形如 kφ（n）= φ2（n）+S（nm）的兩個(gè)方程的可解性*

姜蓮霞，張四保，傅 湧

（1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什 844008；2.宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西宜春 336000）

0 引 言

數(shù)論函數(shù)方程的可解性問(wèn)題的研究是數(shù)論中的一個(gè)熱點(diǎn)研究?jī)?nèi)容.令φ（n）為Euler函數(shù)，其是數(shù)論中一個(gè)重要的數(shù)論函數(shù)，包含數(shù)論函數(shù)φ（n）方程的可解性有著眾多的研究?jī)?nèi)容，如文獻(xiàn)［1-3］.令φe（n）為廣義 Euler函數(shù)，是由蔡天新［4］在研究將Lehmer同余式從模素?cái)?shù)的平方推廣到模任意整數(shù)的平方時(shí)，所提出的一個(gè)數(shù)論函數(shù).對(duì)于包含數(shù)論函數(shù)φe（n）方程的可解性有著豐富的研究成果，如文獻(xiàn)［5-7］.令S（n）為 Smarandache函數(shù)，其定義為S(n)=min{m：n∈Z+，n|m！}，是由美籍羅馬尼亞數(shù)論專家Florentin Smarandache于1993年在其撰寫(xiě)的Only Problems，Not Solutions一書(shū)中所提出的一個(gè)數(shù)論函數(shù).對(duì)于包含數(shù)論函數(shù)S（n）方程的可解性也有著頗多的研究成果，如文獻(xiàn)［8-10］.

對(duì)于包含 Euler函數(shù)φ（n）、廣義 Euler函數(shù)φ2（n）與 Smarandache函數(shù)S（n）方程的可解性問(wèn)題，文獻(xiàn)［11］討論了方程2φ（n）＝φ2（n）＋S（n25）的可解性，并給出了其有3個(gè)正整數(shù)解.本文將基于Euler函 數(shù)φ（n）、廣義 Euler函數(shù)φ2（n）與 Smarandache函數(shù)S（n）的性質(zhì)及其各自的計(jì)算公式，討論方程

和方程

的可解性，利用初等的方法與Guass函數(shù)［n］的性質(zhì)給出正整數(shù)解情況.

1 幾個(gè)基本的引理

2 定理及其證明

情況1當(dāng)α=1

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有 5φ(n1)=2S(230)=64無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（5）有 10φ(n1)=2S(330)=2×63無(wú)解；當(dāng)q=5時(shí)，由式（5）有 20φ(n1)=2S(530)=2×125無(wú)解；當(dāng)q=7時(shí)，由式（5）有 30φ(n1)=2S(730)=2×189無(wú)解；當(dāng)q=11時(shí)，由式（5）有50φ(n1)=2S(1130)=2×308無(wú)解；當(dāng)q=13時(shí)，由式（5）有 60φ(n1)=2S(1330)=2×364無(wú)解；當(dāng)q=17時(shí)，由式（5）有 80φ(n1)=2S(1730)=2×493無(wú)解；當(dāng)q=19時(shí)，由式（5）有 90φ(n1)=2S(1930)=2×551無(wú)解；當(dāng)q=23時(shí)，由式（5）有 110φ(n1)=2S(2330)=2×667無(wú)解；當(dāng)q=29時(shí)，由式（5）有140φ(n1)=2S(2930)=2×841無(wú)解；當(dāng)q≥31時(shí)，由引理2，則由式（5）有5(q-1)φ(n1)=2S(q30)=60q，即 (q-1)φ(n1)=12q，從而有(q-1)|12q，而 (q-1，q)=1，則(q-1)|12，這不可能.

情況2當(dāng)α=2

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有 10φ(n1)=2S(260)=2×64無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（5）有 30φ(n1)=2S(360)=2×126無(wú)解；當(dāng)q=5時(shí)，由式（5）有 100φ(n1)=2S(560)=2× 250，從而有φ(n1)=5，由引理 3可知φ(n1)=5無(wú)解；當(dāng)q=7時(shí)，由式（5）有 210φ(n1)=2S(760)=2×364無(wú)解；當(dāng)q=11時(shí)，由式（5）有550φ(n1)=2S(1160)=2× 605無(wú)解；當(dāng)q=13時(shí)，由式（5）有 780φ(n1)=2S(1360)=2×728無(wú)解；當(dāng)q=17時(shí)，由式（5）有1360φ(n1)=2S(1760)=2×969無(wú)解；當(dāng)q=19時(shí)，由式（5）有 1710φ(n1)=2S(1960)=2× 1083無(wú)解；當(dāng)q=23時(shí)，由式（5）有2 530φ(n1)=2S(2360)=2×1334無(wú)解；當(dāng)q≥29時(shí)，由式（5）有5q(q-1)φ(n1)=2S(q60).由引理2有 2S(q60)≤ 2×60q=120q.而當(dāng)q≥29時(shí)，有5q(q-1)≥140q＞120q，得出矛盾.

情況3當(dāng)α=3

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有 20φ(n1)=2S(290)=2×96無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（5）有 90φ(n1)=2S(390)=2×186無(wú)解；當(dāng)q=5時(shí)，由式（5）有 500φ(n1)=2S(590)=2×370無(wú)解；當(dāng)q≥7時(shí)，由 式（5）有5q2(q-1)φ(n1)=2S(q90).由引理2有2S(q90)≤ 2×90q=180q.而當(dāng)q≥7時(shí)，有5q2(q-1)≥ 210q＞180q，得出矛盾.

情況4當(dāng)α=4

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有40φ(n1)=2S(2120)=2×126無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（5）有 270φ(n1)=2S(3120)=2×243無(wú)解；當(dāng)q≥5時(shí)，由式（5）有5q3(q-1)φ(n1)=2S(q120).由引理2有2S(q120)≤ 2 ×120q=240q.而當(dāng)q≥5時(shí)，有 5q3(q-1)≥500q＞240q，得出矛盾.

情況5當(dāng)α=5

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有80φ(n1)=2S(2150)=2×154無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（5）有 810φ(n1)=2S(3150)=2×306無(wú)解；當(dāng)q≥5時(shí)，由式（5）有5q4(q-1)φ(n1)=2S(q150).由引理2有2S(q150)≤ 2 ×150q=300q.而當(dāng)q≥ 5時(shí)，有 5q4(q-1)≥2 500q＞300q，得出矛盾.

情況6當(dāng)α=6

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有 160φ(n1)=2S(2180)=2×184無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由 式（5）有 5q5(q-1)φ(n1)=2S(q180).由引理2有2S(q180)≤ 2×180q=360q.而當(dāng)q≥ 3時(shí)，有 5q5(q-1)≥ 810q＞ 360q，得出矛盾.

情況7當(dāng)α=7

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有 320φ(n1)=2S(2210)=2×216無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由 式（5）有 5q6(q-1)φ(n1)=2S(q210).由引理2有2S(q210)≤ 2×210q=420q.而當(dāng)q≥3時(shí)，有 5q6(q-1)≥2 430q＞420q，得出矛盾.

情況8當(dāng)α=8

當(dāng)q=2時(shí)，由式（5）有 640φ(n1)=2S(2240)=2×248無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由 式（5）有 5q7(q-1)φ(n1)=2S(q240).由引理2有2S(q240)≤ 2×240q=480q.而當(dāng)q≥3時(shí)，有 5q7(q-1)≥7 290q＞480q，得出矛盾.

情況9當(dāng)α=9

當(dāng)q≥2時(shí)，由 式（5）有 5q8(q-1)φ(n1)=2S(2270).由引理2有2S(q270)≤ 2× 270q=540q.而當(dāng)q≥ 2時(shí)，有5q8(q-1)≥ 640q＞ 540q，得出矛盾.

情況10當(dāng)α≥10

當(dāng)q=2 時(shí)，由式（5）有 5qα-1φ(n1)=2S(230α).由引理2有2S(q30α)≤120α.而當(dāng)α≥10 時(shí)，有5×2α-1φ(n1)≥5×2α-1＞5×25×2α-6=160×2α-6＞160α，得出矛盾；當(dāng)q≥ 3時(shí)，由式（5）有 5qα-1(q-1)φ(n1)=2S(q30α).由引理2有2S(q30α)≤2×30αq=60αq，則5qα-2(q-1)φ(n1)≤ 60α.而當(dāng)q≥3時(shí)，有 5qα-2(q-1)φ(n1)≥5×2×3α-2=5×2×32× 3α-4＞90α，得出矛盾.

綜合以上情況的討論，可得定理1的結(jié)論.

定理2方程（2）2φ（n）=φ2（n）+S（n28）僅有正整數(shù)解n=288，1083，1444，2 166.

標(biāo)準(zhǔn)制修訂流程是建設(shè)測(cè)繪標(biāo)準(zhǔn)制修訂管理平臺(tái)的關(guān)鍵性問(wèn)題。根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)制定程序的階段劃分及代碼》，標(biāo)準(zhǔn)制修訂劃分為8個(gè)階段，即提案階段、草案階段、征求意見(jiàn)階段、送審階段、報(bào)批階段、出版階段、實(shí)施階段、廢止階段［2］。

情況1當(dāng)α=1

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 3φ(n1)=2S(228)=2×32無(wú)解.當(dāng)q=3時(shí)，由式（8）有 6φ(n1)=2S(328)=2× 60，則有φ(n1)=20，結(jié)合(q，n1)=1，則n1=25，44，50，因而n=75，132，150.當(dāng)n=75時(shí)，則n28=328× 556，而S(328)=60，S(556)=230，則n=75不是方程（2）的解；同理可得n=132，150也不是方程（2）的解.當(dāng)q=5時(shí)，由式（8）有 12φ(n1)=2S(528)=2 × 120，則有φ(n1)=20，結(jié)合(q，n1)=1，則n1=33，44，66，因而n=165，220，330.經(jīng)檢驗(yàn)，n=165，220，330不是方程（2）的解.當(dāng)q=7時(shí)，由式（8）有18φ(n1)=2S(728)=2× 175無(wú)解.當(dāng)q=11時(shí)，由式（8）有30φ(n1)=2S(1128)=2× 286無(wú)解.當(dāng)q=13時(shí)，由式（8）有 36φ(n1)=2S(1328)=2×338無(wú)解.當(dāng)q=17時(shí)，由式（8）有 48φ(n1)=2S(1728)=2×459無(wú)解.當(dāng)q=19時(shí)，由式（8）有 54φ(n1)=2S(1928)=2× 513，則有φ(n1)=19，由引理3可知，φ(n1)=19無(wú)解.當(dāng)q=23時(shí)，由式（8）有66φ(n1)=2S(2328)=2×621無(wú)解.當(dāng)q=29時(shí)，由式（8）有84φ(n1)=2S(2928)=2×812無(wú)解.當(dāng)q≥31時(shí)，由引理 2，則由式（8）有 3(q-1)φ(n1)=2S(q28)=56q，因 3?56且 3?q，因而 3(q-1)φ(n1)=2S(q28)=56q無(wú)解.

情況2當(dāng)α=2

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 6φ(n1)=2S(256)=2×60，則有φ(n1)=20，結(jié)合(q，n1)=1，則n1=25，33，因而n=100，132.經(jīng)檢驗(yàn)，n=100，132 不是方程（2）的解.當(dāng)q=3時(shí)，由式（8）有18φ(n1)=2S(356)=2×117無(wú)解；當(dāng)q=5時(shí)，由式（8）有 60φ(n1)=2S(556)=2×230無(wú)解；當(dāng)q=7時(shí)，由 式（8）有126φ(n1)=2S(756)=2×343無(wú)解；當(dāng)q=11時(shí)，由式（8）有 330φ(n1)=2S(1156)=2×572無(wú)解；當(dāng)q=13時(shí)，由式（8）有 468φ(n1)=2S(1356)=2×676無(wú)解；當(dāng)q=17時(shí)，由式（8）有 816φ(n1)=2S(1756)=2×901無(wú)解；當(dāng)q=19時(shí)，由式（8）有 1026φ(n1)=2S(1956)=2×1026，則有φ(n1)=2，結(jié)合(q，n1)=1，則n1=3，4，6，因而n=3 × 192=1083，n=4×192=1444，n=6×192=2 166，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1083，1 444，2 166是方程（2）的解；當(dāng)q=23時(shí)，由式（8）有 1518φ(n1)=2S(2356)=2×1242無(wú)解；當(dāng)q=29時(shí)，由式（8）有2 436φ(n1)=2S(2956)=2×1595無(wú)解；當(dāng) q=31時(shí)，由式（8）有 2 790φ(n1)=2S(3156)=2×1705無(wú)解；當(dāng)q=37時(shí)，由式（8）有3396φ(n1)=2S(3756)=2×2 035無(wú)解；當(dāng)q≥41時(shí)，由 式（8）有 3q(q-1)φ(n1)=2S(q56).由引理2有2S(q56)≤2×56q=112q.而當(dāng)q≥41時(shí)，有 3q(q-1)≥ 120q＞112q，得出矛盾.

情況3當(dāng)α=3

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 12φ(n1)=2S(284)=2×88無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（8）有54φ(n1)=2S(384)=2×171無(wú)解；當(dāng)q=5時(shí)，由式（8）有 300φ(n1)=2S(584)=2×345無(wú)解；當(dāng)q=7時(shí)，由 式（8）有882φ(n1)=2S(784)=2×511無(wú)解；當(dāng)q≥11時(shí)，由式（8）有 3q2(q-1)φ(n1)=2S(q84).由引理2有2S(q84)≤2×84q=168q.而當(dāng)q≥11時(shí)，有 3q2(q-1)≥ 330q，得出矛盾.

情況4當(dāng)α=4

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有24φ(n1)=2S(2112)=2×116無(wú)解；當(dāng)q=3時(shí)，由 式（8）有 162φ(n1)=2S(3112)=2×231無(wú)解；當(dāng)q≥5時(shí)，由式（8）有3q3(q-1)φ(n1)=2S(q112).由引理2有2S(q112)≤ 2 ×112q=224q.而當(dāng)q≥ 5時(shí)，有 3q3(q-1)≥ 300q，得出矛盾.

情況5當(dāng)α=5

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有48φ(n1)=2S(2140)=2×144，則有φ(n1)=6，結(jié)合(q，n1)=1，則n1=7，9，因而n=25× 7=224，n=25× 32=288.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)n=224不是方程（2）的解，n=288是方程（2）的解；當(dāng)q=3時(shí)，由式（8）有486φ(n1)=2S(3140)=2× 285無(wú)解；當(dāng)q≥5時(shí)，由式（8）有 3q4(q-1)φ(n1)=2S(q140).由引理2有2S(q140)≤ 2× 140q=280q.而當(dāng)q≥ 5時(shí)，有3q4(q-1)≥ 1500q＞280q，得出矛盾.

情況6當(dāng)α=6

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有96φ(n1)=2S(2168)=2×172無(wú)解；當(dāng)q≥ 3時(shí)，由式（8）有 3q5(q-1)φ(n1)=2S(q168).由引理2有2S(q168)≤ 2× 168q=336q.而當(dāng)q≥ 3時(shí)，有3q5(q-1)≥ 486q，得出矛盾.

情況7當(dāng)α=7

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 192φ(n1)=2S(2196)=2×200無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由式（8）有 3q6(q-1)φ(n1)=2S(q196).由引理2有2S(q196)≤ 2×196q=392q.而當(dāng)q≥3時(shí)，有 3q6(q-1)≥1458q＞392q，得出矛盾.

情況8當(dāng)α=8

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 384φ(n1)=2S(2224)=2×228無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由式（8）有 3q7(q-1)φ(n1)=2S(q224).由引理2有2S(q224)≤ 2×224q=448q.而當(dāng)q≥3時(shí)，有 3q7(q-1)≥4 374q，得出矛盾.

情況9當(dāng)α=9

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 768φ(n1)=2S(2252)=2×256無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由式（8）有 3q8(q-1)φ(n1)=2S(q252).由引理2有2S(q252)≤ 504q.而當(dāng)q≥ 3時(shí)，有3q8(q-1)≥ 13122q＞ 504q，得出矛盾.

情況10當(dāng)α=10

當(dāng)q=2時(shí)，由式（8）有 1536φ(n1)=2S(2280)=2×284無(wú)解；當(dāng)q≥3時(shí)，由式（8）有 3q9(q-1)φ(n1)=2S(q280).由引理2有2S(q280)≤ 560q.而當(dāng)q≥ 3時(shí)，有3q9(q-1)≥ 39 366q，得出矛盾.

情況11當(dāng)α≥11

由式（8）有 3qα-1(q-1)φ(n1)=2S(228α).由引理2 有 2S(q28α)≤ 56αq，則 3qα-2(q-1)φ(n1)≤ 56α.而當(dāng)q≥2時(shí)，有 3qα-2(q-1)φ(n1)≥ 3× 2α-2=3×25× 2α-7＞ 96α，得出矛盾.

綜合以上情況的討論，可得定理2的結(jié)論.