偶極子聲波測井在雙層套管井中激發(fā)的聲場特征

陳雪蓮, 唐曉明*

1 中國石油大學(華東)地球科學與技術(shù)學院, 青島 266580 2 中國石油大學(華東)深層油氣重點實驗室, 青島 266580

0 引言

隨著石油勘探技術(shù)的不斷發(fā)展，深井及超深井更多地采取了雙層套管或者多層套管的完井模式.目前超聲類的測井方法，由于其較高的工作頻率僅適用于最內(nèi)層套管與水泥環(huán)界面的膠結(jié)成像，聲幅和變密度測井(CBL/VDL)已嘗試應用在雙層套管固井質(zhì)量評價中(黃文新等1993；康建云等，2015)，但僅用套管波的幅度或衰減很難評價多層套管井中眾多界面的膠結(jié)狀況.陳沭華(2019)研究了基于超聲彎曲型蘭姆波的雙層套管井固井質(zhì)量評價的可行性，指出依靠界面反射波的幅度變化識別界面的膠結(jié)狀況，但在實際應用中由于水泥對波的傳播有很大的衰減或界面不規(guī)則等原因，造成實際接收的波列中經(jīng)常觀測不到反射波.偶極子聲波測井具有工作頻率低徑向探測深的優(yōu)勢，在雙層套管井中對水泥環(huán)和外套管以及水泥環(huán)和地層之間的膠結(jié)評價與現(xiàn)有的CBL/VDL相比具有明顯的優(yōu)勢.目前偶極子陣列聲波在套管井中的應用主要集中在測量地層橫波信息、各向異性以及壓裂效果的評價等方面(唐曉明和鄭傳漢，2004；王瑞甲等，2012)，在固井質(zhì)量評價方面的應用較少，尤其是在雙層及多層套管井中的應用潛力有待研究.早在1993年，Schmitt描述了單層套管井中偶極子橫波測井的響應特征，分析了膠結(jié)良好以及膠結(jié)差時井內(nèi)接收的全波波形成分，指出在套管和水泥環(huán)或水泥環(huán)與地層之間有流體環(huán)時套管彎曲波(Schmitt稱為流體環(huán)彎曲模式)的存在，套管彎曲波的頻散特性對評價固井質(zhì)量有重要的應用價值；Sakiyama等(2017)研究了單層套管井膠結(jié)良好和膠結(jié)差時地層彎曲波和套管彎曲波的頻散特征，發(fā)現(xiàn)套管和水泥之間流體環(huán)厚度增大時套管彎曲波慢度減小；Wang等(2018)分析了偶極子聲源在單層套管井中激發(fā)的聲場特征，分析了界面流體環(huán)厚度對套管彎曲波頻散的影響.最近有學者開始研究如何利用雙層套管井的聲場特征進行固井質(zhì)量評價，Haldorsen等(2016)分析了Sonic Scanner記錄的單極子陣列全波波形中各成分波，指出斯通利波對雙層套管膠結(jié)狀況敏感；Zeroug和Bose(2018) 和Liu等(2017a,b)利用頻域有限元方法研究了雙層套管中多極子波的頻散特征，指出了可利用陣列波形計算的頻率-慢度相關(guān)圖做圖像識別進行多層套管井固井質(zhì)量的評價.國內(nèi)在這方面的研究還未見報道，本文分別利用實軸積分和有限差分兩種井內(nèi)聲場的計算方法，模擬了偶極子聲波測井在雙層套管井中的響應特征，分析了在雙層套管之間分別充填泥漿和水泥、外層套管和地層之間不同膠結(jié)狀況時的全波波形特征，為偶極子陣列聲波測井在固井質(zhì)量評價中的應用奠定了理論基礎(chǔ).

1 雙層套管井的計算模型

1.1 實軸積分方法

雙層套管井是典型的徑向分層的圓柱體模型，見圖1所示.以油田上常用的雙層套管為例，內(nèi)層套管的外徑和厚度分別是177.8 mm和10.36 mm，外層套管的外徑和厚度分別是244.5 mm和8.9 mm，井眼直徑是317.5 mm.井內(nèi)泥漿、套管、水泥以及地層的聲學參數(shù)見表1所示.對于同心層狀的軸對稱模型可以利用實軸積分的方法模擬井內(nèi)偶極子聲源激發(fā)的聲場.在柱坐標系中模型內(nèi)固體層的位移和應力分量定義為

S=(u,v,w,σrr,σrθ,σrz)T，

(1)

其中T表示位移和應力組成的矢量/矩陣的轉(zhuǎn)置.對于模型中的每一層固體，位移和應力可以表示為

S=MX，

(2)

式中M是6×6的系數(shù)矩陣，X=(An,Bn,Cn,Dn,En,Fn)T，分別代表層內(nèi)反射和入射的縱波、SH橫波以及SV橫波的振幅系數(shù)，流體層中只有縱波(An和Bn)、最外層的地層只有向外擴散的輻射波(Bn、Dn和Fn).在膠結(jié)良好的固固界面，位移和應力分量均連續(xù)，即

S(j,r)=S(j+1,r)，

(3)

其中j表示第j層，r是界面的徑向位置.根據(jù)Thomson-Hanskell傳遞矩陣(唐曉明和鄭傳漢，2004)，多層固體耦合時可將內(nèi)層固體聲學影響傳遞到外層固體，減少求解方程的矩陣維數(shù).由于液體中不傳播橫波，邊界條件只有徑向位移ur及徑向應力σrr連續(xù)，剪切應力σr θ和σrz均為零.例如，L層液體層兩側(cè)的固液和液固界面的連接方程可表示為

(4)

以兩層套管之間充填泥漿、外層套管和地層之間膠結(jié)水泥為例，給出雙層套管井井孔聲場的計算方法，井內(nèi)泥漿、內(nèi)層套管、內(nèi)層環(huán)空泥漿、外層套管、外層環(huán)空水泥以及地層分別設(shè)為第1、2、3、4、5和第6層.外層套管和外層環(huán)空水泥內(nèi)的矢量S可以傳遞到井外地層中，用地層中的振幅系數(shù)(Bn、Dn和Fn)表示，如式(5)所示，式中M矩陣表達式可參見定量測井聲學(唐曉明和鄭傳漢，2004)，iL或iR，i=4,5,6，表示第i層的左邊界或右邊界的徑向位置，5個矩陣M相乘得到一個4×3矩陣，其表示了式(6)的系數(shù)矩陣N(9)(10)—N(12)(10)、N(9)(11)—N(12)(11)和N(9)(12)—N(12)(12).

(5)

兩層套管之間的流體層不滿足傳遞條件，保留井內(nèi)泥漿與內(nèi)層套管、內(nèi)層套管與內(nèi)層環(huán)空泥漿以及內(nèi)層環(huán)空泥漿和外層套管之間的3個液固界面，可直接建立式(6)所示的12×12矩陣方程，等號的右端是井內(nèi)聲源產(chǎn)生的直達波場.

(7)

其中n=1代表偶極源，en=2，f為井孔內(nèi)流體的徑向波數(shù)，r0為偶極距，kz為軸向波數(shù)，第一類n階貝塞爾函數(shù)In代表由井壁向井軸會聚的波，第二類n階變型貝塞爾函數(shù)Kn代表向井外傳播的波或發(fā)散波，SR(w)為聲源函數(shù)，在全波波形計算時選擇高斯源的譜函數(shù).

式(6)中的系數(shù)矩陣N是頻率和波數(shù)的函數(shù)，其行列式等于零時的方程det(N(w,kz))=0，即為圖1模型中模式波的頻散方程，求解此方程可得到套管和地層彎曲模式波的頻散曲線，模式波的相速度和衰減可由模式波極點所對應的波數(shù)kz得到，限多個彎曲模態(tài)F(1,m)，本文分析的偶極子聲源主頻為3 kHz，在套管中主要存在低階F(1,1)的套管彎曲波.圖2是套管內(nèi)外分別是真空以及泥漿時一階套管彎曲波的頻散曲線，相對于空心套管，在套管內(nèi)外充填泥漿后的套管彎曲波，其慢度值(紅色實線)明顯增加；在內(nèi)徑不變，減小套管厚度時，慢度值(紫色實線)增加，這與彎曲振子厚度變薄時諧振頻率降低有相似之處；若套管厚度不變，增加內(nèi)徑，其頻散曲線(藍色實線)明顯向低頻方向偏移，使得3～9 kHz頻段的慢度值增大，類似裸眼井井眼增大地層彎曲波頻散曲線向低頻方向偏移.

(8)

偶極子聲源在套管井中激發(fā)的是非軸對稱聲場，對于空心彈性圓管，羅斯(2004)指出其可包含無

圖1 數(shù)值仿真模型示意圖 (a) 雙層套管井模型示意圖； (b) 與聲源指向一致方向膠結(jié)水泥； (c) 與聲源指向垂直方向膠結(jié)水泥.Fig.1 Schematic diagram of simulation model (a) Schematic diagram of double-casing well； (b) Cementation in the source vibration direction； (c) No cementation in the source vibration direction.

1.2 三維有限差分數(shù)值模擬方法

三維有限差分模擬可以實現(xiàn)非軸對稱模型聲場的數(shù)值計算，偶極子聲源是指向性聲源，用密度較大的流體柱模擬偶極子聲波測井儀器，儀器的半徑為0.046 m，在分析套管彎曲波對外層套管和地層之間水泥膠結(jié)的敏感性時，分別設(shè)計了圖1b和圖1c所示的計算模型，圖1b是在與偶極子聲源振動同向的兩個90°扇區(qū)分別膠結(jié)水泥，圖1c是在與偶極子聲源振動方向正交的兩個90°扇區(qū)分別膠結(jié)水泥，這兩種模型主要用于研究偶極子聲源激發(fā)的聲場對環(huán)向水泥膠結(jié)的方位敏感性.數(shù)值計算模型尺寸是0.6 m×0.6 m×5 m，X、Y和Z軸上的空間步長與激發(fā)聲場中的波長有關(guān)，考慮到套管的厚度有限，仿真時空間步長小于1 mm，時間步長由空間步長和套管介質(zhì)的縱波速度決定.

圖2 套管彎曲波的頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of casing flexural wave

2 計算結(jié)果分析

2.1 兩層套管之間充填泥漿、外層套管和地層之間不同膠結(jié)狀況下的模擬

2.1.1 實軸積分的計算結(jié)果

雙層套管井固井質(zhì)量評價的難點是外層套管與地層之間的膠結(jié)狀況，首先利用實軸積分的方法分析了兩層套管之間(稱為內(nèi)層環(huán)空)充填泥漿外層套管和地層(稱為外層環(huán)空)分別填充水泥和泥漿時的波形特征，圖3a是外層環(huán)空充填水泥時計算的偶極子聲源激發(fā)時在井孔中接收的波列圖，聲源函數(shù)是中心頻率3 kHz的高斯源，源距3 m，間距0.1524 m，地層選取表1中的中速地層.波列中首先出現(xiàn)的是地層彎曲模式，后面出現(xiàn)了幅度稍高的內(nèi)層套管的彎曲模式波；圖3b是外層環(huán)空充填泥漿時的波列圖，可見套管彎曲模式波的波至與圖3a相比提前，與地層彎曲模式在時域上疊加明顯.利用Matrix Pencil方法(Ekstrom,1996)提取陣列波形中模式波的頻散曲線(圖4中離散□點)，并與解析方法計算的套管彎曲波的頻散曲線(圖4中實線)進行對比，兩種方法得到的頻散曲線吻合較好，從頻散-慢度相關(guān)圖可知，在外層套管和地層之間膠結(jié)水泥后，套管彎曲模式波的慢度明顯增大，利用此現(xiàn)象可在內(nèi)層環(huán)空充填泥漿時確定外層套管與地層之間水泥返高的深度位置.

表1 雙層套管模型各層介質(zhì)的聲學參數(shù)Table 1 Acoustic parameters of the double casing string model

圖3 外層環(huán)空分別充填水泥和泥漿時計算的波列圖Fig.3 Simulated waveforms with cement or mud in the outer annuli respectively

圖5進一步分析了地層性質(zhì)對套管彎曲波的影響，對比了井外三種不同聲速地層下的套管彎曲模式的頻散曲線，中速地層和快速地層均是硬地層(見表1)，低速地層是軟地層，可見在地層屬于硬地層范圍內(nèi)，地層速度的變化對套管彎曲模式的影響較小，但在地層由硬地層變?yōu)檐浀貙雍螅坠軓澢ǖ穆戎得黠@增加.黑色和紅色虛實線對比了外層環(huán)空充填介質(zhì)變化時套管彎曲波頻散曲線的變化趨勢，在軟地層情況下，雖然外層環(huán)空充填水泥后套管彎曲波的慢度(黑色點線)也有增加的趨勢，但與硬地層相比增加的幅度較小，差異較明顯的頻帶明顯向低頻偏移.從陣列波形提取的頻散曲線僅顯示了快速地層和中速地層的對比，見圖6所示，紅色和黑色的離散點分別顯示外層環(huán)空充填泥漿和水泥時頻散曲線，“□”離散點是快速地層的提取結(jié)果，“○”離散點是中速地層的提取結(jié)果，可明顯見到套管彎曲模式對均屬于硬地層范圍內(nèi)的地層速度變化不敏感；地層彎曲波的頻散曲線在外層環(huán)空分別充填泥漿和水泥時低頻速度均趨于地層的橫波速度，隨著頻率增加，外層環(huán)空是泥漿時的慢度值與充填水泥時相比稍高，高頻時速度又趨于一致.雖然外層環(huán)空中的充填介質(zhì)對地層彎曲波的頻散曲線也有影響，但其響應差異低于套管彎曲波.

圖4 外層環(huán)空分別充填水泥和泥漿時模式波的頻散曲線Fig.4 Dispersion curves with cement or mud in the outer annuli respectively

圖5 地層對套管彎曲波的影響Fig.5 The effect of formation on casing flexural wave

圖6 波列提取的頻散曲線對比Fig.6 Comparison of dispersion curves extracted from simulated waveforms

2.1.2 有限差分的計算結(jié)果——偶極子聲源指向性對扇區(qū)膠結(jié)模型的響應特征模擬

圖1b設(shè)計的模型中膠結(jié)好的扇區(qū)方位與偶極子聲源的振動方向是一致，圖1c模型中膠結(jié)良好的扇區(qū)與偶極子聲源的振動方向是垂直的，偶極子聲波測井中與聲源同向的接收器接收的波形信息主要反映聲源指向方向的地層信息，在套管井中，套管彎曲波攜帶的是聲源指向所對的扇區(qū)膠結(jié)信息，幾乎不受與聲源指向垂直方向的扇區(qū)膠結(jié)影響.圖7是利用三維有限差分模擬的圖1b和圖1c所示模型的偶極子聲源激發(fā)的陣列波形，由于模擬高度僅5 m，波列選擇的源距從1.5～3 m，間距是0.1 m，地層選擇表1中的中速地層.由圖7可見，在外層環(huán)空扇區(qū)膠結(jié)比一致(圖1b和圖1c兩個模型膠結(jié)良好的總扇區(qū)均是180°)但扇區(qū)膠結(jié)方位不同時，由于偶極子聲源具有指向性，接收的波列特征差異明顯，在膠結(jié)良好扇區(qū)方位與偶極子聲源振動同向時，圖7a顯示的波列特征與圖3a一致；圖7b模擬的模型中膠結(jié)良好的扇區(qū)方位與偶極子振動方向垂直，也即偶極子聲源振動方向?qū)葏^(qū)沒有膠結(jié)水泥，此波形特征與外層套管和地層之間充填流體的特征是相同的(見圖3b).

圖8是從圖7仿真的波列中提取的套管彎曲模式的頻散曲線，并與外層套管與地層之間完全填充泥漿或水泥時套管彎曲波的頻散曲線做了對比，可見在聲源振動指向的方位膠結(jié)水泥后，套管的彎曲模式波的頻散曲線接近于外層環(huán)空完全填充水泥時的頻散曲線，膠結(jié)水泥的扇區(qū)方位若與聲源振動方向垂直時，套管彎曲波的頻散曲線接近外層環(huán)空完全充填泥漿時的頻散曲線.可見偶極子聲源輻射聲場的指向性使得套管彎曲波的響應具有方位靈敏度，采用正交偶極子陣列聲波測井可嘗試利用四分量的偶極數(shù)據(jù)反演套管井環(huán)向膠結(jié)狀況.

圖7 扇區(qū)膠結(jié)差時模擬的陣列波形Fig.7 Numerical simulated waveforms for segment bonding models

2.1.3 討論外層環(huán)空兩個界面存在流體環(huán)時對套管彎曲波的影響

利用解析的方法分析了外層環(huán)空膠結(jié)水泥后，若外層套管與水泥環(huán)以及水泥環(huán)與地層兩個界面膠結(jié)差時套管彎曲波的頻散特征，圖9a是外層套管與外層環(huán)空水泥環(huán)之間膠結(jié)差時(增加了一層流體環(huán)模擬)套管彎曲模式的頻散曲線，水泥環(huán)和地層之間膠結(jié)良好，隨著外層套管與水泥環(huán)之間流體層厚度的增加套管彎曲波的頻散曲線向慢度減小的方向移動，越來越接近外層環(huán)空完全填充泥漿時的頻散曲線，在流體環(huán)厚度小于1 mm時套管彎曲波的相速度變化不大，因此套管彎曲波對微環(huán)不敏感；圖9b是水泥環(huán)與地層之間出現(xiàn)流體環(huán)時套管彎曲波的頻散曲線，外層套管和水泥環(huán)膠結(jié)良好，與圖9a對比可知，水泥環(huán)與地層之間流體環(huán)的存在對套管彎曲波的影響與水泥環(huán)和外層套管之間出現(xiàn)流體環(huán)時的影響是相同的，可見套管彎曲波的慢度與外層環(huán)空水泥和泥漿的充填比例有關(guān)，基本不受泥漿出現(xiàn)的徑向位置影響.套管彎曲波的這種響應特征可以用于評價外層環(huán)空的水泥填充占比，一般井下套管以及井眼的尺寸是已知的，可先理論計算得到外層環(huán)空分別充填泥漿和水泥時套管彎曲波的頻散曲線，再根據(jù)現(xiàn)場測量的偶極子陣列波形提取套管彎曲波的頻散曲線，三條頻散曲線之間的慢度分布可以用于估算外層環(huán)空水泥的充填情況.

圖8 扇區(qū)膠結(jié)差波列提取的套管彎曲波的頻散曲線Fig.8 Dispersion curves extracted from numerical simulated waveforms

2.2 兩層套管之間充填水泥、外層套管和地層之間不同膠結(jié)狀況下的模擬

在兩層套管之間膠結(jié)水泥后，若外層套管和地層之間充填泥漿，仍可見明顯的套管彎曲模式，與兩層套管之間充填泥漿時相比，套管彎曲波的慢度值降低明顯，見圖10所示.兩層套管之間膠結(jié)水泥后，可看作是一個套管加厚的自由套管狀態(tài)，其慢度值減小，低于6kHz的頻段其激發(fā)強度與內(nèi)層環(huán)空充填泥漿時相比減弱明顯.對三種地層速度下的雙層套管井中模擬的陣列波形做頻率-慢度相關(guān)分析可知(見圖11，圖中實線是解析計算的套管彎曲波的頻散曲線)，在外層套管和地層之間充填泥漿時(圖11a)仍可清晰觀測到套管彎曲波，中速地層和高速地層下的套管彎曲波頻散特征接近，慢速地層下套管彎曲波的慢度值明顯增加，此特征與雙層套管之間充填泥漿時的響應特征是一致的；在外層套管和地層之間也膠結(jié)水泥后，見圖11b，未觀測到套管彎曲波.外層套管和地層之間充填泥漿時高頻段的地層彎曲波慢度明顯高于充填水泥時的慢度值，充填泥漿后地層彎曲波的頻散特征更明顯，但在截止頻率處均等于地層的橫波慢度.值得注意的是在低速地層時，在外層套管和地層之間充填泥漿時，地層彎曲波的頻散曲線變成了反頻散，隨著頻率的增加慢度值降低.

圖9 外層環(huán)空流體環(huán)的存在對套管彎曲波的影響Fig.9 The effect of fluid annulus on dispersion characteristics of casing flexural wave

3 結(jié)論

本文通過理論計算和數(shù)值仿真相結(jié)合分析了偶極子聲源在雙層套管井中激發(fā)的聲場特征，重點分析了套管彎曲波對外層套管和地層之間膠結(jié)狀況的響應.得到以下主要結(jié)論：

(1) 在內(nèi)層環(huán)空充填泥漿的硬地層雙層套管井中，在外層環(huán)空完全膠結(jié)水泥后套管彎曲波的慢度值與充填泥漿時相比明顯增加；在外層環(huán)空界面膠結(jié)差時，套管彎曲波的慢度對外層套管和地層之間水泥的環(huán)空占比敏感，環(huán)空中水泥占比越高，其慢度值越大，對水泥在環(huán)空中的分布位置不敏感.

圖10 對比兩層套管之間分別膠結(jié)水泥和 泥漿時套管彎曲波的頻散曲線和激發(fā)強度Fig.10 Dispersion and excitation curves of casing flexural wave with cement or mud in the outer annuli respectively

(2) 偶極子聲源輻射聲場的指向性使得套管彎曲波的響應具有方位靈敏度，同向接收的套管彎曲波的頻散特征主要受與聲源振動一致的方位扇區(qū)膠結(jié)的影響，對垂直方位的扇區(qū)膠結(jié)不敏感.

(3) 通過對比不同聲速地層的套管彎曲波和地層彎曲波的頻散曲線還可發(fā)現(xiàn)硬地層的速度變化對套管彎曲波影響較小，但由硬地層變?yōu)檐浀貙雍螅坠軓澢ǖ穆让黠@增大.

偶極子陣列波形中除了套管彎曲波還有地層彎曲波，地層彎曲波的頻散特征也受套管膠結(jié)狀況的影響，但其變化程度小于套管彎曲波，本文未重點討論.另外在偶極子聲源偏心后易激發(fā)較強的斯通利波，這在實際測井時經(jīng)常發(fā)生，也值得后續(xù)研究.

圖11 對比不同地層下雙層套管井中模式波的頻散特征Fig.11 The effect of formation on dispersion characteristics of casing and formation flexural waves