繁星無(wú)法超越
——三體問(wèn)題溯源

邵瀚雍

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

在科幻小說(shuō)《三體》中，作者構(gòu)建了一個(gè)特殊的恒星系統(tǒng)：某行星系中有三顆質(zhì)量不等的恒星，在彼此的引力下相互作用，而該行星系的文明則位于3顆恒星附近的一顆行星上. 因?yàn)楹阈菬o(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)行星上的文明飽受摧殘. 一開始他們?cè)噲D預(yù)測(cè)恒星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但每次的嘗試都以失敗告終. 他們轉(zhuǎn)而決定逃離行星系，奔向地球.

這個(gè)難題在1900年的第一次世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上就已經(jīng)被提出了. 著名數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert)在會(huì)上提出了23個(gè)困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題；與此同時(shí)，他特別談到了兩個(gè)經(jīng)典的完美數(shù)學(xué)問(wèn)題，其一是我們熟知的費(fèi)馬猜想；其二便是N體問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題要求人們給出在已知質(zhì)量和初始時(shí)刻坐標(biāo)、速度的N個(gè)質(zhì)點(diǎn)在彼此引力作用下的后續(xù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

1 三體溯源：數(shù)學(xué)家的嘗試

事實(shí)上，三體問(wèn)題有著深刻的數(shù)學(xué)和物理背景. 作為經(jīng)典力學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)立者，牛頓在研究萬(wàn)有引力定律時(shí)，就已經(jīng)基本解決了最簡(jiǎn)單的兩體問(wèn)題，并預(yù)測(cè)了雙星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

合理外推是科學(xué)探索的核心理念之一：當(dāng)人們知道一元二次方程的通解，就會(huì)自然而然地思考一元三次方程的通解；當(dāng)人們知道兩體問(wèn)題的解時(shí)，也會(huì)思考三體乃至N體問(wèn)題的通解，而日-地-月系統(tǒng)正是我們最熟悉的三體系統(tǒng)之一. 作為外延，牛頓首先探討了3個(gè)天體在引力作用下的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)演化問(wèn)題，也就是上述N=3時(shí)的三體問(wèn)題[1].

頗為可惜的是，即使聰明如牛頓，至臨終前也沒有給出任何進(jìn)一步的解答. 從物理上講，這個(gè)問(wèn)題并不復(fù)雜，但是它對(duì)數(shù)學(xué)的要求很高. 在牛頓生活的17世紀(jì)，微積分學(xué)才剛剛被創(chuàng)立不久，當(dāng)時(shí)人們的數(shù)學(xué)水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能解決這個(gè)復(fù)雜的物理問(wèn)題. 于是，這個(gè)懸而未決的問(wèn)題又被拖了整整100年之久，等待著下一位數(shù)學(xué)家來(lái)解決.

1772年，拉格朗日(Lagrange)和他的導(dǎo)師歐拉(Euler)接下了研究三體問(wèn)題的火炬. 他們首先開始考慮研究限制性的三體問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中，一個(gè)天體的質(zhì)量被忽略不計(jì)，而只受到其它兩個(gè)大天體的引力作用而運(yùn)動(dòng). 作為數(shù)學(xué)分析創(chuàng)始人之一的拉格朗日，他通過(guò)一系列嚴(yán)密的計(jì)算，求出了這個(gè)限制性問(wèn)題的后兩個(gè)特解(前3個(gè)為歐拉所求得). 這個(gè)5個(gè)解正是我們熟悉的拉格朗日點(diǎn)[2].

拉格朗日點(diǎn)，又稱平動(dòng)點(diǎn)，是指當(dāng)一個(gè)小物體在兩個(gè)大物體的引力作用下，可以在空間中找到一點(diǎn)，在該點(diǎn)處，小物體相對(duì)于兩大物體基本保持靜止. 拉格朗日點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三體問(wèn)題的求解有著巨大的意義：人們至少看到了希望的曙光. 相應(yīng)的，人們?cè)谔煳陌l(fā)現(xiàn)中也證實(shí)了拉格朗日點(diǎn)的確存在.

在圖1的5個(gè)拉格朗日點(diǎn)中，有兩個(gè)擁有良好的穩(wěn)定性，人們可以發(fā)射航天器穩(wěn)定在拉格朗日點(diǎn)，這樣航天器就可以利用兩個(gè)天體的引力達(dá)到相對(duì)靜止的狀態(tài)，比如詹姆斯·韋伯空間望遠(yuǎn)鏡(JWST)就處在日-地系統(tǒng)的第二拉格朗日點(diǎn). 除了宏觀三體系統(tǒng)的引力場(chǎng)內(nèi)存在拉格朗日點(diǎn)外，也有人發(fā)現(xiàn)類似的點(diǎn)電荷電場(chǎng)中也存在類拉格朗日點(diǎn)[3].

圖1 三體系統(tǒng)中的拉格朗日點(diǎn)

自拉格朗日點(diǎn)發(fā)現(xiàn)以后，人們對(duì)于三體問(wèn)題的研究又停滯了近100年之久，直到某次機(jī)緣巧合，才讓這個(gè)被遺忘已久的問(wèn)題又重新回到了人們的視野中.

1889年，瑞典與挪威的國(guó)王奧斯卡二世(Oscar Ⅱ)要準(zhǔn)備自己的60歲大壽. 而奧斯卡二世在大學(xué)期間對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣，對(duì)科學(xué)研究也很支持，于是資助創(chuàng)辦了《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》雜志. 為了這次賀壽，身為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》主編的米塔格·列夫勒建議，設(shè)立一個(gè)競(jìng)賽，讓人研究太陽(yáng)系是否穩(wěn)定. 而這正是一個(gè)N體問(wèn)題的變式. 此前的天體力學(xué)家雖然有過(guò)繁雜的計(jì)算，但是仍然無(wú)法解決小分母問(wèn)題. 當(dāng)年拉普拉斯通過(guò)計(jì)算證明了太陽(yáng)系的穩(wěn)定性，但是他只能后推900年，對(duì)于幾十億年齡的太陽(yáng)系來(lái)說(shuō)，這不過(guò)是彈指一揮間，難以真正回答這個(gè)問(wèn)題.

競(jìng)賽公告的第一段是：“具有任意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，其中任何兩點(diǎn)間的作用力滿足牛頓定律，在任意兩個(gè)點(diǎn)不發(fā)生碰撞的情況下，試給出每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)坐標(biāo)可以以時(shí)間的某個(gè)已知函數(shù)作為變量的級(jí)數(shù)表示，并且對(duì)于所有的取值，該級(jí)數(shù)是一致收斂的. ”

在這個(gè)時(shí)候，一位在數(shù)學(xué)領(lǐng)域造詣極高的數(shù)學(xué)家接下了火炬，他正是龐加萊(Poincaré). 他的研究領(lǐng)域涉及數(shù)學(xué)、物理和天體力學(xué)，并被公認(rèn)為是19-20世紀(jì)之交的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家.

圖2 龐加萊像

在這次公開懸賞之前，龐加萊已經(jīng)憑借自己在自守函數(shù)論和微分方程等方面的工作而被人們公認(rèn)為世界一流數(shù)學(xué)家了.1883年，29歲的龐加萊發(fā)表了第一篇天體力學(xué)方面的論文；一年之后，他又發(fā)表了第二篇關(guān)于天體力學(xué)的論文. 奧斯卡二世的這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步激發(fā)了龐加萊對(duì)這個(gè)天體力學(xué)問(wèn)題的興趣.

1885年，龐加萊開始集中精力研究三體問(wèn)題，此時(shí)距離競(jìng)賽截至日期還有大約3年時(shí)間. 龐加萊先采用了希爾研究月球時(shí)所采用的模型，但經(jīng)過(guò)不斷堅(jiān)持與擱置的循環(huán)嘗試后，他終于理清了方向. 1887年，龐加萊發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題不能用牛頓、拉格朗日與拉普拉斯等人所采用的小參數(shù)展開等傳統(tǒng)方法解決，而必須改換一個(gè)新的思路.

龐加萊首先考慮了較為理想的情況，也就是我們熟知的限制性三體問(wèn)題：一個(gè)塵埃漂浮在兩個(gè)巨大天體形成的體系里，應(yīng)該如何預(yù)測(cè)塵埃的軌跡. 在計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)的時(shí)代里，他依靠驚人的計(jì)算能力，繪出了塵埃前期的運(yùn)動(dòng)軌跡. 當(dāng)他試圖在紙上畫出那些軌跡的時(shí)候，他寫道：“這難以畫出來(lái)的圖形的復(fù)雜性令我震驚！”.

圖3 復(fù)雜的塵埃軌跡示意圖

隨后，龐加萊另辟蹊徑，獨(dú)自發(fā)展出一套方法：微分方程定性理論. 他開始嘗試運(yùn)用漸近展開與積分不變性的方法，定性研究小塵埃的軌跡[5]，并且深入研究了小塵埃在同宿軌道和異宿軌道(相當(dāng)于奇點(diǎn))附近的行為. 但是在研究過(guò)程中，龐加萊發(fā)現(xiàn)，塵埃的軌跡幾乎不可能被預(yù)測(cè). 經(jīng)過(guò)整整三年的努力，他認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題無(wú)法完全解決，并隨后把自己的研究成果寄到論文評(píng)審委員會(huì)，還在論文開頭寫了一句[6]：“Nunquam praescriptis transibunt sidéra fines”(繁星無(wú)法超越).

盡管龐加萊并沒有完全滿足奧斯卡二世給出的要求，也沒有完全解決N體問(wèn)題，但他長(zhǎng)達(dá)160頁(yè)的論文仍然令評(píng)審團(tuán)的三位數(shù)學(xué)大師興奮無(wú)比. 他們認(rèn)為龐加萊對(duì)三體問(wèn)題的研究取得了重大突破：太陽(yáng)系的相對(duì)穩(wěn)定得到確認(rèn).

魏爾斯特拉斯(Weierstrass)在給雜志主編的信中寫道：“請(qǐng)告訴您的國(guó)王，這個(gè)工作雖然不能被視為對(duì)所求問(wèn)題的完整解答，但是它的重要性使得它的出現(xiàn)將標(biāo)志著天體力學(xué)的一個(gè)新時(shí)代的誕生. 因此，陛下預(yù)期的公開競(jìng)賽的目的，可以認(rèn)為已經(jīng)達(dá)到了”. 于是國(guó)王高興地把奧斯卡獎(jiǎng)——一枚金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞?500瑞典克朗，授予了龐加萊.

3 夜幕降臨：三體問(wèn)題無(wú)解

對(duì)于三體問(wèn)題，人們希望能找到一個(gè)長(zhǎng)周期(哪怕這個(gè)周期非常長(zhǎng))或者是一個(gè)解析解(收斂的級(jí)數(shù)解)來(lái)描繪三體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律. 但是，龐加萊證明了三體問(wèn)題的解析解是不可能存在的.

這個(gè)由簡(jiǎn)單的代數(shù)表達(dá)式和積分給出的三體運(yùn)動(dòng)微分方程沒有通常意義上的解析解，并且，除特殊情況外，3個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是不重復(fù)的. 在一般三體問(wèn)題中，每一個(gè)天體在其他兩個(gè)天體的萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)方程都可以表示成3個(gè)二階的常微分方程(如圖4所示)，或6個(gè)一階的常微分方程. 因此，一般三體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)方程為18階方程，必須通過(guò)18個(gè)積分才能得到完全解. 然而，目前還只能得到三體問(wèn)題的16個(gè)初始積分，還不能解決三體問(wèn)題[7].

其實(shí)，早在 1887 年，勃隆斯(Bruns)就證明了三體問(wèn)題中質(zhì)點(diǎn)的速度和位置無(wú)法用函數(shù)定量表達(dá). 幾年后, 龐加萊進(jìn)一步證明了位置、速度和質(zhì)量比的關(guān)系無(wú)法用定量的解析式表達(dá).

除了解析解不存在之外，數(shù)值解的情況也不容樂觀. 為了得到具有意義的數(shù)值解，計(jì)算機(jī)往往需要進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的工作. 早在20年前，就已經(jīng)有對(duì)于N體問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值解的研究了，但是效果不佳[8].

并且，即使可以通過(guò)現(xiàn)代的量子計(jì)算方式極大加快計(jì)算進(jìn)程，也難以避免三體系統(tǒng)的一個(gè)核心問(wèn)題：誤差. 在進(jìn)行數(shù)值分析的過(guò)程中，計(jì)算機(jī)往往會(huì)近似估計(jì)相對(duì)的高階小量，或因?yàn)橛?jì)算機(jī)的數(shù)字尺度限制，無(wú)法進(jìn)行完整的數(shù)據(jù)迭代. 短時(shí)間內(nèi)也許看不出什么區(qū)別，但是隨著時(shí)間的積累，數(shù)值計(jì)算所得到的結(jié)論可能與真實(shí)情況差別極大.

除了宏觀世界中存在的天體引力系統(tǒng)外，人們也研究過(guò)微觀世界中氦原子核與兩個(gè)電子根據(jù)庫(kù)侖定律相互作用的三體系統(tǒng)，不過(guò)依然不能精確求解出氦原子核的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[9].

不過(guò)在最近的科學(xué)研究中，借助于計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，已經(jīng)有許多文獻(xiàn)找到了不少N體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)的特解，如圖5和圖6，這些解十分優(yōu)美[10].

圖5 N=8時(shí)的特解

圖6 N=9時(shí)的特解

4 夜空星光：混沌理論創(chuàng)立

在龐加萊證明了三體問(wèn)題的無(wú)解性后，他并沒有停下這個(gè)工作. 在研究這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，他第一個(gè)敏銳的發(fā)現(xiàn)了這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律不循環(huán)的、對(duì)初始條件敏感的行為，并著手研究這類型的問(wèn)題. 這類問(wèn)題被他統(tǒng)稱為混沌(Chaos).

龐加萊首先考慮了二維平面內(nèi)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并提出了一個(gè)重要的定理，即龐加萊—本迪克松定理[11]. 該定理由龐加萊提出，并由本迪克松給出了完整的證明過(guò)程.

如果一個(gè)二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)連續(xù)可微，且動(dòng)力學(xué)流在一個(gè)區(qū)域內(nèi)封閉，而區(qū)域內(nèi)也沒有定點(diǎn)，則該區(qū)域的動(dòng)力學(xué)流將收斂于一條閉合軌道.

這個(gè)定理指出，在有限的二維系統(tǒng)內(nèi)，物體的運(yùn)動(dòng)形式只有兩種，要么歸于平衡態(tài)，要么滿足周期運(yùn)動(dòng). 換言之，龐加萊指出了二維系統(tǒng)中并不存在混沌行為. 圖7是在進(jìn)行節(jié)拍器同步過(guò)程中自由度為1.5的相平面軌跡，可以明顯看出有一個(gè)定點(diǎn)(平衡態(tài))和一個(gè)較弱的閉合軌道.

圖7 節(jié)拍器同步過(guò)程中的相平面軌跡圖

不過(guò)，由于龐加萊所處時(shí)代的數(shù)學(xué)限制，他的研究只是指出了運(yùn)動(dòng)的非線性方程所造成的動(dòng)力系統(tǒng)的非線性. 盡管如此，他對(duì)于三體問(wèn)題的研究也為后者研究混沌系統(tǒng)打下來(lái)理論基礎(chǔ).

在龐加萊之后的很長(zhǎng)一段時(shí)間，非線性動(dòng)力學(xué)還是停留在非線性振子等比較基礎(chǔ)的問(wèn)題上.直到20世紀(jì)60年代初，美國(guó)的氣象學(xué)家洛倫茲(Lorenz)在使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行氣象問(wèn)題研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“確定性非周期流”. 他的研究指出，氣候?qū)Τ跏紬l件的變化極為敏感，且不同的條件會(huì)導(dǎo)致不同的演化軌跡，從而大大增加系統(tǒng)的不確定性. 他將之通俗的比喻為“蝴蝶效應(yīng)”[12].

與此同時(shí)，1971年，人們開始研究湍流問(wèn)題的納維-斯托克斯方程

此時(shí)發(fā)現(xiàn)湍流解的形式也存在奇異吸引子的情況[13]，這與之前龐加萊的研究結(jié)果很相近，而湍流問(wèn)題也正是一種困擾人們多年的混沌系統(tǒng).

隨著混沌、分形和分岔理論的不斷完善，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為，混沌系統(tǒng)內(nèi)有3個(gè)重要的特殊情況[14]：

1) 系統(tǒng)對(duì)初始條件極其敏感，哪怕是最初狀態(tài)的輕微變化或是微小的誤差都能大幅度改變結(jié)果的形態(tài)，這直接導(dǎo)致混沌系統(tǒng)無(wú)法被預(yù)測(cè). 如圖8，這是一個(gè)兩面弧形的球桌，我們把球的初始方向從虛線改變?yōu)閷?shí)線，可以發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)軌跡完全不同.

圖8 小球運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

2) 系統(tǒng)內(nèi)部存在分形的情況. 分形意味著系統(tǒng)在不同的標(biāo)度下有著自相似的性質(zhì)，并且系統(tǒng)可以產(chǎn)生具有結(jié)構(gòu)和規(guī)則的難以發(fā)現(xiàn)的有序模式.如圖9所示，這是限制性三體問(wèn)題中塵埃在10個(gè)不同的初始條件下，所演化的10條不同軌道的分形結(jié)果，但這個(gè)看似無(wú)規(guī)則的軌跡有著一定的自相似性.

圖9 塵埃運(yùn)動(dòng)軌跡的不同分形結(jié)果

3) 系統(tǒng)內(nèi)存在奇異吸引子. 吸引子，是系統(tǒng)被吸引并且最終固定為某一狀態(tài)的性質(zhì). 一般來(lái)說(shuō)，吸引子分成三種：點(diǎn)吸引子、極限環(huán)吸引子和混沌吸引子. 前兩者一般是收斂的，而奇異吸引子則不同，它可以使系統(tǒng)偏離收斂性的吸引子，而改變系統(tǒng)的狀態(tài)，增加系統(tǒng)的不可預(yù)測(cè)性. 圖10是由Python繪出的洛倫茲(奇異)吸引子的示意圖.

圖10 洛倫茲吸引子示意圖

非線性還表現(xiàn)在許多別的方面，除了經(jīng)典的混沌情況之外，系統(tǒng)也可能會(huì)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)的情況，這表示系統(tǒng)有可能在兩個(gè)或多個(gè)不同的互斥狀態(tài)之間不斷切換，這也是非線性的表現(xiàn)之一. 除此之外，非周期振蕩、孤立波等現(xiàn)象也不斷被發(fā)現(xiàn).

隨著人們對(duì)非線性方程研究的不斷加深，非線性系統(tǒng)正在作為一門嶄新的學(xué)科指引人們前進(jìn)的道路. 有的學(xué)者認(rèn)為，混沌理論是繼相對(duì)論和量子力學(xué)之后本世紀(jì)的第三次科學(xué)革命. 由此而生的非線性物理也有著許多的分支學(xué)科. 這其中包括了非線性動(dòng)力學(xué)、非線性聲學(xué)、非線性光學(xué)和量子混沌學(xué)等許多新興學(xué)科.

6 結(jié)語(yǔ)

在人類為了三體問(wèn)題而奮斗的幾百年里，雖然結(jié)果是讓人有些失望的，但是中間的過(guò)程是精彩而又值得銘記的. 費(fèi)馬猜想就被叫做“會(huì)生金蛋的雞”，其原因正在于人們?cè)谧C明的過(guò)程中誕生的種種珍貴的思想和方法.

而作為另一只下金蛋的“雞”，三體問(wèn)題已經(jīng)為人類生下了不少珍貴的方法和理論. 時(shí)至今日，人們對(duì)于三體問(wèn)題的興趣仍然沒有衰減.

2013年，貝爾格萊德物理研究所的物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了等質(zhì)量、零角動(dòng)量的三體問(wèn)題的13族特解，正式將特解擴(kuò)展為16族[15]. 2017年，上海交通大學(xué)的廖世俊研究小組利用超級(jí)計(jì)算機(jī)，找到了三體問(wèn)題的600多個(gè)新的周期解家族. 如圖11所示的幾個(gè)周期解[16].

圖11 新發(fā)現(xiàn)的一些周期解家族

除了對(duì)周期解的研究之外，在探尋數(shù)值解的道路上，為了達(dá)到高精度和長(zhǎng)時(shí)間的預(yù)測(cè)，有學(xué)者已經(jīng)嘗試改用數(shù)值積分的方式，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)，以達(dá)到預(yù)測(cè)軌跡的目的[17].