國內(nèi)數(shù)學(xué)思維的教育研究探索

◇寶雞文理學(xué)院教育學(xué)院 王玉 劉敏娜

數(shù)學(xué)思維是不同于數(shù)學(xué)概念、定理，規(guī)則等的學(xué)習(xí)，是需要經(jīng)過大腦深度思考而獲得的特殊數(shù)學(xué)思維能力。通過對相關(guān)資料的調(diào)查分析筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維的教學(xué)內(nèi)容包括數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力、數(shù)學(xué)推理能力，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)需要從概念習(xí)得到具體實踐層面進(jìn)行分層次培養(yǎng)，在實施數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)措施要以“聞見”為基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展；注重數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)用語學(xué)習(xí)，為數(shù)學(xué)交流和表達(dá)打基礎(chǔ)；構(gòu)建知識的聯(lián)系通道，為思維的轉(zhuǎn)換做準(zhǔn)備。

隨著科學(xué)技術(shù)的革新，人工智能夠越來越多地代替人類進(jìn)行工作，對于未來的兒童，要培養(yǎng)他們什么樣的能力才能應(yīng)對這個日新月異發(fā)展的社會。美國21世紀(jì)學(xué)習(xí)框架指出，21世紀(jì)的教育要建立在核心知識基礎(chǔ)之上，這里的學(xué)科知識是指學(xué)科觀念和思維方式，其目的在于讓學(xué)生像學(xué)科專家那樣思考。一個學(xué)科的獨特思維方式是分析一個學(xué)科特有的問題理解和問題解答的思維方式，是要培養(yǎng)學(xué)生們像這個課程的課程專家一樣思索問題的能力[1]。培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落腳點，而培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的核心又在于思維能力[2]。近年來，培養(yǎng)和加強學(xué)生的思維能力已成為國際教育的重要目標(biāo)，鄭毓信也提出：現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究作為一種高層次的數(shù)學(xué)思維，對解決數(shù)學(xué)教育中的許多重大理論問題作出了說明[3]。朱立明在高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)測評框架構(gòu)建具體分析了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評維度和觀測指標(biāo)中也可以看出數(shù)學(xué)思維所占的權(quán)重是最高的，從這個權(quán)重中我們也可以明確看出數(shù)學(xué)思維的重要性，數(shù)學(xué)思維得到提高的話，數(shù)學(xué)能力也能得到大幅度發(fā)展。

1 數(shù)學(xué)思維的概念

數(shù)學(xué)思維是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中形成的一種特殊的數(shù)學(xué)能力，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是區(qū)別于通常的數(shù)學(xué)概念，定理，規(guī)則，計算等的學(xué)習(xí)，是要通過大腦的深度思考后獲得的特殊的思維能力，即能夠運用數(shù)學(xué)的觀點看世界，發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的用語、記號等表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)的思維推理解決實際問題的能力。其中數(shù)學(xué)思維包括數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、數(shù)學(xué)推理能力。

朱立明將數(shù)學(xué)思維細(xì)分為：思維空間、思維拓展、思維遷移[4]。筆者認(rèn)為這樣的思維分類結(jié)果多體現(xiàn)在問題的發(fā)現(xiàn)，問題的解決階段，運用數(shù)學(xué)的知識，空間想象能力將問題在大腦中進(jìn)行整合分析，拓展與轉(zhuǎn)化，再通過思維的遷移用數(shù)學(xué)能力解決實際問題。我國教育家張奠宙教授也指出，數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵應(yīng)該是指數(shù)學(xué)思維能力，也就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的演算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。還有另外的觀點認(rèn)為，數(shù)學(xué)思維方式以數(shù)學(xué)中的空間形式和數(shù)量關(guān)系為現(xiàn)實，以語言和符號為媒介，作為識別和獲取數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)[5]。

從以上可以看出，不同的研究角度和研究目的，對數(shù)學(xué)思維的定義雖不同，但都有一個共同的特點，都是將數(shù)學(xué)思維認(rèn)定為數(shù)學(xué)中的獨特的，抽象的思維能力。

2 數(shù)學(xué)思維的教育內(nèi)容

數(shù)學(xué)思維的教育是很難通過一般的教學(xué)過程得到深度有效的發(fā)展，教育學(xué)家們也一直在探索什么樣的教育內(nèi)容能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。根據(jù)本文的數(shù)學(xué)思維的概念界定，筆者將將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)內(nèi)容分為數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

2.1 數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象是指在數(shù)學(xué)活動中對一般基本概念、基本特征、運算規(guī)則等數(shù)學(xué)特征的實現(xiàn)進(jìn)行思考，并從環(huán)境中獲得有用信息的過程。從紛繁復(fù)雜的環(huán)境中提取出有效的數(shù)學(xué)信息，如數(shù)量、大小、位置、等式關(guān)系，然后對這些信息進(jìn)行抽象理解，將實踐中的問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，然后對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、解決。對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一般順序是先了解概念，然后理解概念以及應(yīng)用條件，最后將數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)用于現(xiàn)實社會的問題解決中[6]。數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)從概念的理解到具體實踐：首先在學(xué)習(xí)過程中要關(guān)注學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解與掌握。數(shù)學(xué)概念往往是對相關(guān)定理、規(guī)則最精準(zhǔn)的概括，因此往往也具有抽象性，教師在教學(xué)過程中要利用現(xiàn)實情況和新舊知識間的聯(lián)系使學(xué)生能夠理解和掌握抽象的概念；其次，教給學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息的能力。要幫助學(xué)生學(xué)會從現(xiàn)實社會中感知數(shù)學(xué)，數(shù)量關(guān)系，將實際中復(fù)雜的信息內(nèi)容可以抽取出數(shù)學(xué)符號、語言、算式等；再次，在實際應(yīng)用中發(fā)展抽象概括能力。在實際操作中，學(xué)生實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)用語、記號的抽象和建模過程，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)性問題，再進(jìn)行解決。

2.2 數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力

數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力就是能用數(shù)學(xué)符號或言語來交流和表達(dá)信息[7]。就是指能夠用恰當(dāng)而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)用語，數(shù)學(xué)符號來表明意思和傳達(dá)信息。數(shù)學(xué)信息的表明與傳達(dá)和數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)是分不開的。數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)中具有重大意義。同時，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言有很大的相關(guān)性，數(shù)學(xué)思維就是無聲的數(shù)學(xué)語言，可以通過熟悉、表征、翻譯等方式發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言[8]。數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng)要從數(shù)學(xué)語言的識記學(xué)習(xí)到具體情境中的實踐：首先，在課堂教學(xué)中要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)符號標(biāo)示和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)并進(jìn)行符號，語言的記憶；其次，在課堂教授中，教給學(xué)生把生活實際中聽到，觀察到的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)常用語言。再次，要教給學(xué)生用數(shù)學(xué)符號或言語表明意思，傳達(dá)信息的能力。通過現(xiàn)實中轉(zhuǎn)化來的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流實踐，才能真正學(xué)好，掌握數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)語言交流的能力，在交流的過程中也是鍛煉數(shù)學(xué)思維的過程。

2.3 數(shù)學(xué)推理能力

數(shù)學(xué)推理能力是指根據(jù)一定的事實和建議，按照一定的規(guī)則提出不同的建議的能力[9]。運用數(shù)學(xué)思維解決問題時常常需要歸納、總結(jié)、從已知推未知，這就需要充分運用推理的思維方式，做到有理有據(jù)。在課堂教學(xué)中就要教會學(xué)生用歸納和類比的方法，從舊知中延伸、類比出新知，使學(xué)生懂得算理與算法之間的聯(lián)系，尋找合理簡潔運算方法的依據(jù)。數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展要從數(shù)學(xué)概念的推理學(xué)習(xí)到具體實踐的操作。首先，要在學(xué)習(xí)新概念時，給學(xué)生講明概念的推理過程，如練習(xí)用學(xué)過的舊知識推導(dǎo)出新的概念，在新舊概念間建立起聯(lián)系；其次，在課堂中訓(xùn)練學(xué)生的推理能力。給學(xué)生創(chuàng)造一個民主的課堂氛圍，讓學(xué)生可以進(jìn)行大膽猜測，并且要使學(xué)生獲得解決開放問題的機會，與傳統(tǒng)的有唯一答案的題目相比，有開放性特征的題目，更能夠讓學(xué)生體驗觀測、推測、推斷、驗證并得出結(jié)論的經(jīng)歷；再次，讓學(xué)生在實踐中運用推理能力。讓學(xué)生在實際問題中，根據(jù)獲得的有限信息，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)其中的線索和規(guī)律，進(jìn)行假設(shè)和推理，并進(jìn)行大膽的猜測和實際驗證，在積累解決實際問題的經(jīng)驗中培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的推理能力。

3 數(shù)學(xué)思維的教育實施策略

常磊沿用了PogrowS關(guān)于數(shù)學(xué)思維的教育實施策略的分類方法，將高層次思維能力的教學(xué)模式歸納為3類：首先,獨立課程模式，該模式強調(diào)職業(yè)教育和直接思維的獨立課程，獨立于相關(guān)課程；其次，內(nèi)容模式，在某些特定的知識背景中進(jìn)行授課，如數(shù)學(xué)或科學(xué)，在這樣的課程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維；再次，注入模式，將思維能力與課程和教學(xué)相結(jié)合，這不僅限于特定的學(xué)科和內(nèi)容，是指除了數(shù)學(xué)和科學(xué)的其他課程中也能夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維[10]?，F(xiàn)階段，就我國的課程設(shè)置及培養(yǎng)模式來說，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與教授具有一定的學(xué)科依賴性，就現(xiàn)階段的課堂教學(xué)實際情況來說，多是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的中進(jìn)行。因此，數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的措施可以參考以下幾個教育實施策略。

（1）以“聞見”為基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。要想要數(shù)學(xué)思維得到有效發(fā)展，我們常常需要依托于課堂中的“聞見”。在課程教授時，教育者應(yīng)該明確不同領(lǐng)域的概念，思維和信息，同時引導(dǎo)學(xué)習(xí)者思考，幫助他們組織知識結(jié)構(gòu)，闡明數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，顯示不同的空間位置，并形象化，我們應(yīng)該引導(dǎo)從形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維[11]。傳統(tǒng)課堂中所用的板書，以及最近幾年經(jīng)常被提及的思維導(dǎo)圖都是很好的思維再現(xiàn)的方式，這些方式能夠清晰地展現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系，各個概念間的邏輯聯(lián)系，并將數(shù)學(xué)知識的探索與研究過程適時濃縮，不斷激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，用適合他們的方式來探索知識的本質(zhì)，并發(fā)展他們的思維能力。

（2）注重數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)用語的學(xué)習(xí)，為數(shù)學(xué)交流和表述打基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思維常常需要借助于數(shù)學(xué)用語，符號的交流和表述表現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)用語和符號的交流和表述中往往就滲透著數(shù)學(xué)思維，反之我們可以通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)用語來鍛煉數(shù)學(xué)思維。在課堂教學(xué)中教師要多給學(xué)生進(jìn)行表達(dá)的機會，這給了學(xué)生思考問題的動力，同時也能夠通過口頭表達(dá)展現(xiàn)思維的發(fā)展，學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維得到訓(xùn)練，在現(xiàn)在的小學(xué)教學(xué)中所倡導(dǎo)探究、合作教學(xué)就是為了提高學(xué)生思考、鍛煉思維的能力，凡是學(xué)生能做的教師就不要做。因此，教會學(xué)生用數(shù)學(xué)用語、符號進(jìn)行表達(dá)是想要通過在教師的主導(dǎo)下，進(jìn)行師生間的交流、同學(xué)間的交流，讓學(xué)生學(xué)會表達(dá)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷深度思考后表達(dá)自己的想法，在表述中傾聽，在傾聽中通過表達(dá)交流，在交流中進(jìn)行再考慮和改善，如此反復(fù)促進(jìn)了多角度，多層次的思索，從而促使知識的理解掌握和數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展。

（3）構(gòu)建知識的聯(lián)系通道，為思維的轉(zhuǎn)換做準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)思維的鍛煉，常常需要人們用舊的知識解決新的問題，對前后知識進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)行思維的轉(zhuǎn)化。在現(xiàn)在小學(xué)課堂中，我們常常看到老師要求學(xué)生用之前學(xué)習(xí)過的知識來解決新的問題，這就是通過對新舊知識的聯(lián)系來促進(jìn)思維的轉(zhuǎn)化實踐。在教學(xué)中就要求教育者為學(xué)習(xí)者搭建整體的知識網(wǎng)絡(luò)。這就要求教師自己要理解整個知識的邏輯體系，及推導(dǎo)過程，然后根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，讓學(xué)生嘗試用舊的知識解決新出現(xiàn)的問題情境，讓學(xué)生在實際的聯(lián)系中理解新舊知識之間的聯(lián)系；并且，在學(xué)習(xí)完新知識后，一定要幫助學(xué)習(xí)者再次梳理知識脈絡(luò)，實現(xiàn)知識的同化和順應(yīng)，促進(jìn)知識的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。通過這樣的反復(fù)操作，學(xué)習(xí)者會逐步掌握思維轉(zhuǎn)換能力，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

4 數(shù)學(xué)思維的評價

目前在國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)思維的評價中還未發(fā)現(xiàn)有對數(shù)學(xué)思維進(jìn)行單獨評價的研究。但是國際上有學(xué)者研究認(rèn)為TIMSS和PISA可以測量學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[10]。雖然這樣的測量是不具有針對性的，但是也可以根據(jù)TIMSS和PISA中的測量結(jié)果來指導(dǎo)我們對于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的方向和實踐。朱忠明就指出繼承與發(fā)展中的PISA 2021數(shù)學(xué)測評框架，可以為我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的改革思路和行動方面提供參考[12]。從以上可以看出我國關(guān)于數(shù)學(xué)思維評價的研究還是不足的。后續(xù)還需要對數(shù)學(xué)思維的評價進(jìn)行更家深入的研究，例如確定評價項目，制定評價量表，以及確定評價的方法。

5 結(jié)語

國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)思維的研究成果還比較少，2018～2020年CNKI上關(guān)于數(shù)學(xué)思維的核心期刊只有33篇，并且大多都停留于質(zhì)性研究，幾乎沒有量化分析，并且關(guān)于數(shù)學(xué)思維的概念每個研究者處于不同角度都有不同的見解，并未有一個大家普遍接受的清晰的界定，導(dǎo)致教育內(nèi)容的邊界不清晰，并且在教育評價上沒有可以量化進(jìn)行評價的評價途徑，評價方法和評價維度。關(guān)于數(shù)學(xué)思維的研究我國還學(xué)要做更多的量化研究，可以參考國外國外的研究成果，基于我國的教育實情和特點來探索和發(fā)展關(guān)于數(shù)學(xué)思維的研究。