā)展數(shù)感的同時，培養(yǎng)思維的嚴謹性和科學性。

二、據(jù)圖析理，思維可視化

（一）關(guān)注數(shù)學語言

兒童的知覺方式與成人不同，符號的解釋能力也具有差異。低年級學生簡單、直線式的思維特點，使他們在表達想法時，往往眼睛看到什么就說什么，心里想到什么就說什么，有時無法從數(shù)學的角度去思考問題。如北師大版一年級上冊第21 頁“想一想，說一說”比高矮（見圖9）。一位學生說：“我認為最高的是中間的小兔子。因為它比著剪刀手，很高興，說明它最高。”學生受生活中游戲經(jīng)驗以及圖案中表情、動作這些非數(shù)學信息的影響，而沒能注意所要比較的是兔子本身的高、矮。

圖9

這樣的題目，教師需要引導學生關(guān)注題目信息中的數(shù)學語言（含文字和圖形）。如“有幾只小兔在比高矮？圖上除了3 只小兔，還畫了什么？”聚焦“圖上的橫線有什么用”，學生在闡述“為什么小灰兔最高？”時，可以依據(jù)橫線圖這個參照物，用“小灰兔和粉兔子的耳朵對齊了，可是往下面看，小灰兔比粉兔子多了2格”“小灰兔有8 格，粉兔子有6 格”等有數(shù)學味的方式來比較、說理。

（二）畫圖表征信息

思維活動屬于內(nèi)部數(shù)學語言加工，大多是內(nèi)隱、無聲的，具有自悟性、跳躍性、模糊性等特點。將思考過程通過畫一畫、寫一寫的方式記錄下來，有助于化隱性為顯性，化抽象為直觀。畫圖說理，即先畫圖，再借助圖來講道理，圖的畫法也要有道理，讓人一目了然。

例如，學生畫圖說明如何計算8+5，在計數(shù)器上畫一個向下的箭號（↓）表示加上，把10 顆珠子圈在一起，再畫個有弧度的箭號指向十位，表示“滿十進一”。靜態(tài)的信息有了動態(tài)的表征，8+5 的算理算法展示無遺漏（見圖10）。再如，根據(jù)“有12 只山羊”“7 只綿羊”兩條數(shù)學信息提問題，所提出的三個問題分別有三種畫法。其中求和的問題，大括號畫在左邊，表示把兩個數(shù)量合起來。求相差數(shù)的問題，共同之處是將比較多的數(shù)量分為兩部分，區(qū)別在于“山羊比綿羊多幾只？”問題標在山羊多出來的部分的下面，而“綿羊比山羊少幾只”少的部分的數(shù)量是未知的，畫一個圈把少的部分囊括其中，再加個問號，指向性生動明確（見圖11）。

圖10

圖11

關(guān)于解決問題，引導學生要將已知的信息和問題都表示清楚。如解決乘除法問題，學生有以下畫圖方式（見圖12、圖13）。“20 里面有幾個4”和“20 是4 的幾倍”，雖然計算的道理是一樣的，但由于一個問的是總量和部分的關(guān)系，一個是兩個量在比較，學生畫的圖巧妙地區(qū)分了兩者。

圖12

圖13

到了三年級，有些學生繼續(xù)將畫圈圈加數(shù)量表征題意的方法運用得“爐火純青”，雖然不夠嚴密，但是數(shù)量關(guān)系、計算道理一目了然（見圖14）。

圖14

（三）畫圖闡明算理

對低年級學生來說，單純的文字語言理解起來比較困難，特別是與隊列、數(shù)陣有關(guān)的問題；已知兩個數(shù)量之間的關(guān)系（包括相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系）和其中一個數(shù)量，求另一個數(shù)量的問題。這兩類數(shù)學問題，雖然數(shù)量關(guān)系不復雜，但因為文字表述接近，稍不注意，便差之毫厘，謬以千里。如關(guān)于隊列問題，北師大版的第一次呈現(xiàn)在一年級上冊第一單元第13 頁（見圖15）。其中，“我”排第幾個有兩種答案，從丁丁這頭數(shù)起和當當那頭數(shù)起。這里是對數(shù)的基數(shù)和序數(shù)意義的強化，要鼓勵學生說明為什么“我”一會兒是第7個，一會兒是第4 個。當?shù)谖鍐卧J識“左右”以后，這幅圖還可以二次利用，此時語言應(yīng)該轉(zhuǎn)化為“從左邊數(shù)，我是第幾個；從右邊數(shù)，我是第幾個”，并且追問“‘我’的左邊有幾個，右邊有幾個”。教師要有意識地引導學生給這個關(guān)鍵的“我”做標記，如在人物底下畫個△，一個一個數(shù)的過程也做上記號，避免混亂。

圖15

以后遇到排隊問題，都可以先把關(guān)鍵人物畫出來，再根據(jù)題意，畫出或?qū)懗鲫犖榈男畔?，進而數(shù)一數(shù)或算一算，不容易遺漏或重復（見圖16、圖17）。

圖16

圖17

同樣的，對于相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系的問題，畫圖后，題中的數(shù)量關(guān)系便一清二楚。畫圖是促進深度思考、說明道理時的支撐，學生經(jīng)歷畫圖表征信息的過程，審題將更加謹慎，思考將更為深入。交流分享時，圖形協(xié)助頭腦中回憶起相關(guān)思考點，闡述觀點有理有據(jù)。所以，教師要從低年級開始培養(yǎng)學生畫圖說理的意識和能力，為高年級表征復雜的數(shù)量關(guān)系打基礎(chǔ)，同時養(yǎng)成學生畫圖析理的好習慣。

三、習題強化，能力成素養(yǎng)

“我們應(yīng)從單純強調(diào)‘幫助學生學會數(shù)學地思維’走向‘通過數(shù)學學會思維’，我們也應(yīng)從更廣泛的角度理解，幫助學生學會‘畫圖’的重要性：這不僅與他們的數(shù)學學習密切相關(guān)，也對提升學生的‘核心素養(yǎng)’，特別是思維與表達能力具有十分重要的作用?！保?］任何一種能力的形成都需要不斷強化，畫圖說理能力也不例外。當學生有了畫圖說理的意識和初步能力后，要多創(chuàng)造機會，設(shè)計畫圖說理練習題，積累經(jīng)驗，發(fā)展能力，讓喜歡并習慣這樣的表達方式，進而上升為素養(yǎng)。

例如，三年級下冊學習《面積》《認識分數(shù)》單元后，分別設(shè)計以下說理題。在畫圖說理中，發(fā)展學生的批判性思維，培養(yǎng)審慎、求真的學習態(tài)度。

總之，從低年級開始培養(yǎng)學生畫圖說理能力，養(yǎng)成樂分享、善表達的學習習慣，有助于實現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》第一學段所述“會獨立思考，表達自己的想法”“體驗與他人合作交流解決問題的過程”的培養(yǎng)目標，為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。