在比較中實現(xiàn)概念的深度學習
——以“周長”和“面積”的概念學習為例

宋曉春

（同安區(qū)第三實驗小學，福建 廈門 361100）

馬云鵬教授認為，深度學習是一種基于理解的學習，是學生以高階思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為內(nèi)容，積極主動地、批判性地學習新知識和思想，并將它們?nèi)谌朐械恼J知結(jié)構(gòu)中，且能將已有知識遷移到新的情境中的一種學習。［1］小學數(shù)學教學中實現(xiàn)概念的深度學習，應著力引導學生經(jīng)歷概念的形成過程，促進學生對概念的本質(zhì)理解，實現(xiàn)概念的靈活應用，并能將新概念納入原有的概念結(jié)構(gòu)。比較可以幫助人們把握事物的異同點，區(qū)別事物，達到對各個事物的深入了解認識，從而把握各個事物。

在小學數(shù)學概念教學中，“周長”和“面積”是跟平面圖形有關(guān)的兩個概念，分別安排在人教版三年級上下冊中。學生在三年級下冊學習面積相關(guān)知識后，對于周長和面積這兩個概念總是很容易混淆。為了幫助學生更加準確、深刻地理解這兩個概念，在學完“面積”這一單元后，教師應有意識地引導學生對“周長”和“面積”的含義及其計算方法進行比較分析。在不同概念異同點的對比中，開展深層次對話，實現(xiàn)概念的深度學習。

一、比較“線”與“面”，經(jīng)歷概念形成

數(shù)學概念具有抽象性，而小學生的思維特點是以具體形象思維為主，具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡。純粹的機械記憶并不能讓學生真正理解概念，只有經(jīng)歷概念的形成過程，積累認知體驗，學生對概念才能獲得真正意義上的生動的理解。教材中對周長的定義是“封閉圖形一周的長度”，對面積的定義是“封閉圖形或物體表面的大小是面積”。比較“周長”和“面積”這兩個概念的形成過程，可以發(fā)現(xiàn)“周長”計量的對象是“線”，而“面積”計量的對象是“面”。所以在概念教學中，首先要讓學生感悟到“線”與“面”的不同，從而意識到“周長”與“面積”的不同。

1.動態(tài)感知，展示特征

小學生的思維以直觀思維為主，動態(tài)地展現(xiàn)概念，有利于學生獲得直觀體驗，印象更深刻。如用課件展示一個長方形，請學生上臺比一比，說說長方形周長指的是什么？面積指的是什么？課件先呈現(xiàn)紅色線繞長方形一圈，并且將這一圈展開，里面包含兩條長和兩條寬的過程，由此直觀呈現(xiàn)“長方形的周長就是長方形一周的長度，也就是2 條長和2 條寬的長度總和”這一概念。接著，呈現(xiàn)“藍色涂滿整個長方形”的過程，引領(lǐng)學生直觀感受，藍色部分就是這個長方形的面積。動態(tài)展示，讓學生對“線”與“面”的特征感受更加強烈。

2.操作體驗，親歷實踐

設計操作性的實踐練習，讓學生在動手中直觀體驗“線”與“面”和不同。如設計“摸一摸、說一說、找一找”的操作活動，讓學生在多種操作中，直觀感知周長和面積的不同，形成表象?；蛘垖W生先用紅筆描出以下每個圖形的一周，再涂藍色，表示出它們的面積（見圖1）。在“涂一涂”的活動中，在“紅線”與“藍塊”的視覺對比沖擊中，強化“線”與“面”的不同。

圖1

3.觀察對比，深化認知

設計兩個圖形的比較“周長”與比較“面積”的練習，讓學生在觀察對比中，不斷深化“周長計量線、面積計量面”的認知。如請學生比較甲、乙兩個圖形，誰的周長更長？誰的面積更大？學生觀察發(fā)現(xiàn)，圖2 中，甲乙兩個圖形其實都包含兩條長和兩條寬，周長一樣長；但甲面積小，因為它缺了一小塊。圖3 中，兩個圖形都是由兩條直角邊和一條曲線圍成，直角邊和曲線的長度相等，所以周長相等。但是曲線圍繞直角邊的方式不同，可以直觀看出乙的面積更大。

圖2

圖3

二、比較“計量標準”，把握概念本質(zhì)

概念的學習，不能僅僅停留“表面理解”“淺層理解”，而要實現(xiàn)“深度認知”“深層理解”。這就需要教師把握概念的本質(zhì)。張奠宙教授說：“許多數(shù)學本質(zhì)，只有從歷史的發(fā)展（中）才能深刻體會?！苯處熞荼厩笤矗穯柛拍畹那笆澜裆?，重視知識的來龍去脈，在歷史的脈絡中尋求概念的本質(zhì)。測量圖形的周長，測量的是“線”的長短；而“線”的長短，就是二年級時學過的線段的度量，就是一條線段里包含幾個“單位長度”。測量圖形的面積，測量的是“面”的大小，也就是一個“面”里包含幾個“單位面積”。周長和面積本質(zhì)是相同的，都是“度量”，也就是要先確定度量的標準單位，再算算圖形中包含幾個這樣的標準單位。［2］測量周長使用的標準單位是“單位長度的線段”，測量面積使用的標準單位是“單位面積的小正方形”。

1.數(shù)一數(shù)，化形為數(shù)

教師引導學生加強“數(shù)一數(shù)”的練習，巧妙地化“形”為“數(shù)”，讓學生深刻領(lǐng)悟“周長”和“面積”的本質(zhì)——“數(shù)一數(shù)有幾個標準單位”。同時，通過數(shù)“線段”還是數(shù)“小方格”，感悟“計量標準”的不同，進一步明晰“周長”和“面積”的不同。

如圖4，比較面積，應該數(shù)“小方格”。甲有10 個小方格，乙也有10 個小方格。學生在數(shù)格子中發(fā)現(xiàn)，甲乙形狀不同，但是面積一樣。比較周長，應該數(shù)“線段”（小方格的邊）。甲一周有14 段，乙一周有16 段，所以乙周長比較長。

圖4

2.畫一畫，逆向思考

教師引導學生在方格紙上“畫一畫”，在“畫”的過程中，對比周長與面積在計量標準上的不同。設計教學活動如下：

（1）在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的周長都是12 厘米。（每個方格的邊長表示1 厘米）

（2）在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的面積都是12 平方厘米。（每個方格的邊長表示1厘米）

“畫一畫”比“數(shù)一數(shù)”難度有提升，蘊含著逆向思考的過程。面積是12 平方厘米，意味著畫的圖形里要包含12 個小方格，所以每排的個數(shù)（長）乘幾排（寬）要等于12；周長12 厘米，意味著圖形一圈的長度是12厘米，即“長+長+寬+寬＝12 厘米”，也就是“（長+寬）×2＝12”，所以長+寬＝6。學生在“畫一畫”的過程中，對周長和面積的本質(zhì)進一步辨析理解，對長方形、正方形的面積公式進行逆運用，思維含量較高。會“畫”，說明學生對周長和面積的計量單位已經(jīng)具有清晰的認識。

三、比較“問題情境”，落實概念應用

概念的深度學習，一個重要表現(xiàn)在于能夠正確、靈活地運用概念。因此，在概念教學后，教師應該把概念融合到數(shù)學問題中，引導學生積極地在比較分析中解決問題，進一步明晰概念、理解概念，實現(xiàn)概念應用。教師可以設計多種關(guān)于“周長”與“面積”的實際問題情境，引導學生比較分析，明晰概念，提升應用數(shù)學概念解決數(shù)學問題的能力。

1.設計具體情境

教師提供一些現(xiàn)實生活中的情境，讓學生根據(jù)對概念的理解，直接判斷是周長問題還是面積問題。如請學生想一想，以下情境，是跟周長有關(guān)，還是跟面積有關(guān)？①體育課上，同學們沿著操場的周邊跑了2 圈。②工人叔叔粉刷房間的墻壁；③放學后，值日生把教室全部打掃一遍；④給草地圍上圍欄。學生在比較生活中應用周長和面積的情境中，生動理解周長和面積。

2.設計對比情境

教師直接呈現(xiàn)包含“周長”問題和“面積”問題的題組，讓學生在同一題組中進行對比辨析。如三年級下冊練習十三的第6 題：“墻報的面積是多少平方分米？花邊的總長是多少分米？”同一題里有“周長問題”，也有“面積問題”，學生必須先對比做出判斷后，才能選擇對應的公式進行計算。

3.設計隱含情境

有些題目沒有出現(xiàn)“周長”或“面積”的字眼，學生需要結(jié)合自己的生活經(jīng)驗判斷，進一步促進概念的理解。如三年級下冊練習十三的第8 題：“灑水車每分鐘行駛200 米，灑水的寬度是8 米。灑水車行駛6 分鐘，能給多大的地面灑上水？”學生聯(lián)系灑水車灑水的場景，明白求多大的地面，相當于求灑水地面的面積，灑水車行駛的路程相當于灑水地面的長，灑水寬度相當于灑水地面的寬，所以運用長方形的面積公式進行計算。

四、比較“變與不變”，溝通概念關(guān)聯(lián)

數(shù)學中每個概念的學習，呈點狀結(jié)構(gòu)，相對是零散的。但教師不能孤立地看待每個概念，而應站在整體的高度，尋找并溝通各個概念之間的關(guān)聯(lián)，引導學生在系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)中認識概念，促使學生形成概念網(wǎng)絡，完善概念的認知結(jié)構(gòu)。

1.聯(lián)系的視角

比如，正方形的邊長、周長、面積三者之間，知道其中一個量，就可以推算出其他兩個。教師設計練習：“一根16 分米的鐵絲圍成一個正方形，這個正方形的面積是多少平方分米？”學生需要分析，16 分米是鐵絲的長度，也是這個正方形的周長，知道正方形的周長，就可以推出正方形的邊長，進而算出正方形的面積。通過溝通邊長、周長、面積三者之間的關(guān)聯(lián)，使學生對邊長、周長、面積等概念的認識更加清晰。

2.變化的視角

“周長”和“面積”兩個單元，教材特別重視從“變化”的視角引領(lǐng)學生探究周長與面積的關(guān)聯(lián)。如三年級下冊練習十四第65 頁第七小題“在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的周長都相等，然后比較一下它們的面積。你能發(fā)現(xiàn)什么？”練習十六第75 頁的第11 題“在方格紙上畫出面積是16 平方厘米的長方形，你能畫幾個？算出它們的周長，填入表中?！眱傻李}目實質(zhì)上是聚焦“變”與“不變”的兩個問題探究：一是周長相等的圖形，面積一定相等嗎？二是面積相等的圖形，周長一定相等嗎？［3］

兩道題目編排分散，不利于學生整體上比較把握“周長”與“面積”的變化特點。因此，有必要安排專門的一課時，組織學生針對這兩個問題，同時開展對比性探究，并及時歸納、小結(jié)其中的規(guī)律。針對前述第一個問題，教師可提供學習單（見圖5），引導學生探究。學生自主思考，畫一畫、算一算、填一填，完成學習單，在觀察、思考中發(fā)現(xiàn)：“周長相等的長方形，它們面積不一定相等；周長相等時，長和寬越接近，面積就越大。”針對前述第二個問題，教師也提供給學生類似的學習單并組織學生開展類似的研究。兩個研究完成后，再組織學生對比感悟“變與不變”的辯證關(guān)系。

圖5

這樣專門設計的聚焦“變”與“不變”的課，進一步關(guān)聯(lián)了“周長”和“面積”的變化關(guān)系，促進學生深層次理解，為后續(xù)學習積累更多有價值的經(jīng)驗。